河南理工大学电磁场重点

1、1.1.1 电场强度的定义 微小正点电荷在电场中任一点所受电场力与此微小正点电荷电量之比的极限，通常以 表示 式中：q为正的试验点电荷的电量，在国际单位制(SI)中，电量的单位为库仑(C)； 为正的试验点电荷所受的电场力，单位为牛顿(N)。 电场强度的单位为牛顿每库仑(N/C)，在国际单位制(SI)中场强的单位为伏特每米(V/m) 。试证明： 1V/m=1N/Cq0limqFE(1-1)EF库仑定律：121221204q qRFe式中 是带电体 对 的作用力， 是沿两带电体之间连线方向的单位矢量,方向 由 指向12F2q1q21e2q1q20( )4rqrrEe根据电场强度定义和库仑定律,可得

2、到位于坐标原点上的点电荷在无限大真空中产生的电场强度为: 如果点电荷q所在处的坐标为 （称为源点），则它在 r点（称为场点）产生的电场强度为：r2200( )44RqqrRrrE=errrr1.1.2 叠加积分法计算电场强度叠加积分法计算电场强度22110011( )44knnkkkRkkkkkqqrRrrE=errrr1 点电荷产生的合成电场：2 当电荷作线状分布时，电荷线密度的定义为:dldqlql0lim(1-3)式中：dq为线元dl上所具有的电量。因而的单位为库仑每米(C/m)。 当电荷沿空间曲线 连续分布时，空间任一点的场强为：l20( )1d4RlrlReE(1-4)式中：R为线元

3、 至被研究点的距离； 为线元 指向被研究点方向上的单位矢量。dlReld3 当电荷沿空间曲面作面分布时，引入电荷面密度dSdqSqS0lim式中：dq为面元 上所具有的电荷量。因而，的单位为库仑每平方米(C/m2)。当电荷沿空间曲面S连续分布时，空间任一点的电场强度为：dS20( )1d4RSESRr e(1-6)(1-5)式中：R为面元 至研究点的距离； 为面元 指向研究点方向上的单位矢量。dSRedS4 当电荷在空间作体积分布时，引入电荷体密度dVdqVqV0lim(1-7)式中：的单位为库伦每立方米(C/m3)。当电荷在空间作体积分布时，空间任一点的电场强度为：2V0( )1( )dV4

4、RRr eE r(1-8)式中：R为体积元 至研究点的距离； 为体积元 指向研究点方向上之单位矢量。RedVdV例1-1 如图1-3所示,真空中有一以线密度 沿 轴均匀分布的无限长线电荷,试求离其 处的电场. z图1-3 线电荷的电场2002222 3/200cos( )24cos( )2()dzRRzRdzzEeEe设tanz22 3/2002/203300( )2()(cos )12()cos2dzzd Eeee223/2223/23321()(tan )()cos1(cos )zdz例1-2 如图1-4所示,一以均匀带电无限大平面,其电荷面密度为 ,求距该平面前 处的电场. x20022

5、3/20002( )cos42(ax )2adaE xRxada解:1.1.3 电位将一个单位正试验电荷在静电场中沿某一路径从A点移动至点B时，电场力所做的功为：WBAdEl20( )4rqrrEe20200W4111()44BBrAABAABdqdrqqdrrrrelEl200W411()04AArlrAAqdrdrqrrEl0ld El0lSddElES0E EWBABBAAABddd EllBABABAUdEl()C EQPPdElPPdEl0( )4qrr1-2 高斯定律1.2.1 静电场中的导体4 导体如果带电，则电荷只能分布于其表面。1静电场中的导体内部电场为零，2静电场中导体必为

6、一等位体，导体表面必为等位面， 3 导体表面上的电场必定垂直于表面，1.2.2 静电场中的电介质Pn P eP P()PtVSqdVdPPS0EP =1.2.3 高斯定律001SVqddVES1 真空中的高斯定律 2 介质中的高斯定律(一般形式的高斯定律)00PpVSPPVVSdVqqqdqdVdVd ESPPS00(SVSVVVddVddVqdVdV E + P) SDE + PDSDD例1-8 真空中有电荷以体密度 均匀分布于一半径为 的球中。试求球内外的电场强度及电位。raraa解:1）先求电场当23443r Dr033rrrrDeEe当23443r Da3322033rraarrDeE

7、e2） 求电位ra220026araEdrEdrar=+=ra303rEdrar=1.3.1静电场基本方程静电场基本方程静电场是无旋场，有散场，保守场静电场是无旋场，有散场，保守场00SVlddVqdDSElDE1.3.2 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件 1221nnnnDSDSSDD 1） 法线方向2 ） 切线方向1121120ttttElElEE 3） 折射定律1122tantan例1-10 设 平面是两种电介质分界面，在 区域内， ;在 区域内， 在此分界面上无自由电荷。已知 求1D2(1020)V / mxyEee1050y 0y 0y 2032D1E解:222201201211

8、101112101(3060)C/ m6010V / m60,/12V / m(5060)C/ m(1012)V / mxynnttnnnnxyxyDDEEDEEDDEeeDeeEee1.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程 22()0 1-7 镜像法和电轴法 所谓镜象法，是基于唯一性定理。此方法的特点是以场域外虚拟的集中电荷代替场域边界上分布电荷的作用，使场的边界条件保持不变，从而保持被研究的场不变。由于虚拟电荷往往与场域内的集中电荷互为镜象(平面镜象或曲面镜象)，故称为镜象法。1.7.1镜像法镜像法1、点电荷对无限大导电平面的镜象、点电荷对无限大导电平面的镜象 若有一点电荷

9、q，其与无限大地平面(地为导电平面)相距h高度，试求上半场域中的场量。根据唯一性定理，这个问题所给的条件是齐备的：对于场域内部，除点电荷所在点(奇异点)之外，均满足拉普拉斯方程。图1- 地面上方h处有一点电荷q对于场域边界条件而言，无限大地平面为等位面，其上总电荷(感应电荷)已知为-q。设想将无限大地平面撤去，而将下半场域亦充以电容率为0的媒质，且以地平面为镜象，在电荷q的镜象位置，放置一点电荷-q。对于上半场域，其内部未作任何变更，边界条件也没有改变。图1- 地面下方h处置一镜象电荷-q代替大地影响图1- 大地对点电荷电场的影响图1- 用镜象电荷代替大地的影响填充导电媒质后，电荷-q即转移至

10、无限大地平面上，根据等位面法，上半域的电场仍保持不变，即上半域的电场完全可以作为两点电荷电场进行求解。导电平面镜象问题的特点：镜象电荷必在被研究场域边界外，所处位置与场源电荷以平面对称。镜象电荷的电量与边界面有总电荷量相等，与场源电荷量大小相等、符号相反，而被研究场域边界电位值为零。2 、球形导体面的镜象、球形导体面的镜象 点电荷q的电场中，置有一半径为R的接地导体球(其电位为零)，球心至点电荷的距离为d。在点电荷的电场中，引入一中性导体球后，球面两侧将分别出现等量而异号的感应电荷 +q与-q。球面感生的负电荷(或正电荷)，其数值小于电荷q。球外电位满足 ：1）除q所在处外，空间2)当 时，3

11、)因导体接地,在球面上20r 00点电荷对导体球的镜像点电荷与导体球22220042cos42cos0qqdRRdbRRb22222222()() 2 ()cos0q bRqdRR q dq b22222222()()00q bRqdRq dq b2RbdbRqqqdd于是,球外任意点的电位为: 011()4qRrd r3、两层介质交界平面的镜象电位 和 满足 ：1）除q所在处外，左右半空间分别有2)当 时，3) 在分界面上,有衔接条件12221200和r 1200和121212nn待求区域为左半平面 待求区域为右半平面 11122211()414qqrrqr112qqqqqq12122122

12、qqqq1.7.2 电轴法电轴法 平行圆柱导体传输线在两圆柱导体外部任一点上，由和共同引起的电位是201ln2C若选在对称轴轴上,则20122220ln2()ln2()xbyxby22222221()()()xbyKxby22222212(xb)()11KbKyKK等位线是一族圆,圆心坐标是 ,圆的半径是221d(b),01KK221bKRK222Rbd222abh00()22ln()Ubhabha021ln()2ln()Ubhabha 例1-18 图1-32（ ）所示为两根不同半径，相互平行，轴线距离为 ，单位长度分别带 和 的长直圆柱导体。试决定电轴的位置。 解：ad 根据图可列出 解上述

13、方程可得：222112222212abhabhdhh22222212121222221122-+22daadaahhddbhaha1-8 电容和部分电容电容和部分电容1.8.1 电容QCUln2bUa2lnCba04abCba 1计算长度为 的同轴电缆的电容 解：根据高斯定律22ln22lnbaEllbUdalCbaEeEl 2求同心球面导体间的电容 解：根据高斯定律20202000444()44rbbaaqErqrqUddrrq baababqCUbaEeEl1W21W21W2ekkkeSeVqdSdV1.9.1 带电体系统中的静电能量带电体系统中的静电能量1.9.2 静电能量的分布及其密度

14、静电能量的分布及其密度12eD E1W2eVdVD E 例1-21 真空中一半径为 的球体内分布有体密度为常量 的电荷，试求静电能量。解：应用高斯定律，求得电场强度为a033033rrraEarar能量为22262202240002501(44)299415aearaWr drr drra 例1-22 一半径为 的均匀球面电荷，电荷面密度为 ，试求静电能量。 解：应用高斯定律得：a202044rraEQrarQa静电场能量为20V2202002012() 4248eWE dVQr drrQa2.3.3 恒定电场的基本方程d00d00SSJSJElEJE2.5.3 接地电阻接地体：为了接地将金属

15、导体埋入地内，将设备中需要接地的部分与该导体连接，称埋在地内的导体或导体系统为接地体。接地线：联结电力设备与接地体的导线。接地装置：接地体与接地线的总称。接地电阻：电流由接地装置流入大地再经大地流向另一接地体或向远处扩散所遇到的电阻，它包括接地线和接地体本身的电阻、接地体与大地之间的接触电阻以及两接地体之间大地的电阻或接地体到无限远处的大地电阻。IUR 深埋接地导体球的 分布J24IJr24JIEr2d44aIIUrra球14URIa球接地电阻为：3-1 磁感应强度3.1.1 磁感应强度(毕奥-沙伐定律)024RlI dRleB02( ,)( , , )4RSx y zx y zdSRKeB0

16、2( ,)( , , )4RVx y zx y zdVRJeB3.1.2 安培力定律lIdFlBqFvB02()4RllI dIdRleFl02()4RllIdI dR lleF3.1.3 磁力线0dBl例3-1 计算真空中载电流 的长为 的长直细导线外任一点处的磁感应强度.I2L长直细导线zI dIdzle22()RzzRzRI dIdzIdzRleeee02022 3/20222 1/20222244() ()|4() ()()4()()RlLLLLI dRIdzzzIzzzzIzLzLzLzLleBeee当L 02IBe3-2 安培环路定律3.2.1 真空中的安培环路定律00200022

17、2lllIddIdIdI Blel 例3-3 图3-7表示一根无限长同轴电缆的截面,芯线通有均匀分布的电流 ,外皮通有量值相同但方向相反的电流,试求各部分的磁感应强度. 解 I12122220011222200220011021d d2IRJRIIIRRIIBdBdRRIBR 解:12200023222232223232222203322222RRBdIIBRRRRIIIIRRRRI RBRR 3.2.2 媒质的磁化mmlSIddMlJSmSSmmndd JSMSJMKMe3.2.3 一般形式的安培环路定律0000()()()mllllldIIdIddIdIBlBlMlBMlBMHHl0000

18、() =(1)mmrr M =HBH + MHHB =H例3-5磁导率为 ,半径为 的无限长导磁媒质圆柱,其中心有无限长的线电流 ,圆柱外是空气.求圆柱内外的磁感应强度磁场强度和磁化强度.0000d2202(1)202llHIIIaIIaHH =eB =H =eM =HHeB =H =eM =aI解:3-3 恒定磁场基本方程.分界面上的衔接条件000mSSVdddV =BSBSBB =3.3.1 磁通连续性原理3.3.2 恒定磁场的基本方程0()dSllSSddIdIBSHlHlH dS =JS =HJ3.3.3 分界面上的衔接条件图3-11 在媒质分界面上应用安培环路定律1121112121

19、212()lttttnttdIHlHlK lHHKBBK HlHHeK若分界面上无电流则: 12ttHH图3-12 在媒质分界面上应用磁通连续性原理121122120()0SnnnnndBBHHBSBBe1122tantan例3-6设 平面是两种媒质的分界面.在 处媒质的磁导率 ;在 处,媒质的磁导率 .设已知分界面上无电流分布,且 ,求 和 .0y 0y 1050y 2032(1020)A/ mxyHee12,B B1H解:2220203(3060)xyBHHee由于分界面上无电流线密度( )0K 11211201060 xttynnHHHBBB11200221211015(30)5033(

20、20)125(5060)T1012A/ mxxyyxyxyBBHHBeeHee3-6 镜像法21121122IIII若第一种媒质是空气 ,第二种媒质是铁磁物质 ,载流导线置于空气中则有: 21121120222220202021()22IIIIIIBHIrrIr210若第一种媒质是铁磁物质 ,第二种媒质是空气 , 载流导线置于铁磁物质中则有: 120011011022IIIIII 3-6 电感3.7.1 自感LLiiooioLILILILILLL求自感的步骤:1iiiiiiooooooIBdddLIIBdddLI例3-12 计算3-24所示长为 的同轴电缆的自感.l12100221122221

21、122ziIRRIIBdBdSldRRIIIRR J =e解:13041300401012022882iiRiiiiIIddldIRIIldldRlLIRRIB 微外磁链21000210212ln22ln2ooRooRooIddldIIlRdldRlRLIR 故总自感为2001ln82ioLLLRllR 当23RR 22200223222032232222230322223232222iiiRBIIIRRIRBRRdBldRIl RIdddIRRRR 则322220322322223332222322320223222321()2() ln214RiRIl RdRRRRRRRRRRIlRRRR

22、则外壳内自感为222333222232232022322232() ln214iiLIRRRRRRRRlRRRR 此时总电感为2001222333222232232022322232ln82()ln214ioiLLLLRllRRRRRRRRRlRRRR3-8 磁场能量与力3.8.1 恒定磁场中的能量恒定磁场中的能量11 12 22221 12 212 1 213 1 3(1)11W21,2, )111W222nmkkkkkkkkknnmnnnnnnIM IMIL IM IknL IL IL IM I IM I IMII3.8.2 磁场能量的分布及其密度磁场能量的分布及其密度221112221W

23、d2mmVBHVH B=H B 例3-15 求长度为 ，内外导体半径分别为 和 （外导体很薄）的同轴电缆，通有电流为 时，电缆所具有的磁场能量（两导体间媒质的磁导率为 ）。 解：l2RI01R1212211012112222RIIIHRRIBR 当122022332200IRRHIBRHB 能量为1210220110121(22222)22mVRRRWdVIIldRRIIld H B 故有1212302401202120221(22)2 41(ln)441221(ln)24RRmRmmI ldWdRI lRRWLIWlRLIR 4-2 电磁场基本方程组.分界面上的衔接条件4.2.1电磁场基本方

24、程组dddlSStDHlJSSddlStBElS0dSBS=dSDS=q 电磁场基本方程组电磁场基本方程组的积分式电磁场基本方程组的微分式tDHJtBE0BDDEBH 电磁场基本方程组得辅助方程或构成关系JE 例4-1在无源的自由空间中，已知磁场强度 求位移电流密度 。 解：592.63 10 cos(3 1010 ) A/ytzmHedJ4922.63 10 sin(3 1010 ) A/mydxxtHtztz eDHDJHe 例4-2在无源区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度求空间任一点的磁感应强度 。 解：2910 sin(6.28 1020.9 ) V/ytzmEeB29=

25、20.9 10cos(6.28 1020.9 )yxxEtztzBE=ee1193.33 10sin(6.28 1020.9 ) TyxxEdtztz eBe4.5.2坡印亭定理的复数形式2*22*2*2dd+()d()()d1R e ()d1I()deVVAVAAmAVVjd VRIXI JEJEHAHEEHA =P +jQEHAEHA 例4-8 在无源（ ， ）的自由空间中，已知电磁场的电场强度复矢量 式中 ， 为常数。求：（1）磁场强度复矢量 ；（2）坡印亭矢量的瞬时值； （3）平均坡印亭矢量。 解：（1）0E0J( )j zyzEeEe( ) zH000011(z) =()j zxj

26、zxjEejjzEe EHHEee （2）电场、磁场的瞬时值为 （3）*020Re() j zj zavyxzESEeeE eee0220( , )2cos()( , )2cos()2cos ()yxzz tEtzEz ttzEtzE=eH=eS = EHe6.1.2 平面电磁波22222222=00txttxtHHHEEE在电磁波的传播过程中,对应于每一时刻,空间电磁场中电场或磁场具有相同相位 的点构成等位面等位面,或波阵波阵面面.等相位面为平面的电磁波称为平面电磁波平面电磁波.如果在平面电磁波的等相位面的每一点上,电场均相同,磁场也相同,这样的电磁波称为均匀平面电磁波均匀平面电磁波.( ,

27、 )()x tx,tEEHH(1)均匀平面电磁波是一横电磁波.(2)电磁波的电场 的方向磁场 方向和波的传播方向三者相互垂直,且满足右手螺旋关系.(3)分量 和 构成一组平面波;分量 和 构成另一组平面波,这两组平面波彼此独立.是一维波动方程EHyEzHyHzE22222222=00zzzyyyHHHtxtEEEtxt例6-1已知自由空间中电磁波的电场强度表达式 (1)试问此波是否是均匀平面波?求出该波的频率 波长 波速 相位常数 和波传播方向,并写出磁场强度的表达式 .(2)若在 处水平放置一半径 的圆环,求垂直穿过圆环的平均电磁功率.850cos(610)V/ mytxEefvH0 xx2

28、.5mR 解:(1)888006103 10 Hz2213 10 m/sfv= 00808=1m2=26.28rad/m150cos(610)50cos(610) A/m377zzvfZZtxZtxEEH =HH =ee(2)坡印亭矢量的平均值*av2av2Re1250W/m377d125065.1W377xxAEHPRggSE HeeSA例6-2一频率为 的正弦均匀平面波, 在 的理想介质中朝 方向传播.当 时,电场的最大值为 ,(1)求波长相速和相位常数;(2)写出电场强度和磁场强度的瞬时表达式;(3)求出 时,电场强度为最大正值的位置.解:(1)100MHzyyEEe4,1rr() x0

29、,1/8mtx410 V/m810 st88811.5 10 m/s22104=4rad/m3 103rrrrccvc 23=m2(2)电场的瞬时表达式为4( , )cos()0,1/8m10410386mymx tEtxtxEEe480484( , )10cos(210)3612060104( , )cos(210)6036yrzx ttxZx ttxEeHe(3)当 时,为使 为最大值,应有810 stE8842101023613313(0,1,2,.)828txxnxnnn 6.3.3 良导体中的电磁波如果满足条件 ,则称良导体,可近似认为:1201()(1)2(1)4522222kjj

30、Zjv结论:1）高频电磁波在良导体中的衰减常数变得非常大。电磁波无法进入良导体深处，仅存在于其表面附近，集肤效应非常明显，透入深度 .2）电场与磁场不同相.波阻抗的幅角为 ,磁场的相位滞后于电场 .3)由于 很大,波阻抗的值很小,故电场能密度小于磁场能密度,良导体中的电磁波以磁场为主,传导电流是电流的主要成分.4)良导体中电磁波的相速和波长都较小.12d4545例6-4 一均匀平面电磁波从海水表面 向海水中 传播,已知 ,海水的 (1)求衰减常数相位常数波阻抗相位速度波长透入深度;(2)求 的振幅衰减至表面值的 时,波传播的距离;(3)求 时, 和 的表达式.解:(0)x x7100cos(10)ytEe80,1,4S/mrrE1%0