平面向量中的最值问题浅析

1、平面向量中的最值问题浅析耿素兰山西平定二中(045200 )平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主， 解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。一、利用函数思想方法求解uuu uuru例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB ,它们的夹角为120.如图所示，点C在以Ouuuvuuur为圆心的圆弧 AB上变动.若OCy的最大值是分析：寻求刻画C点变化的变量，建立目标uuu xOA常用途径。解：设 AOC，以点。为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A(1,0), B( 1,),2 2C(cos ,sin )。 uiur uuu uuirQ OC xOA yOB,yx

2、cos23y .-sin)。2因此，当 w时， y cos . 3sin 2sin() (0 y取最大值2。3 mu uuu uur 例 2、已知 OA (1,7), OB (5,1),OPuuu uuu(2,1),点Q为射线OP上的一个动点，当QAgQBuuur取最小值时，求 OQ.uuu uuiuuuu分析：因为点 Q在射线OP上，向量OQ与OP同向，故可以得到关于 OQ坐标的一个uju uuuuur关系式，再根据QAgQB取最小值求OQ.uuur uuuuuuuuu解：设 OQ xOP (2x,x),(x 0),则 QA (1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)uuu uuuQA

3、gQB (1 2x)(5 2x) (7 x)(1 x)225x2 20x 12 5(x 2)2 8uuu uuuuuur当x 2时，QAgQB取最小值-8 ,此时OQ (4, 2).二、利用向量的数量积 m n m |n求最值例3、 ABC三边长为a、b、c,以A为圆心，r为半径作圆，PQ为直径，试判断 P、Q uuu uuir在什么位置时，BPgCQ有最大值。分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。uuu uuu 解：Q AB BPuuu uur uur uuiruuuAPuuu uuiruuuBPgCQ (AP uuu uuur r ABgAC2 uuu uuur r ABg

4、AC uuu uuur uur ABgAC APuur uuu uuur AB)( AP AC) uuu uur uuur AP(AB AC) uuu uuu APgCBuur 2CB r2图2uuu uur当且仅当AP与CB同向时,uuu uurBPcpQ有最大值。、利用向量模的性质r例4：已知ar2,b(cos,sin ，求分析：注意到r(ar b)rb求解的最大值与最小值。考虑用向量模的性质求解。AP,AC CQ AQ解：由条件知Q|C |b| c b c b,r1 a 3。所以当b与c同向时，后取最大值3；当b与c反向时，a取最小值 四、利用几何意义，数形结合求解例5、如图，已知正六边

5、形 PP2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是uulu uuuu(A)PP2 PP3uuu UULU!(B) PP2 PP4unui uuuu(C) PP2 PP5UUUU uuuu PP2 PP6uuuu分析：平面向量数量积uulu uuuruulu uurPP2gPiP(i 1,2,3,4,5,6)的几何意义为RPzCPPi等于PP2的长度与uur uuuruuiruuuu uuurPPi在PP2方向上的投影 ppi cos PP2, PPi ）的乘积。显然，由图可知,uuur uuurPP3在PP2方向上的投影最大，故选（A）。例6、a与b是两个夹角为1200的单位向量，且p+q=1r(p、q R),贝U par qb的最小值是uur分析：如图3,设OAr uur r uur a,OB b,O