2019-2020年高中数学必修1集合的基本关系

1、2019-2020 年高中数学必修 1 集合的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课 型：新授课教学目的：（1） 了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用 Venn 图表达集合间的关系；（4）了解与空集的含义。教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；教学过程：一、 引入课题1、 复习元素与集合的关系一一属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0_N ；（ 2）_Q；（ 3）-1.5_ R2、 类比实数的大小关系，如 57, 22,B=x|x5，并表示

2、A、B 的关系；（七）课堂练习（八）归纳小结，强化思想两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还 要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；（九）作业布置1、 书面作业：习题 1.1 第 5 题2、 提高作业：1已知集合，且满足，求实数的取值范围。2设集合A=四边形,B= 平行四边形,C= 矩形,，试用 Venn 图表示它们之间的关系。板书设计（略）2019-2020 年高中数学必修 2（A）空间几何体的表面积和体积一. 课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。二. 命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体

3、、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体 积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几 何体为依托因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求 解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上，预测07年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体 中某些元素有关的计算问题；三. 要点精讲1.多面体的面积和体积公式

4、名称侧面积（S侧）全面积（S全）体积（V）棱棱柱直截面周长XlS侧+2S底S底h=S直截面h柱直棱柱chS底h棱棱锥各侧面积之和S侧+S底S底h锥正棱锥ch，棱台棱台各侧面面积之 和S侧+S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱台(c+c)h表中S表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，I表示侧 棱长。2.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2nrlnrln(r十2)1S全2nr(l+r)nr(l+r)n(r1+r2)l+n/22 x(r1+r2)4nRVnr2h(即nr2l)nr2hnh(r1+r1r2+r2)nR3表中I、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与

5、球冠的底半径，ri、2分别表示圆台 上、 下底面半径，R表示半径。四. 典例解析 题型1:柱体的体积和表面积2例1.一个长方体全面积是20cm，所有棱长的和是24cm,求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm ycm zcm Icm依题意得：由(2)2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)由(3)-(1)得x2+y2+z2=16即l2=16所以I =4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表 面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、 体积之间的关系。例2.如图1所示

6、，在平行六面体ABCABC1D中，已知AB=5 AD=4 AA=3,AB丄AD,/ATAB=AIAD=(1)求证：顶点A在底面ABCDh的射影O在/BAD的平分线上;(2)求这个平行六面体的体积解析：(1)如图2,连结AO,则AO丄底面ABCD作OMLAB交AB于M作ONLAD交AD于N,连结AM, AN。由三垂线定得得AMLAB AN丄ADv/AAM2AAN, RtANA RtAMA,：AM=AN,从而OM=QN点O在/BAD的平分线上。(2)vAM=A1Cos=3X=AO=AMcos4又在RtAOA中，AO=AA-AO2=9-=,AO=平行六面体的体积为。题型2:柱体的表面积、体积综合问题

7、例3. （xx全国，3） 个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）A. 2B.3C.6D.解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1,b=,c=，则对角线I的长为1=;答案点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素一棱长。例4.如图，三棱柱ABC-ABG中，若E、F分别为AB AC的中点，平面EBC将三棱柱 分成体积为V、V2的两部分，那么Vi:V2=_。方面主要考查空间想象能力。例6.（xx京皖春文，19） 在三棱锥S-ABC中,SB=5o（如图所示）（I）证明：SCL BC；（U）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小； （川）求三棱锥的体积

8、VS-ABC。解析：（I）证明：I/SAZSA（=90,- oJI解：设三棱柱的高为h,上下底的面积为 E、F分别为AB AC的中点，-SkAEF=S,S,体积为V1=h（S+S+）=ShV2=Sh-V1=Sh,V:V2=7:5。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化 的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量 可。题型3:锥体的体积和表面积例5. （xx上海，19）在四棱锥P ABCD长为2的菱形，/DA960,对角线AC与BD POL平面ABCD PB与平面ABCD所成的角为P- ABCD勺体积？解： （1） 在四棱锥P-ABCD中， 由POL平 /PBO是PB与平面ABCD所成 的角，在Rt

9、AOB中BO=ABsin30 =1,由 于是PO=BOta60=,而底面菱形的面积四棱锥P- ABCD勺体积V=x2X=2。点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、/ i1/Ji卜 Z h11X/ h1相交于点O,60,求四棱锥/ED面ABCD,得ZPBO=60。AOCPOLBOB为2oZSAB=ZSA(=ZACB=90,且AC=BC=5,中，底面是边面角及其平面角、棱锥的体积。在能力图SALAB, SALAC。又ABA AC=A,SAL平面ABCo由于/ACE=90,即卩BCLAC,由三垂线定理，得SCLBC0(U)解：TBCLAC,SCLBC0/ SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的

10、平面角。在RtSCB中,BG=5,SB=5,得SG=10。在RtSAC中AG=5,SC=10, cosSCA：,/ SCA60,即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60(rn)解：在RtSAC中,TSA= SC2- AC 102-5 75,SAAB(:AC- BG=X5X5=, I VS-AB=SAACBSA=o点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的 洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型4:锥体体积、表面积综合问题例7.ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所 在的平面，且GC= 2,求点B到平面EFC的距

11、离？解：如图，取EF的中点O,连接GB GO CD FB构造三棱锥B- EFG设点B到平面EFG的距离为h,BD=,EF,C8。GO = CO2GC22)222二:：18 4 = . 22o而GCL平面ABCD且GC= 2o由，得点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例8.(xx江西理，12)如图，在四面体ABCD经过四面体的内切球(与四个面都相切的 且与BC DC分别截于E、F,如果截面将四 积相等的两部分，设四棱锥A-BEFD与三棱 表面积

12、分别是S, 9,则必有()A. S1S B. S1S?C. S=SD. S, S的大小关系不能解：连OA OB OC OD则V-BEF尸V-ABD+V-ABE+V-BEFDVA- EFCV- AD(+V-AEC+Vc- EFC又VA- BEFD=VEFC,而每个三棱锥的咼都是原四面体的内切球的半径，故SAB+SABE+SBEF尸SADC+SAEC+SEFC又中，截面AEF球)球心O,面体分成体 锥A-EFC的确定GBODFE面AEF公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、 表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型5:棱台的

13、体积、面积及其综合问题例9. (xx北京理，18)如图924,在多面体ABCABCD中，上、下底面平行且均为 矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E, F两点，上、下 底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且ac，bd，两底面间的距离为h。(I)求侧面ABBA,与底面ABCD所成二面角的大小；(U)证明：EF/面ABCD(川)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面h来计算.已知它的体积公式是V=(S上底面+4S中截面+S下底面)，试判断V估与V的大小关系，并加以证明。(注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面)(I)解：过B

14、C作底面ABCD的垂直平面，交底面BG丄PQ垂足为G如图所示：平面ABC/平面ABCD,/ABiC=90, AB丄PQ AB丄BP./BPG为所求二面角的平面角.过C1作CH丄PQ垂 对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形BPQC为PG=(bd)，又BG=h，.tan BPG=(bd)，./BP3arctan，即所求二面角的大小为arctan.(U)证明：AB, CD是矩形ABCD勺一组对边，有AB/ CD，又CD是面ABCDf面CDEF的交线，.AB/面CDEF EF是面ABFE与面CDEF的交线，.AB/ EFo AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCE外卜,.EF/面ABC

15、1(m)V估vV。 证明：Iac,bd,a c b d a c b d ,)h222 2=2cd+2ab+2(a+c) (b+d)3(a+c) (b+d)=(a一c) (b一d)0。 V估v Vo点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则 几何体(拟柱体)中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算 公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。考查了 考生继续学习的潜能。例10.(1)(xx全国，9)如果棱台的两底面积分别是SS,中截面的面积是那么( )A. B.C.2S=S+S D.S2=2S S(2) (1

16、994全国，7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积 为( )于PQ过B1作足为H.由于相 等腰梯形。h.V-V估=6(cd ab 4图A. 32B.28C.24D.20解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A;（2）正六棱台上下底面面积分别为：S上=62=6,S下=6 4=24,V台=1 _ -h（S上.S上STS下）=28.3，答案B。点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种 解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。题型6:圆柱的体积、表面积及其综合问题例11.（xx全国理，9） 一个圆柱的

17、侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧 面积的比是（）A.B.C.D.解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2nr.S全=2nr2+（2nr）2=2nr2（1+2n ）. S侧=h2=4r2，二。答案为Ao点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。例12. （xx京春理13，文14）如图99，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量 的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=_o解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加n因此有nr3=nFr。故。答案为。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型7:圆锥的体积、表面积及

18、综合问题例13. （1） （xx京皖春，7）在厶ABC中,AB=2，BC=1.5，图所示），若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体A.nB.（2） （xx全国文， 圆锥的全面积是（A. 3nnC.nD.n3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其 ）B. 3nC. 6n解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥C- ADE积之差，又求得AB=1oV = VC从DE_VB /DE1 5133 1二322.a sin60(2)vS=absin0，.a2=4，a=2，a=2r，.r=1，S全=2nr+ nr=2nn=3n，答案Ao点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。处理能力是空间

19、想象力深化的标志，是高考从深层 能力的主要方向。面积为，则这个D. 9n与圆锥B-ADE体D而对空间图形的上考查空间想象r的实心铁球的体积,B2(7/AB（=120（如例14. （xx全国文，12）如图所示，0A是圆锥底面中心0到母线的垂线，0A绕轴旋转 周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，贝U母线与轴的夹角的余弦值为（A.B.C.解析：如图所示，由题意知，nr2h=nh，r=.又厶ABSACAO.，0A=rR=，cos0=，答案为Do点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活题型8:球的体积、表面积例15.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球求球的表面积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为

20、，则，在中，0点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与 的关系。例16.如图所示，球面上有四个点P、A、B、C,如果PAPB,PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=求这个球的表面积。解析：如图，设过A、B C三点的球的截面圆半径为r，圆心为0，球心到该圆面的距 离为do在三棱锥P-ABC中,vPA PB PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=AB=BC=CA=且P在厶ABC内的射影即是ABC的中心O。由正弦定理，得=2r,r=ao又根据球的截面的性质，有OO丄平面ABC而PO丄平面ABCP、OO共线，球的半径R三又PO =a，OO =Ra=d=,（Ra）2=R-（a）2，解得R=a,S球=4

21、n戌=3冗a2o点评：本题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接 于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略。题型9:球的面积、体积综合问题例17. （xx四川文，10）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球 面上，如果，则球的表面积是（）A.B.C.D.（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球 的表面积和体积。D.o球的半径之间，且,解析：(1)如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的 上，点在球面上，POL底面ABCDPO=R,所以，R=2是，选Do(2)作轴截面如图所示，设球半径为, 则点评

22、：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素 转化成球的几何要素。例18. (1)表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。(2)正四面体ABCD勺棱长为a,球O是内切球，球O是与正四面体的三个面和球O都相切 的一个小球，求球O的体积。解：(1)设球半径为，正四棱柱底面边长为，则作轴截面如图，又I，：， AC二. AC2匚CC2,二， S表=64 2 32 14 =576(2)如图，设球O半径为R,球O的半径为r,E为CD中点，球O与平面ACD BCD切 于点F、G,球O与平面ACD切于点H同一个大圆 球的表面积P点评：正四面体的内切球与各面的切点

23、是面的中心，球心到各面的距离相等。 题型10：球的经纬度、球面距离问题例19. (1)我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？(地球半径大约为)(2)在半径为的球面上有三点，求球心到经过这三点的截面的距离解：(1)如图，是北纬上一点，是它的半径， ? 设是北纬的纬线长，?C =2二AK =2 OA cos OAK =2 OA cos40C2 3.14 6370 0.7660:3.066 104(km)由题设AAEE2子AOFAAOHAAOFV球O1=4：r33、 3a6空a R3、3a2.6a -2R -r36Da - R33.6a3 24- 63a1728，得=-，得RAA答：北纬纬线长约等于.(2)解：设经过三点的截面为 设球心为，连结，则平面，? ?所以，球心到截面距离为.例20.在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为(为地球半径),求两点间的球面距离。解：设北纬圈的半径为，贝设为北纬圈的圆心，* * ? * * ?* * ? * * ?二中，所以，两点的球面距离等于.点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的 求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。直线距离，再五.思维总结1.正四面体的性质设正四面体的