经典分段函数专题

1、经典分段函数专题页脚高考真题类型一：与期有关类型二：与单调性有关类型三：奇偶性有关类型四：与零点和交点问题有关 类型五;与求导和函数性质有关 类型六：数形结合高考真题201011、已知函数f(x)x 1,x 0,则满足不等式f(1 x2)f(2x)的X的围是1, x 0【解析】考查分段函数的单调性。-21 x 2x1 x2 0x ( 1,.2 1)201111、(分类程求解)已知实数a 0 ,函数f (x)则a的值为3解析：a 0,2 2a a 1 a 2a,a 一，22xxa,x 12a,x1,若 f(1a)f(1 a),3a 0, 1 a 2a 2 2a a,a4201210 .(程组求解

2、)设f(x)是定义在R上且期为2的函数，在区间1,1上，ax 1, 1 < x 0, 13f(x) bx 2其中 a,b R .若 f - f 一，则 a 3b 的值为.,0< x< 1,22x 1【解析】因为T2,所以 f ( 1) f(1),求得 2a b 0.,1由 f(2)3112.f(2), T 2得 f(2) f( 2),解得 3a 2b2ab 0a 2联立，解得3a 2b 2 b 4所以a 3b 10.201311 .(分区间二次不等式求解)已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x 0时， _2f(x) x 4x,则不等式f(x) x的解集用区间表示为.【答案】(

3、5, 0) U(5, +8)【解析】做出f(x) x2 4x (x 0)的图像，如下图所示。由于 f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出xv 0的图像。不等式f(x) x,表示函数y= f(x)的图像在y=x的上，观察图像易得：解集为 (-5, 0) U (5, +8)。201413.(期函数+数形结合求围)已知 f(x)是定义在 R上且期为3的函数，当x 0,3)11时，f(x) |x2 2x金|.若函数y f (x) a在区间3,4上有10个零点(互不相同，则实数a 的取值围是 .1【答案】(0,)2一一.2 _1一一 一. 1,.【解析】作出函数f (x) x 2x

4、 - ,x 0,3)的图象，可见 f(0),当x 1时，22一、 17f (x)极大 2 , f (3)万，程f(x) a 0在x 3,4上有10个零点，即函数y f (x)函数f (x)x2 2x 12和图象与直线 y a在3,4上有10个交点，由于函数 f(x)的期为3,因此直线y a与，一、口一一1,x 0,3)的应该是4个交点，则有a (0,-).2201513.(绝对值分类讨论+数形结合求根个数)已知函数f(x) |lnx|,0,0 x 1g(x) 2 ,，则程| f(x) g(x)| 1实根的个数为| x 4| 2,x 1【答案】4【解析】由题意得,求函数'=K）与J =1

5、-3交点个数以及函数丁=/仁）马=T-式e交点个数之和,LO<JC<1因为巨7-r,x£2 ,所以函敷与有朝个交点，又-LI <2:-LO<x<l）=-1go"，5-ai>2 .所以函数JfOO与J=T ，有两个交点，因此共有4个交点x' -3:1 <x<2【考点定位】函数与方程【名师点睛】一期寸数型方程不能直接求出具零点】常通过平移、对称变换转化为相应的函翻图像问题，利用数形结合法将程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判-断通常转化为两函数图像交点的个数.这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性

6、，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢 .201611.（程求解）设fx是定义在R上且期为2的函数，在区间 1,1上x a,1 x 0,0x1,5其中a R,若f 29f ,则f 5a的值是2， 一 一 51【解析】由题意得f - f 1221,9,1211一a,ff-222521059113由f 5 f 9可得1 a,，则a e, 222105则f 5a2017 年14.设f(x)是定义在R上且期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)2x , xx, xD其中集合n 1D x x , n N*,则程f (x) 1g x 0的解的个数是 n【答案】8【解析】由于f (x) 0,1),则

7、需考虑1 x 10的情况， 一一.q.* 一一在此围，x Q且x D时，设x , p,q N , p 2 ,且p,q互质，Pn若 lgx Q,则由 lgx (0,1),可设 lgx ,m,n N ,m 2,且 m,n 互质， mn因此10m Q,则10n (-)m,此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx Q ,PP因此lg x不可能与每个期x D对应的部分相等,只需考虑lg x与每个期x D的部分的交点,画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个期部分,一 1且 x 1 处（lg x）xln1011 ,则在x 1附近仅有一个交点, ln10【考点】函数与程【

8、名师点睛】对于程解的个数 (或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合 函数的单调性、草图确定其中参数围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极 值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、期 性等.类型一：与期有关1 |X 1|,x 2;1 .(拟期分段函数)设函数 f(x) 1 一 c 。则程Xf(x) 1 0的根的个数有2 f (X 2),x 2,个。6e： x< 1,2.已知函数f(x)=g(x)=kx+ 1 ,若程f(x) g(x)= 0有两个不同的实根，则f(x-1), x>1 ,实数k的取值围是.画出函数f(x)的大致图象如下

9、：则考虑临界情况，可知当函数g(x)=kx+ 1的图象过A(1,e),e 1xB(2, e)时直线斜率k1 = e1, k2 = 2-,并且当k= 1时，直线y=x+1与曲线y= e相切于e 1点(0,1),则得到当函数f(x)与g(x)图象有两个交点时，实数 k的取值围是(一2一, 1)U(1, e-1.类型二：与单调性有关1 , x a,1 .若函数f(x) x在区间(，a)上单调递减，在(a,)上单调递增，则实| x 1|, x a数a的取值围是.(a3)x+ 5, x< 1,2 .已知函数f(x)= 2a是(00, +oo )上的减函数，那么 a的取值围是一,x>1x a3

10、<0 ,解析 由题意，得 a>0,解得0<aw2.a 3 + 5 > 2a,3 .某驾驶员喝了m升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚规定:5x 2, 0<x<1 , 满足表达式f(x)= 3 1x >驾驶员血液中酒精含量不超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过小时后才能开车.(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时) 答案 4解析 因为0 w xv 1,所以一2 w x 2 w 1, 所以 5 2< 5x 2<5 而 5 2>0.02 ,又由故至少要过4小

11、时后才能开车4 .(5分)已知函数f (x) 4y2+4y； X>°若f (2-a2) >f (a),则实数总的取值范围为(2 1) .分析:先根据二次函数的解析式分别研究分段函数在各自区间上的单调性，从而得到图数f (x)的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可.解答： 解I明数f (x).当在0时，f (x) =x2+4x*由二次函数的性质知，它在 t0.+«>)上是增函数，当x<0时，f &) =4x-x2,由二次函数的性质知，它在(», 0)上是增函数， 该函数连续，则函数f Cx)是定义在R上的增函数(2启2)

12、>f ，,2.a2>a解得2<日<1实数a的取值范围是(2, 1)故答案为二(2 1)5 .己耽u为iE常K. fix *. ii衣,- /(ij I "以号)则31ftH的取断他电共*dh t < 0类型三：奇偶性有关1.已知奇函数y f(x)(x R)在区间0,3上单调递减，在区间3,)上单调递增，且满足f 40 ,则不等式xf x 0的解集是.类型四：与零点和交点问题有关1.已知函数f (x)sinx,32x 9x25xa,x 1x>1,若函数f (x)的图象与直线yx有三个不同的公共点，则实数 a的取值集合为 20, 16变为零点问题处理最

13、合理2.已知函数f x围是-2x 1,x 02,若函数g xx x,x 0f x m有三个零点，则实数m的取值3.已知函数f(x)kx 2k,x 0(k 0),若函数y f (f (x) 1有3个零点，则实数k的ln x,x 0取值围是数形结合，先求出 f(x)的两个可能取值，再看其与两个函数图像的交点个数。4.已知函数f (x)=则程f (x) =ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值围解：程f(x) =ax恰有两个不同实数根, -y=f (x)与y=ax有2个交点，又 a表示直线y=ax的斜率,设切点为(Xq,，切线程为 y-yo= (x-xq)而切线过原点，yo=1 , x0=e , k

14、=, e直线k的斜率为上，e又直线L与y=-x+1平行，直线I2的斜率为9，实数a的取值围是H十）故答案为：卷，：）.|log 4x|, 0<x<46.已知函数f(x)=1若a<b<c且f(a)=f(b) = f(c),则(ab+1)。的取值围是一于+3, x>4 ,|log4x|? o<x<4,的图象，如图所示作出函数f(x)=1中+3, x>4a<b<c 时，f(a)=f(b)=f(c), . log 4a = log 加，即 logda+log4b= 0,则 log4ab=0,17<a<1< b<4<

15、; c<6 ,且 ab= 1,4.-16 = 24<(ab+ 1)c=2c<26= 64,即(ab+1)°的取值围是(16, 64).2- |x|, x< 2,7 . ()已知函数 f(x)=2函数 g(x)= 3-f(2-x),则函数 y = f(x)g(x)的零(x-2) , x>2,点个数为当 x>2 时，g(x) = x1, f(x)=(x 2)2;当 0WxW2 时，g(x)=3 x, f(x)=2 x；2 一当 x<0 时，g(x)=3 x, f(x)=2+x.由于函数y= f(x)g(x)的零点个数就是程f(x)g(x)= 0的

16、根的个数.当x>2时，程f(x)g(x)= 0可化为x25x+5=0,其根为x="2但或x= ' (舍去);当 0WxW2 时，程 f(x)g(x)= 0 可化为 2x= 3-x,无解;当x<0时，程f(x)-g(x)= 0可化为x2+x- 1 = 0,其根为x= '或x=1 ；*(舍去).所以函数y= f(x) g(x)的零点个数为2.x+2, x>a,8 .已知函数f(x)= x?+5x+2 x<a 若函数g(x)=f(x) 2x恰有三个不同的零点，则实数a 的取值围是.押题依据利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数围，较

17、好地体现了数形结合思想.答案 -1,2)要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需 g(x)x+2, x>a, 解析g(x) = f(x)-2x= 2+3 +2 v=0恰有三个不同的实数根，所以x> a,x< a,-x+2=0 -x2+3x+ 2=0,所以g(x)= 0的三个不同的实数根为 x= 2(x>a), x= - 1(x< a), x= - 2(x< a).再借助数轴，可得1wa<2.9 .若函数f(x)=x2+2a|x| + 4a23的零点有且只有一个，则实数 a=.3答案 -2-解析 令|x| = t，原函数的零点有且只有一个，即程t2+2a

18、t+4a23=0只有一个0根或一个23330根、一个负根，4a -3=0,解得a =-或一"，经检验，a=满足题意.类型五;与求导和函数性质有关一 12x x3. x 01.已知函数f x，当x ,m时，f x的取值围为16,则2x,x 0实数m的取值围是【答案】2,8类型六：数形结合若f(a)>f(a),则实数a的取值围是log 2x, x>0 ,1.右函数 f(x)= log 1 ( x), x<0 ,2法一由题意作出y= f(x)的图象如图.显然当a>1或1<a<0时,法二对a分类讨论: 当 a>0 时，log 2a> log 1

19、a2当 a<0 时，. Togi(2a) >log 2( a),0< a<1 , 1< a<0.x?+(4a3)x+3a, x<0 ,2. ()已知函数 f(x) =log a(x+ 1)+1, x> 0(a>0 ,且 aw 1)在R上单调递减，且关于x的程|f(x)| = 2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值围是答案123j 3' 34解析由 y= loga(x+1)+1 在0,02+ (4a3) 0+3a>f(0)= 1,又由f(x)在R上单调递减，则 34a如图所示，在同一坐标系中作出函数y= |f(x)|和y= 2-

20、x的图象.由图象可知，在0, +8)上，|f(x)|=2x有且仅有一个解.故在(一8, 0)上，|f(x)|=2x同样有且仅有一个解.当3a>2 ,即a>J时，由 x2+(4a3)x+3a= 2 x(其中 x<0),得 x2+(4a 32)x+3a2=0(其中 x<0),则A= (4a-2)2-4(3a-2)=0,3解得a=4或a=1(舍去);12当1w3aW2,即W aW时，由图象可知，符合条件 33综上所述，ae ；, 2 U 3 . 3 34凶，x< m,3.已知函数 f(x)= x2 2mx + 4m x>m其中m>0,若存在实数 b,使得关于

21、x的程f(x)= b有三个不同的根，则 m的取值围是 答案 (3, +8)解析 如图，当 x< m 时，f(x) = |x|；当 x>m 时，f(x)=x22mx+4m,在(m, 十°° )为增函数，若存在实数 b,使程f(x)= b有三个不同白根，则 m22m m+4m<|m|m>0 ,m2-3m>0 ,解得 m>3.1；-(xw 1),4已知定义域为 R的函数f(x)= |x1|1 (x= 1),若关于x的程f2(x) + bf(x) + c=。有3个不同的实根 x1, x2, x3,则 x：+x2+x3=答案 5 怪异题解析作出f(

22、x)的图象，如图所示由图象知，只有当f(x)= 1时有3个不同的实根；;关于x的程f2(x)+bf(x)+c= 0有3个不同的实根xi, x2, x3,，必有 f(x) = 1,从而 X1=1, X2=2, X3=0, 故可得 x2+ x2+ x3= 5.5.已知定义在R上的函数f(x)满足：图象关于(1,0)点对称；f(-1+x)=f(-1-x)；当xC T,1时，f(x) =错误！则函数 y= f(X)(错误！)|x|在区间 3,3上的零点的个数为解析 因为f(1+x) = f(1 x),所以函数f(x)的图象关于直线x=- 1对称，又函数f(x)的1 |x|图象关于点(1,0)对称，如图

23、所不，回出f(x)以及g(x)=(2)在3,3上的图象，由图可知，两1 ixl函数图象的交点个数为5,所以函数y=六刈一g)11在区间 3,3上的零点的个数为 5.若函数y= f(x) a冈恰有4个零点，则|x2+5x+ 4|, x< 0,6 .(考验作图)已知函数f(x) =2|x 2|, x>0,实数a的取值围为 答案 (1,2)解析 分别作出函数y=耿)与y= a|x|的图象，由图知，当 a<0 时，函数y= £仅)与丫=2区无交点；当a=0时，函数y = f(x)与y= a|x|有三个交点，故 a>0.当x>0 , a>2时，函数y = f(x)f y= a|x|有一个交点；当 x>0,0< a<2时，函数y= £仪)与y = a|