绝对有用复变函数与积分变换复习提纲

1、arg z。号。Xix2i Viy21)若 z1X1iy1, z2X2iy2,则z1z2x1x2丫也i X2V1%yz1X1iyxiyX2iy2z2X2iy2x2iy2X2iy22)若z4i 1e 12z2 ei2 ,则i 1z1z1 工 1乙。4z2 e;ez2z23.乘帚与方根1)若zz (cos isinn zzn(cosni sinn ) zn2.乘除法：X1X2 vy2j 丫泾 y2X12inJ 。2)若 z z (cos isin ) z e ,则)z ei,则复变函数复习提纲（一）复数的概念21 .复数的概念：z x iy , x, y 是头数，x Re z , y Im z .

2、 i 1.注：两个复数不能比较大小 .2 .复数的表示1）模：Z 42 y2 2）幅角：在z 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为 Arg z （多值函数）；主值arg z是位于（，中的幅角。3 ） arg z与arctan y之间的关系如下：x当 x0, argz arctan ；x-yy 0,arg z arctan 当 x0,x;-yy 0,arg z arctanx4）三角表示：z z cos isin ,其中 argz；注：中间一定是" +"5）指数表示：z z ei ,其中（二）复数的运算1.加减法：若 z1x1iy1,z2 x2 iy2 ,贝U z1 z2n/zz

3、1n2ki q i h2kcosni sinn(k 0,1,2L n 1)(有 n 个相异的值）（三）复变函数1 .复变函数：w f z ,在几何上可以看作把 z平面上的一个点集 D变到w平面上的一个点集 G的映射.2 .复初等函数1）指数函数：e ex cosy isin y ,在z平面处处可导，处处解析；且zze e 。注：ez是以2 i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：Lnz ln z i（argz 2k ） （k 0, 1, 2L ）（多值函数）；主值：lnz ln z iargz。（单值函数）Lnz的每一个主值分支ln z在除去原点及负实轴的 z平面内处处解析，且l

4、nz 1 ； z3)乘哥与哥函数：ab ebLna(a 0) ； zb ebLnz(z 0)注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbbzb 1 oiz iziz ize ee e , sin z , cosz4)二角函数： sin z ,cos z ,t gz , ctgz 2i2cosz sin zsin z,cos z在 z平面内解析，且 sin z cosz, cosz sin z注：有界性sin z 1, cosz 1不再成立；(与实函数不同)z zz ze e4） 双曲函数 shz , chz2shz奇函数，chz是偶函数。shz chz, chz shz。（四）解析函数的概

5、念1 .复变函数的导数f z0z1）点可导：f z0 = lim shz,chz在z平面内解析，且f Zo;z 07注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同）2）区域可导：f z在区域内点点可导。2 .解析函数的概念x,y iv x,y形式给出，如第二章习（函数f z是以z的形式给出，如第nlim f k zk , c是光滑曲线。 n1）点解析： f z在Z0及其Z0的邻域内可导，称 f z在Z0点解析；2）区域解析：f Z在区域内每一点解析，称 f Z在区域内解析；3）若f （z）在。点不解析，称Z0为f z的奇点；3 .解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析

6、函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1 .函数可导的充要条件：f z u x, y iv x, y在z x iy可导u x, y和v x, y在x, y可微，且在x,y 处满足C D条件：u _v_u_v, x y yx此时， 有f z i v ° x x2 .函数解析的充要条件：f z u x, y iv x, y在区域内解析u x, y和v x, y在 x, y在D内可微，且满足C D条件：,，x y y x止匕日寸f z i 0 x x注：若u x, y , v x, y在区域D具有一阶连续偏导数，则 u x, y ,v x, y在区域D内是可微

7、的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足 C R条件时，函数f（z） u iv 一定是可导或解析的。3 .函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以f z u题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1.复变函数积分的概念：f z dzc注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2.复变函数积分的性质1)f z dz 1f z dz cc（c 1与c的方向相反）2)f z g zdz fccz dzcgdz,是常数;3)若曲线c由ci与c2连接而成，则dzdz f z d

8、z。c线，G,C2,L Cn是C内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以C1,C2,L Cn为边界的区域全含于 D内，则 n？f z dz ?f z dz, 其中c与Ck均取正向； ck 1ck？f z dz 0,其中 由c及C1（k 1,2,L n）所组成的复合闭路。3.闭路变形原理 ：一个在区域 D内的解析函数f z沿闭曲线c的积分,3.复变函数积分的一般计算法1）化为线积分:dzudxcvdyvdxcudy ；（常用于理论证明）2）参数方法：设曲线）,其中 对应曲线c的起点,对应曲线c的终点,f z dzfz t z(t)dt。（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1.柯西一古萨基本

9、定理:设f z在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线,?fcz dz 02.复合闭路定理：设f z在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中f z不解析的奇点。4.解析函数沿非闭曲线的积分在B内的一个原函数，则c不经过使z2f z dzzi在单连域B内解析,G z2G z1亿，4 B）说明：解析函数f z沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设f z在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线,c的内部完全属于D , z0为c内任意一点，则f zKz2 ifzo6.高阶导数公式： 解析函数f z的导数仍为解析

10、函数，它的 n阶导数为Z2cf z dz . f z dzF z2F z1(n 1,2L)3）设f z在区域D内不解析f z .2 i f nQrrdz f 4/ 4)n1 n!其中c为f z的解析区域D内围绕Zo的任何一条正向简单闭曲线，而且它的曲线c内仅有一个奇点:czzdz 2 zoi f Zo内部完全属于D。f z>-c(z 4)(f (z)在c内dzYf解析）7.重要结论:1?；Qdzc (z a)i,0,0。（c是包含0a的任意正向简单闭曲曲线c内有多于一个奇点:?fcz dz?f z ckdz （ G内只有一个奇点zC8.复变函数积分的计算方法或：？f z dzcResf(

11、z),zk（留数基本定理）1 ） 若f z 在区域内处处不解析用一般积分法c f z dz fz t z tdt若被积函数不能表示成 一f zn 1 ,则须改用第五章留数定理来计算。（z zo）n 12）设f z在区域D内解析,c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理,? f z dz 0c是D内的一条非闭曲线，4:2对应曲线c的起点和终点，则有（八）解析函数与调和函数的关系1 .调和函数的概念：若二元实函数 （x, y）在D内有二阶连续偏导数且满足220，x y（x, y）为D内的调和函数。2 .解析函数与调和函数的关系解析函数f z u iv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部 v

12、为实部u的共轲调和函数。两个调和函数u与v构成的函数f（z） u iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则u iv一定是解析函数。3 .已知解析函数 f z的实部或虚部，求解析函数f z u iv的方法。1）偏微分法：若已知实部 u ux, y,利用C R条件，得一v,-v； x y对-u两边积分，得 v-%y g x（*）y xx再对（*）式两边对x求偏导，得v udyg x （*）x x x由 C R 条件，一u-v, 得 一u-udyg x ，可 求出yx y x x代入（*）工弋，可求得虚部vu . 一dy g x 。 x2 ）线积分法：若已知实部uu x, y ,

13、利用CR,v ,dv dx -xdy - ydx ydy, x故虚部为vx，yux0 ,y0ydx -u .dy c; x由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中x,y 是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部u u x,y，根据解析函数的导数公式和件得知,工u . v u . uf z iix y x y将此式右端表示成 z的函数U z ,由于f z仍为解析函数，故f z U z dz c （c为实常数）注：若已知虚部 v也可用类似方法求出实部 u.x0 , y0 与（九）复数项级数1 .复数列的极限1）复数列 n an ibn （n 1,2L ）收敛于复数a bi的

14、充要条件为lim an a, lim bn b （同时成立） nn2）复数列 n收敛实数列an, bn同时收敛。2 .复数项级数1）复数项级数n（ n an ibn）收敛的充要条件是级数Hn与bn同时n 0n 0n 0收敛；2）级数收敛的必要条件是 lim n 0。 n n注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幕级数的敛散性1 .哥级数的概念：表达式cn（z z0）n或 cnzn为哥级数。n 0n 02 .哥级数的敛散性1）哥级数的收敛定理阿贝尔定理 （Abel）:如果哥级数cnzn在z0 0处收n 0敛，那么对满足 z Z0的一切z ,该级数绝对收敛；如果在

15、 Z0处发散，那么对满足z Z0的一切z ,级数必发散。2）哥级数的收敛域一圆域哥级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法如果limCn 1c10,则收敛半径R 一；ncn根值法lim Jn,cn-10 ,则收敛半径R 一;如果 0,则R说明在整个复平面上处处收敛；如果，则R0；说明仅在z z或z 0点收敛;注：若哥级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如cnz2n ）n 03.哥级数的性质1）代数性质：bnzn的收敛半径分别为R1与R20在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且fn 1nanzn

16、0R min R,R2则当zR时,z在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；0fdzan zn 10 n 1(ann 0bn)znnanz0bnznn 0（线性运算）n , anz )(0bnzn)0(anb°n 0an 1bla°bn)zn（乘积运算）（十一）幕函数的泰勒展开1.泰勒展开：设函数f z在圆域zzoR内解析，则在此圆域内 f z可2)复合性质：设当r时,ann 0R时,g z解析nfz0以展开成哥级数f z n 0 n!4 n ;并且此展开式是唯一的。则当z R时,fg z ang z n。3)分析运算性质：设备级数nanzn的收敛半径为R00,则其和函数f z

17、anzn是收敛圆内的解析函数;n 0注：若f z在zo解析，则f z在zo的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径zo其中R为从z0到f z的距4最近一个奇点a之间的距离。2.常用函数在z00的泰勒展开式1)23nz1 nzzzez1 zLLn0 n!2!3!n!sin z(1)n2n 1n 0(2n 1)!Z35L3!5!(1)n z2n1 L (2n 1)!1 n2n I2 ) z 1 z z L z L1 z n 0n24nO_z2n 1 2 二 L Z2n L no(2n)!2!4!(2n)!3 .解析函数展开成泰勒级数的方法1 一 n一n1）直接法：直接求出 Cn 一 fz0 ,于是f z

18、g z z0 。n!n o2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及哥级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。（十二）幕函数的洛朗展开n1.洛朗级数的概念：cn z z0 ,含正哥项和负哥项。n圆环域内绕 z0的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有nf zCn z zo ,且展开式唯一。n3.解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4 .利用洛 朗级数求 围线 积分：设fz在r zz0 R内解析，c为r z R内的任何一条正向简单闭曲线，则? f z dz 2 ic1。其中、，、，一1,一，C1为f（z）在r z zo R内洛朗展开式中 的系数。z zo

19、说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中（z z0）1的系数。（十三）孤立奇点的概念与分类1。孤立奇点的定义 ：f z在4点不解析，但在z0的0 z z0内解析。2。孤立奇点的类型：1） 可去奇点：展开式中不含zz°的负哥项；2f z C0 c z z0 C2 z z0L2）极点：展开式中含有限项 z z0的负哥项;2 .洛朗展开定理：设函数f z在圆环域R,z z0R2内处处解析，c为f z 一 (zc (m 1)mm 1zo)(z zo)c1(z z°)2co G(z zo) c2(z zo)1 ）零点的概念：不恒为零的解析函数f z ,如果能表示成f z (z

20、Zo)m z ,(zmzo)c m c (m 1) (z zo)m 1Ci(z zo)Co(z zo)m L 在 zo解析,z o,m 1,cm o；3）本性奇点：展开式中含无穷多项z zo的负哥项;其中 z在z0解析，z00,m为正整数，称z0为f z的m级零点;2）零点级数判别的充要条件f n zo0, （n 1,2,L m 1）zo是f z的m级零点 m fzo01,一，3）手点与极点的关系：zo是f z的m级零点zo是的m级极点；f z4）重要结论f z L 、L - co G(z zo) L cm(z zo)m L(z zo)m(z zo)若z a分别是z与 z的m级与n级零点，则（

21、十四）孤立奇点的判别方法1 .可去奇点：lim f z Co常数； z zo2 .极点：lim f z z zo3 .本性奇点：lim f z不存在且不为 z zo4 .零点与极点的关系za是 z g z的mn级零点；当m n时，z a是的m n级零点；当m n时，z a是的n m级极点;z当m n时，z a是的可去奇点；z当m n时，z a是 zz的l级零点，l min（m,n）当m n时，z a是 zz的l级零点，其中l m（n）（十五）留数的概念1 .留数的定义：设z0为f z的孤立奇点，f z在z0的去心邻域0 z z0|内解析，c为该域内包含z0的任一正向简单闭曲线，则称积分1 、，

22、一，? fzdz为 fz 在z0的留数（或残留），记作2 ic1.Resf z ,zo 力？ f z dz2.留数的计算方法若z0是f z的孤立奇点，则Resf z ,z0 c1 ,其中c1为f z在1 -z0的去心邻域内洛朗展开式中（z zo）的系数。1）可去奇点处的留数：若z0是f z的可去奇点，则 Res f z , zo 02） m级极点处的留数Resf z ,z01(m 1)!m 1d lim -mn(z z z0 dzm r4) f特别地，若z0是f z的一级极点，则Resf z ,z0 则（z z0） f z注：如果极点的实际级数比 m低，上述规则仍然有效。P z法则II设f z

23、 , P z ,Q z在。解析，P z00,Q z0一_ P z P zQ 40,Q 40,则 Res,z Q z 0 Q z0（十六）留数基本定理设f z在区域D内除有限个孤立奇点 z1,z2L ,zn外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则? f z dz 2 i Res f z ,znn 1说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数f z在c内各孤立奇点处留数的局部问题。法则I 若Zo是f z的m级极点，则(a 0)LektLtm(Lu(t)是 自1) m (m)Lsin kt积分变换复习提纲、傅里叶变换的概念Ff(t) f(t)ejwtdt F(w)1 1j tF F( )F( )ej d f(t)2、几个常用函数的傅里叶变换1Fe(t)- j1Fu(t)()jF (t) 1F1 2 ()、傅里叶变换的性质位移性(时域)：Ff (t to) ejwt0Ff(t)位移性(频域)：Fejw0tfF(w)www0F(w wo)1 _位移性推论：Fsin w0t f (t) F (w w0) F (w w0)1 _位移性推论