初中四边形练习

1、 名校备考资料 优等生专用第四章四边形LYH 备课组整理!一、几何起源公元前三百年左右，古希腊数学家欧几里得将公元前七世纪以来希腊几何积累起来的既丰富又纷纭的庞杂结果整理在一个严密统一的体系中，从原始公理开始，列出5条公理，通过逻辑推理，演绎出一系列定理和推论，从而建立了被称为欧几里得几何学的第一个公理化数学体系，写成了巨著几何原本。 学习四边形这一章，我们要善于综合所学的几何知识，进行灵活的转化，并且应该学会抓住题的特征入手，由于四边形知识比较繁琐，我们应该积累做题经验，多总结，这样我们将会进入一个奇妙的四边形世界。2、 工具性知识平行四边形矩形菱形正方形定义有两组对边分别平行的四边形叫做平

2、行四边形。有一个角是直角的平行四边形。邻边相等的平行四边形。一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。性质平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等。平行四边形的对角线互相平分。 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。四条边都相等，四个角都是直角。 正方形既是矩形，又是菱形。判定1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形2.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 4.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2.对角线相等的平行四边形是矩

3、形。3.有三个角是直角的四边形是矩形。1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。3.四条边相等的四边形是菱形。S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线） 1.邻边相等的矩形是正方形。2.有一个角是直角的菱形是正方形。梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 解梯形问题常用的辅助线：如图注意:第一种辅助线(平移腰):用于已知梯形两腰夹

4、角及上下底之差的题型中第二种辅助线(作双高):用于与特殊角,勾股定理有关的题型中第三种辅助线(平移对角线):用于已知两对角线关系的题型中第四种辅助线:用于关于梯形边长比例的题型中第五种辅助线:用于已知一腰上中点的题型中为方便同学理解辅助线的作法，我们作一个辅助线专题板块专题板块：四边形辅助线作法1利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.分析:因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC/ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO/ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得

5、证.2利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED/AC，FG/AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.分析:要证明ED+FG=AC,因为DE/AC,可以经过点E作EH/CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH.证明:过点E作EH/BC,交AC于H,因为ED/AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG/AC,EH/BC,所以AEH=B,A=BFG,又AE=BF,所以AEHFBG,所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一

6、组对边平行，得到平行四边形解决问题.3利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法. 图3 图4二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4

7、 如图5，在ABC中，ACB=90°，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF/BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有量种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形.根据AD是BAC的平分线，AE=AC，可通过连接CE，构造等腰三角形，借助三线合一证明AD垂直CE.求AD平分CE.例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，

8、借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF，然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题.证明：连结BD、DF.因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DFDE，当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长. 图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索

9、题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长.分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E，交CD于F，交BC于点H，交AD于G.因为四边形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2，DF2=AE2=AP2-EP2，PH2+PE2=BP2，所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18，所以PD=3. 图

10、7说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长.四、与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD的顶点B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求证：BCF=AEB.分析：由BE/AC，CF/AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AHBE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH

11、=OB=AC，可算出E=ACF=30°，BCF=15°.证明：连接BD交AC于O，作AHBE交BE于H.在正方形ABCD中，ACBD，AO=BO，又BE/AC，AHBE，所以BOAC，所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=AC，因为AE=AC，所以AEH=30°，因为BE/AC，AE/CF，所以ACFE是菱形，所以AEF=ACF=30°，因为AC是正方形的对角线，所以ACB=45°，所以BCF=15°，所以BCF=AEB. 说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，

12、进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.五、 与梯形有关的辅助线的作法（可参照工具型知识） 和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型：（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形；（2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；（3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形；（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等.例8 已知，如图9，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90°，BD=BC，BD交AC于点0.求证：CO=CD.分析：要证明CO=CD，可证明COD=CDO，由于已知BAC=90°，所以可通过作梯形高构造矩形，借助直角三角形

13、的性质解决问题. 证明：过点A、D分别作AEBC，DFBC，垂足分别是E、F，则四边形AEFD为矩形，因为AE=DF，AB=AC，AEBC，BAC=90°，所以AE=BE=CE=BC，ACB=45°，所以AE=DF=，又DFBC，所以在RtDFB中，DBC=30°，又BD=BC，所以BDC=BCD=，所以DOC=DBC+ACB=30°+45°=75°.所以BDC=DOC，所以C0=CD. 图9说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.例9 如图10，在等腰

14、梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的长.分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.解：过点D作DF/AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形，所以AC=DF，AD=CF，因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=DB，BD=FD，因为DEBC，所以BE=EF=BF=(BC+CF)=(BC+AD)=×10=5.因为AC/DF,BDAC,所以BDDF,因为BE=FE,所以DE=BE=EF=5,即DE的长为5. 图10说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造

15、平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.六、 和中位线有关辅助线的作法例10 如图11，在四边形ABCD中，AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G.求证：OG=OH.分析：欲证0G=OH，而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.证明：取AD中点P，连结PE，PF.因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以PE/BD，且PE=BD，PF/AC，且PF=AC，所以PEF=PFE，又PEF=OGH，PFE=OHG，所以OGH=OHG，所以OG=OH.说明：遇中点，常作中位线，借助

16、中位线的性质解题.板块一.平行四边形(请补充)板块二:菱形l已知，如图所示，菱形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的一点，D=EAF=AEF60°.BAE18°，求CEF的度数分析：要求CEF的度数，可先求AEB的度数，而要求AEB的度数则必须求B的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由D60°如连结AC得等边ABC与ACD，从而ABEACF，有AEAF，则AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求CEF点评:求某个角度数要联系到其它角的度数来求变式: 菱形ABCD中AB=BD=5，求：（1）BAC的度数；（2）求AC的长分析：（

17、1）由题意易得ABD是等边三角形，BAD=60°，AC是菱形的一条对角线平分一组内角，所以BAC=30°；（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可先求出OA的长，再求AC=2OA点评：此题主要考查菱形的对角线的性质及勾股定理2已知：如图，ABC中，BAC90°，ADBC于点D，BE平分ABC，交AD于点M，AN平分DAC，交BC于点N.求证：四边形AMNE是菱形分析：要证AMNE是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN是DAC的平分线，只要证AMAE，则AN垂直

18、平分ME，若证ANME，则再由BE平分ABN易知BE也垂直平分AN，即AN与ME互相垂直平分，故有AMMNNEAE，即AMNE是菱形，此为证法一显然，在上述证法中，证得BE垂直平分AN后，可得AMMN，所以MNAMANNAE，所以MNAE，则AMNE是平行四边形，又AMMN所以AMNE是菱形3已知：如图菱形ABCD中，DEAB于点E，且OADE，边长AD8，求菱形ABCD的面积分析：由菱形的对角线互相垂直知OA是ABD的边BD上的高，又由DEAB，OADE，易知AODDEA从而知ABD是等边三角形，从而菱形ABCD面积可求注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出

19、对角线AC，BD的长，按S菱形ABCD=AC·BD来计算，但后者较繁复变式: 菱形ABCD中,边长AB为4厘米,高AE平分BC,求菱形的面积4已知：如图，ABCD中，AD2AB，将CD向两边分别延长到E，F使CDCEDF；求证：AEBF分析：注意ABCD中，AD2AB这一特殊条件，因此ABCD能分成两个菱形从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明5如图所示，AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗？请说明理由分析：由已知判断AOF和DOF是关于直线EF成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到OAFODF，再结合已知得到ODFOAE，从而

20、判断DFAE，得到AEDF是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF是菱形。注意：用轴对称，平移和旋转的观点处理几何问题，往往会得到意想不到的效果6如图所示，将宽度为1的两张纸条交叉重叠在一起，得到重叠部分为四边形ABCD，四边形ABCD为菱形吗？为什么？分析：纸条的宽度即是图中线段AE，AF的长，而AE，AF又分别与BC，CD垂直因此，如果ABCD是平行四边形，则AE，AF即为它的高，再从面积入手不难推出ABCD是菱形变式: 3菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用如图所示是一块长30cm，宽20cm的长方形的瓷砖，E，F，G，H分别是边BC，CD，D

21、A，AB的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色现有一面长4.2m，宽2.8m的墙壁准备贴这种瓷砖，试问： （1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？ （2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少 个面积相等的菱形？其中有花纹的菱形有多少个？7已知：如图所示，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且DAE2BAE，求证：EBOA分析：要EBOA，证它们所在的三角形全等，即AODBEA板块三矩形和正方形1如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，AOD=120°，AB4cm，求矩形对角线长分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难

22、求解2如图12-2-2所示：ABCD中AC，BD直交于O，EFBD垂足为O，EF分别交AD，BC于点E，F，且AE=EO=DE.求证：ABCD为矩形分析：观察给出的已知图象的特征，要证ABCD为矩形，显然只要证ACBD即可，若RtDOE的斜边上的中线OM，易证AOEDOM，OAOD问题得证3已知：如图所示，E是已知矩形ABCD的边CB延长线上的一点，CECA，F是AE的中点求证：BFFD分析：由于CECA，F是AE的中点，若连结CF，则CFAE所示AFC90°.所以要证BFFD，只须再证CFBAFD易知，只要证AFDBCF4已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点求证：EABEBA分

23、析：证角相等若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形5如图：已知矩形ABCD中，CFBD于F，DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到EAOE即可得CACE6、如图12-2-14，已知过正方形ABCD对角线BD上一点P，作PEBC于E，作PFCD于F试说明APEF分析：由PEBC，PFCD知，四边形PECF为矩形，故有EFPC，这时只需证APCP，由正方形对角线互相垂直平分知APCP注意：在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中思考

24、：由上述条件是否可以得到APEF提示：可以，延长AP交EF于N，由PEAB，有NPEBAN又BANBCP，而BCPPFE，故NPEPFE，而PFEPEF90°，所以NPEPEF90°，则APEF7、如图12-2-15，ABC中，ABC90°，BD平分ABC，DEBC，DFAB，试说明四边形BEDF是正方形思考：还有没有其他方法？提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BEDE，可得另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得)注意：灵活选择正方形的识别方法8、如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，ADE是等边三角形，

25、求BEC的大小分析：等边三角形和正方形都能提供大量的线段相等和角相等，常能产生一些等腰三角形，十分便于计算在本题中，必须注意等边三角形与正方形不同的位置关系在(1)图中，ABE和DCE都是等腰三角形，顶角都是150°，可得底角AEB与DEC都是15°，则BEC为30°而在(2)图中，等边三角形在正方形内部，ABE和DCE是等腰三角形，顶角是30°，可得底角AEB和DEC为75°，再利用周角可求得BEC150°变式:（2010湖南常德）如图10，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AGCE.（1）当正方形G

26、FED绕D旋转到如图11的位置时，AG=CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形GFED绕D旋转到如图12的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M. 求证：AGCH；当AD=4，DG=时，求CH的长.MBACDEFGH 图12ABCDEFG图11ABCDEFG图10 ABCDEFG图11BACDEFG12图12HPM变式4、如图450，已知矩形ABCD中，F为CD的中点，在BC上有一点E，使AEDCCE，AF平分EAD求证：矩形ABCD是正方形 图450剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AEDCCE，容易想到若能证明AEADCE便可

27、证得ADDC，由于AF平分EAD，因此可在AE上截取AGAD，再证GECE，就可得出要证的结论说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一个角是直角变式: （2010江西）如图，已知矩形纸片ABCD，点E 是AB的中点，点G是BC上的一点，BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与BEG相等的角的个数为( )A4 B3 C2 D1BAGCDHE(第8题图)变式3.（2010山东日照）如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，AEF=90o，且EF

28、交正方形外角的平分线CF于点F （1）证明：BAE=FEC；（2）证明：AGEECF；（3）求AEF的面积变式: 4.（2010江苏无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是DCP的平分线上一点若AMN=90°，求证：AM=MN下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明证明：在边AB上截取AE=MC，连ME正方形ABCD中，B=BCD=90°，AB=BCNMC=180°AMNAMB=180°BAMB=MAB=MAE（下面请你完成余下的证明过程）图1图2（2）若将（

29、1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是ACP的平分线上一点，则当AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCDX”，请你作出猜想：当AMN=°时，结论AM=MN仍然成立（直接写出答案，不需要证明）变式5.（2010四川宜宾）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF给出下列五个结论：AP =EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD= EC其中正确结论的序号是 板块四:梯形(请补充)板块五:多边形例1:过m边形的一个顶点有

30、4条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则（m-p）n= 分析：根据n边形过一个顶点有（n-3）条对角线，共有 条对角线 点评：熟悉多边形中的一些公式：n边形过一个顶点有（n-3）条对角线，共有 条对角线变式: 一个多边形对角线的数目是边数的2倍，这样的多边形的边数是（ ）例2（2009乌鲁木齐）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A、5B、6C、7D、8 分析：利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题点评：解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数变式: （2011广安）若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点

31、出发引的对角线条数是（）例3一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（）A、17 B、16 C、15 D、16或15或17 分析：因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题点评：本题主要考查多边形的内角和定理的计算方法变式: （2001青海）过四边形一个顶点的对角线可以把四边形分成两个三角形；过五边形或六边形的一个顶点的对角线，分别把它们分成个三角形；过n边形一个顶点的对角线可以把n边形分成 （）个（用含n的代数式表示）三角形例4在用计算器计算一个多边形的内角和时，小明的结果为

32、2115°，小芳立即判断他的结果是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍根据以上事实，请你判定该多边形为（） 十三边形分析：n边形的内角和是（n-2）180，因而内角和一定是180度的倍数而多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和再加上一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要大，大的值小于1则用内角的和除以180所得值，加上2，比这个数小的最大的整数就是多边形的边数点评：正确理解多边形的内角和是180度的整数倍，以及多边形的角的范围，是解题的关键 例5从七边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把七边形分成 5个三角形分

33、析：根据七边形的概念和特性即可解从简单图形说起：从四边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（4-2）=2个三角形点评：本题考查的知识点为：过n边形一个顶点作对角线，最多可把n边形分成（n-2）个三角形 四、中考名题赏析1.一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题. 课本里对四边形的研究即遵循着上面的思路当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题比如有下面的问题，请你研究已知：四边形

34、中，且（1）借助网格画出四边形所有可能的形状；（2）简要说明在什么情况下四边形具有所画的形状答案略2. （1）如图1，正方形网格中有一个平行四边形，请在图1中画一条直线把平行四边形分成面积相等的两部分；(2)把图2中的平行四边形分割成四个全等的四边形（要求在图2中画出分割线），并把所得的四个全等的四边形在图3中拼成一个轴对称图形或中心对称图形，使所得图形与原图形不全等且各个顶点都落在格点上。温馨提示：作图时，可先使用2B铅笔，确定后必须使用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑。答案略五.习题训练A卷1、（2009安徽芜湖4）下列命题中不成立的是（ ）A矩形的对角线相等B三边对应相等的两个三角形全等

35、C两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方D一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形2.（2009福建漳州8）如图，要使成为矩形，需添加的条件是（ ）AB C DADCB第3题图12BCDAO第2题图3.（广西桂林10）如图，ABCD中，AC、BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ） A3 B6 C12 D24AGDBCA4. (2009河北衡阳10）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）A1B CD25. ABCDE（2009山东日照5）如图，在ABCD中，已知AD8， AB6， D

36、E平分ADC交BC边于点E，则BE等于（ ） （A）2cm（B）4cm 第5题图（C）6cm（D）8cm 6.（08黑龙江哈尔滨）己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE3，连接BE与对角线AC相交于点M，则 的值是 。 ADCEFGB第7题图7.（08黑龙江鸡西）如图，矩形中，cm，cm，点为边上的任意一点，四边形也是矩形，且，则 1cm或7cm8（08辽宁沈阳）如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）（或，等）ADCBO第8题图9（08辽宁大连）如图8，在梯形ABCD中，ADBC，E为BC上一点，DEAB，AD的长为

37、1，BC的长为2，则CE的长为_110（08天津市卷）16如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若，则GF的长为 3 第（16）题ADCBFGEABC图9-1图9-211（2011泸州）如图，已知D是ABC的边AB上一点，CEAB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明12、（2011北京）如图，在ABC中，ACB=90°，D是BC的中点，DEBC，CEAD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而

38、求出四边形ACEB的周长13、（2010盘锦）如图，ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边ADE，过点C作CFDE交AB于点F（1）若点D是BC边的中点（如图），求证：EF=CD；（2）在（1）的条件下直接写出AEF和ABC的面积比；（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由14、（2002咸宁）如图所示，已知AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，求证：ADEF要证ADEF，可先证明AEDF为菱形由题意可得四边形AEDF为平行四边形，又1=2，而2=3，1=3，A

39、E=DEAEDF为菱形15、（2010沈阳）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：四边形AEOF是菱形要证明四边形AEOF是菱形，可根据“四条边相等的四边形是菱形”或“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明16、（2007安顺）已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的中点（1）求证：四边形ADEF是菱形；（2）若AB=24，求菱形ADEF的周长D，E，F分别是AB，BC，AC边上的中点，则可以想到三角形的中位线定理，易证四边形ADEF是平行四边形要证明是菱形，只要再证明它的一组邻边相

40、等即可B卷1、（08年江苏镇江）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 点ACAFDEBG（第1题图）2、(08浙江湖州)利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 3、(08浙江嘉兴)如图，菱形中，已知，则的大小是 （第3题）aDCBAMcNEFbGH（第4题）4、（08浙江台州）15如图，四边形，都是正方形，边长分别为；五点在同一直线上，则 （用含有的代数式表示）ACBD（第5题图）5、（08浙江温州）如图，菱形中，对角线，

41、则菱形的周长等于 6、（2007安顺）已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的中点（1）求证：四边形ADEF是菱形；（2）若AB=24，求菱形ADEF的周长7、（2010崇左）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DGAC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积8.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AFAC，垂足为A，AF=AE（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时（其他条件都

42、保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由C卷:1、如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PFAE，PHDE，垂足分别为F，H（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明；（2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？例题解答：板块二:菱形1. 解法一：因为菱形是特殊的平行四边形所BD60°.因为BAE18°，AEB+B+BAE180°所以AEB+60°+18°180°.即AEB=180°-60°-18°102

43、76;又AEF60°，AEB+AEF+CEF180°所以CEF180°-60°-102°18°解法二：连结AC  四边形ABCD为菱形，BD60°，ABBCCDADABC和CDA为等边三角形 ABAC，BACDBAC60°EAF60°  BAE=CAF  ABEACF  AEAF又EAF60°  EAF为等边三角形  AEF60°AEC=B+BAE=AEF+CEF60°+18°60°+CEF

44、60; CEF18°变式：解答：解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD又AB=BD，所以ABD是等边三角形，BAD=60°AC是菱形的一条对角线平分一组内角，所以BAC=30°（2）因为四边形ABCD是菱形，所以AO=CO，BO=DO= 在直角三角形AOB中AB=5，BO=2.5，由勾股定理得AO= 所以AC=2AO= 2. 证法一：因为BAC90°，ADBC，所以BADC因为BE平分ABC，所以ABEEBC因为AMEBAD+ABEC+EBCAEM，所以AMAE，又因为AN平分DAC，所以AMMN，所以AMMNNEAE所以AMNE是菱形证法二

45、：同上，若证AN垂直平分ME，再证BE垂直平分AN，则AMMN，所以MNA=MNA=NAE.所以MNAE所以AMNE是平行四边形，由AMMN得AMNE是菱形3. 解：在菱形ABCD中，因为ACBD，所以AOD是直角三角形，因为DEAB，所以AED是直角三角形在RtAOD和RtAED中，因为ADAD，DEOA，所以RtAODRtDEA所以ADODAE，因为ABCD为菱形，所以ADOABO，所以ABD是等边三角形因为AD8，DEAB，所以AEAD4，在RtAED中，DE=4.从而S菱形ABCDAB·DE8×4=324. 证明：设AE交BC于点G，BF交AD于点H，连结GH.因为

46、ABDF，所以F=ABH，FDH=BAH.又因为ABCDDF，所以ABHDFH.所以AHHD=AD=AB.所以BCAH，BG=AB则四边形ABGH是菱形，所以AEBF5. 解：四边形AEDF是菱形，理由如下：因为，EF垂直平分AD，所以，AOF与DOF关于直线EF成轴对称所以ODFOAF，又因为AD平分BAC，即OAF=OAE所以ODFOAE所以AEDF同样的道理可得DEAF所以四边形AEDF是平行四边形，所以EO=OF，即AEDF的对角线AD，EF互相垂直平分AEDF是菱形6. 解：四边形ABCD为菱形因为：由已知可得，ABCD，ADBC，所以，四边形ABCD是平行四边形，由纸条的宽度为1，

47、知AEAF1，又因为ABCD的面积=BC·AECD·AF，所以BCCD，故平行四边形ABCD为菱形7. 证明：四边形ABCD为菱形，ADBC，AD=BA，ABCADC2ADB  DAEAEBAB=AE,ABCAEB  ABC=DAEDAE2BAE，BAEADB又ADBA  AODBEA  AOBE板块三.矩形 正方形1. 解：ABCD为矩形ACBD，且OA=AC，OB=BD，OA=OB，AOD=120°，AOB=60° AOB为等边三角形OBOAAB4，BD2OB2×48cm2. 证明：取DE的中点M，连

48、结OM，在RtDOE中，OM=DE=DM，OE=AE=DE，OME=OEAOMOE，DMAE，OMDOEM，OMDOEA，OA=OD，在ABCD中，OA=AC，OD=BD，ACBC  ABCD为矩形3. 证法一：连结CF因为CECA，F是AE中点，所以CFAE所以AFD+DFC90°，因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，ABCBAD90°又F是RtABE斜边BE的中点，所以BFAF，所以FABFBA，所以FAD=FBC所以FADFBC所以CFB=AFD，所以CFB+DFC90°，即BFFD证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD因为四边

49、形ABCD是矩形，所以ADBC，ACBD，所以AGFEBF，GAF=BEF因为F是AE的中点，所以AFFE所以AGFEBF所以GFBF，AGBE所以GDEC因为CACE，CABD，所以BFDF.4. 证明：四边形ABCD为矩形  DC90°，ADBCE为DC的中点，ADEBCE  AEBE  EAB=EBA5. 解：OACO过点A作AMDB，可得AMEF，MAEEDAMDBAOAB，MAEEAOEAOE  CE = CA6. 解：连结AC、PC，四边形ABCD为正方形，BD垂直平分AC，APCPPEBC，PFCD，BCD90°，四边形

50、PECF为矩形，PCEF，APEF7. 解：ABC90°，DEBC，DEAB，同理，DFBC，BEDF是平行四边形BD平分ABC，DEBC，DFAB，DEDF又ABC90°，BEDF是平行四边形，四边形BEDF是正方形8. 解：(1)当等边ADE在正方形ABCD外部时，ABAE，BAE90°60°150°，所以AEB15°同理可得DEC15°，则BEC60°15°15°30°(2)当等边ADE在正方形ABCD内部时，ABAE，BAE90°60°30°，所以AEB75°同理可得DEC75°，则BEC360°75°75°60&#