初三数学圆及旋转题库+第2讲：旋转的应用

1、菁优网初三数学圆及旋转题库 第2讲：旋转的应用 初三数学圆及旋转题库 第2讲：旋转的应用一、解答题1四边形ABCD中，AB=BC，ABC=60度，ADC=120度，求证：BD=AD+CD2正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数3D为等腰RtABC斜边AB的中点，DMDN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F（1）当MDN绕点D转动时，求证：DE=DF（2）若AB=2，求四边形DECF的面积4如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的

2、周长为_5（2010朝阳区一模）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2），连接PP，可得PPC是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以APB=150，而BPC=APB=150，进而求出等边ABC的边长为，问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长6已知：PA=，PB=4，以AB为一边作正方

3、形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧如图，当APB=45时，求AB及PD的长7（2009崇文区一模）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60，BDC=120，BD=DC探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_；此时=_；（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上

4、时，若AN=x，则Q=_（用x、L表示）8以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD=CAE=90，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是_，线段AM与DE的数量关系是_；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由9（2009丰台区一模）如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90，当点D在线段

5、BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为_，线段CF、BD的数量关系为_；当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由10在ABCD中，过点C作CECD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF（如图）（1）在图中画图探究：当P1为射线CD上任意一点（P1不与C点重合）时，连接EP1，将线段EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EG1判断直线FG1与直线CD的位置关系并加以证明；当P2为线段DC的延长线上任意一点时，

6、连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90得到线段EG2判断直线G1G2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论初三数学圆及旋转题库 第2讲：旋转的应用参考答案与试题解析一、解答题1四边形ABCD中，AB=BC，ABC=60度，ADC=120度，求证：BD=AD+CD考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：首先延长AD到E，使DE=DC，连接CE，由ADC=120，可得1=60，再有DE=DC可根据有一个角是60的等腰三角形是等边角形证出DEC是等边三角形，同理证出ABC也是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB=CB，DC

7、=CE，3=4=60，进而得到BCD=ACE，再证明BCDACE，得出BD=AE，由AE=AD+DE，DE=DC进行等量代换可得BD=AD+CD解答：证明：延长AD到E，使DE=DC，连接CE，ADC=120，1=180120=60，DC=DE，DEC是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边角形），DC=CE，4=60，ABC=60，AB=CB，ABC是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边角形），AC=CB，3=60，3=4=60，3+5=4+5，即：BCD=ACE，在BCD和ACE中：，BCDACE（SAS），BD=AE（全等三角形对应边相等），AE=AD+DE=AD+DC，D

8、B=AD+DC点评：此题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是正确作出辅助线，证出DEC和ABC是等边三角形，再证出BCDACE2正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质菁优网版权所有分析：延长EB使得BG=DF，易证ABGADF（SAS）可得AF=AG，进而求证AEGAEF可得EAG=EAF，再求出EAG+EAF=90即可解题解答：解：延长EB使得BG=DF，连接AG，在ABG和ADF中，由，可得ABGADF（SAS），DAF=BAG，AF=AG，又EF=D

9、F+BE=EB+BG=EG，AE=AE，在AEG和AEF中，AEGAEF（SSS），EAG=EAF，DAF+EAF+BAE=90EAG+EAF=90，EAF=45答：EAF的角度为45点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证EAG=EAF是解题的关键3D为等腰RtABC斜边AB的中点，DMDN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F（1）当MDN绕点D转动时，求证：DE=DF（2）若AB=2，求四边形DECF的面积考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：计算题分析：（1）连CD，根据等腰

10、直角三角形的性质得到CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，则BCD=45，CDA=90，由DMDN得EDF=90，根据等角的余角相等得到CDE=ADF，根据全等三角形的判定易得DCEADF，即可得到结论；（2）由DCEADF，则SDCE=SADF，于是四边形DECF的面积=SACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得SACD，从而得到四边形DECF的面积解答：解：（1）连CD，如图，D为等腰RtABC斜边AB的中点，CD平分ACB，CDAB，A=45，CD=DA，BCD=45，CDA=90，DMDN，EDF=90，CDE=ADF，在DCE和ADF中，DCEAD

11、F（ASA），DE=DF；（2）DCEADF，SDCE=SADF，四边形DECF的面积=SACD，而AB=2，CD=DA=1，四边形DECF的面积=SACD=CDDA=点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质4如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120，以D为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为6考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有分析：要求AMN的周长

12、，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明BDFCND，及DMNDMF，从而得出MN=MF，AMN的周长等于AB+AC的长解答：解：BDC是等腰三角形，且BDC=120，BCD=DBC=30，ABC是边长为3的等边三角形，ABC=BAC=BCA=60，DBA=DCA=90，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在RtBDF和RtCND中，BDFCDN，BDF=CDN，DF=DN，MDN=60，BDM+CDN=60，BDM+BDF=60，在DMN和DMF中，DMNDMF，MN=MF，AMN的周长是：A

13、M+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6故答案为：6点评：此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键5（2010朝阳区一模）请阅读下列材料：问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1、求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60，画出旋转后的图形（如图2），连接PP，可得PPC是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以APB=150，而BPC=APB=150，进而求出等边ABC的

14、边长为，问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长考点：旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；勾股定理；正方形的性质菁优网版权所有专题：阅读型分析：（1）参照题目给出的解题思路，可将BPC绕点B逆时针旋转90，得到BPA，根据旋转的性质知：BPCBPA，进而可判断出BPP是等腰直角三角形，可得BPP=45；然后根据AP、PP、PA的长，利用勾股定理得到APP是直角三角形的结论，可得APP=90，即可求得BPA的度数，进而可得BPC的度数（2）过B作AP的垂线，交AP的延

15、长线于E，易知BEP是等腰直角三角形，即可得到PE、BE的长，进而可在RtABE中，利用勾股定理求得正方形的边长解答：解：（1）如图，将BPC绕点B逆时针旋转90，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP=；连接PP，在RtBPP中，BP=BP=，PBP=90，PP=2，BPP=45；（2分）在APP中，AP=1，PP=2，AP=，即AP2+PP2=AP2；APP是直角三角形，即APP=90，APB=135，BPC=APB=135（4分）（2）过点B作BEAP，交AP的延长线于点E；则BEP是等腰直角三角形，EPB=45，EP=BE=1，AE=2；在RtABE中，由勾股定理，得AB=

16、；（7分）BPC=135，正方形边长为点评：此题主要考查了正方形的性质、图形的旋转变换、勾股定理以及全等三角形等知识的综合应用，由于题目给出了解题的思路使得此题的难度降低，但是题中辅助线的作法应该牢记6已知：PA=，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧如图，当APB=45时，求AB及PD的长考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质菁优网版权所有专题：计算题分析：过A点作AEPB于E，由APB=45得APE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质有PE=AE=PA=1，则BE=3，然后在RtAEB中，利用勾股定理可计算出AB=；由于AD

17、=AB，DAB=90，则把APD绕点A顺时针旋转90得到AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，根据旋转的性质得到AP=AF，PAF=90，PD=FB，则APF为等腰直角三角形，得到APF=45，PF=AP=2，即有BPF=APB+APF=45+45=90，然后在RtFBP中，根据勾股定理可计算出FB的长，即可得到PD的长解答：解：过A点作AEPB于E，如图，APB=45，APE为等腰直角三角形，PE=AE=PA=1，PB=4，BE=PBPE=41=3，在RtAEB中，AB=；AD=AB，DAB=90，把APD绕点A顺时针旋转90得到AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图，A

18、P=AF，PAF=90，PD=FB，APF为等腰直角三角形，APF=45，PF=AP=2，BPF=APB+APF=45+45=90，在RtFBP中，PB=4，PF=2，FB=2，PD=2，所以AB和PD的长分别为、2点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角线段，对应线段线段；对应点的连线段所夹的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理7（2009崇文区一模）在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为ABC外一点，且MDN=60，BDC=120，BD=DC探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM

19、、NC、MN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是MN=NC+BM；此时=；（2）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=2x+L（用x、L表示）考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：探究型分析：（1）如果DM=DN，DMN=DNM，因为BD=DC，那么DBC=DCB=30，也就有MBD=NCD=60+30=90，直角三角形MBD、NCD中，因为

20、BD=CD，DM=DN，根据HL定理，两三角形全等那么BM=NC，BMD=DNC=60，三角形NCD中，NDC=30，DN=2NC，在三角形DNM中，DM=DN，MDN=60，因此三角形DMN是个等边三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM，三角形AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB，三角形ABC的周长L=3AB，因此Q：L=2：3（2）如果DMDN，我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换延长AC至E，使CE=BM，连接DE（1）中我们已经得出，MBD=NCD=90，那么三角形MBD和ECD中，有了一组直角，MB=CE，BD=DC，因此两三角形全等，

21、那么DM=DE，BDM=CDE，EDN=BDCMDN=60三角形MDN和EDN中，有DM=DE，EDN=MDN=60，有一条公共边，因此两三角形全等，MN=NE，至此我们把BM转换成了CE，把MN转换成了NE，因为NE=CN+CE，因此NM=BM+CNQ与L的关系的求法同（1），得出的结果是一样的（3）我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换，思路同（2）过D作CDN=MDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已经得出的DCH=MBD=90，我们做的角BDM=CDH，BD=CD因此两三角形全等（ASA）那么BM=CH，DM=DH，三角形MDN和NDH中，已知的条件有MD=DH，一条公共边ND，

22、要想证得两三角形全等就需要知道MDN=HDN，因为CDH=MDB，因此MDH=BDC=120，因为MDN=60，那么NDH=12060=60，因此MDN=NDH，这样就构成了两三角形全等的条件三角形MDN和DNH就全等了那么NM=NH=AN+ACBM，三角形AMN的周长Q=AN+AM+MN=AN+AB+BM+AN+ACBM=2AN+2AB因为AN=x，AB=L，因此三角形AMN的周长Q=2x+L解答：解：（1）如图，BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN此时（2）猜想：结论仍然成立证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DEBD=CD，且BDC=120，DBC=DCB=30又ABC

23、是等边三角形，MBD=NCD=90在MBD与ECD中：MBDECD（SAS）DM=DE，BDM=CDEEDN=BDCMDN=60在MDN与EDN中：，MDNEDN（SAS）MN=NE=NC+BMAMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+（NC+BM）=（AM+BM）+（AN+NC）=AB+AC=2AB而等边ABC的周长L=3AB（3）如图，当M、N分别在AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=2x+（用x、L表示）点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；题目中线段的转换都是根据全等三角形来实现的，当题中没有明显的全等三角形时，我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条件相关的全等三角

24、形8以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD=CAE=90，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是AMDE，线段AM与DE的数量关系是DE=2AM；（2）将图中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转（090）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）ED=2AM，AMED延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再结合已知条件可以证明DAEABG，根据全

25、等三角形的性质可以得到DE=2AM，BAG=EDA，再延长MG交DE于H，因为BAG+DAH=90，所以HDA+DAH=90这样就证明了AMED；（2）延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BF，证出FABEAD，利用全等三角形的性质得到BF=DE，F=AEN，从而证出FPD+F=APE+AEN=90，得到FBDE，根据AMFB，可得到AM=FB解答：（1）ED=2AM，AMED；证明：延长AM到G，使MG=AM，连BG，则ABGC是平行四边形，再延长MA交DE于HAC=BG，ABG+BAC=180又DAE+BAC=180，ABG=DAE再证：DAEABGDE=2AM，BAG=E

26、DA延长MA交DE于H，BAG+DAH=90，HDA+DAH=90AMED（2）结论仍然成立证明：如图，延长CA至F，使FA=AC，FA交DE于点P，并连接BFDABA，EAAF，BAF=90+DAF=EAD在FAB和EAD中，FABEAD（SAS）BF=DE，F=AEN，FPD+F=APE+AEN=90FBDE又CA=AF，CM=MBAMFB，且AM=FB，AMDE，AM=DE点评：本题考查了旋转的性质和相似三角形的性质，利用旋转不变性找到三角形全等的条件此题综合性较强，要注意观察图象的特点9（2009丰台区一模）如图1，在ABC中，ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边

27、且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC，BAC=90，当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；当点D在线段BC的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果ABAC，BAC是锐角，点D在线段BC上，当ACB满足什么条件时，CFBC（点C、F不重合），并说明理由考点：全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：压轴题；开放型分析：（1）当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF的性质可推出DABFAC，所以CF=BD，ACF=ABD结合BAC=90，AB=AC，得到BCF=ACB

28、+ACF=90度即CFBD（2）当ACB=45时，过点A作AGAC交CB的延长线于点G，则GAC=90，可推出ACB=AGC，所以AC=AG，由（1）可知CFBD解答：证明：（1）结合BAC=90，AB=AC，得到BCF=ACB+ACF=90度即CFBD当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF的性质可推出DABFAC，所以CF=BD当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF得AD=AF，DAF=90度BAC=90，DAF=BAC，DAB=FAC，又AB=AC，DABFAC，CF=BD，ACF=ABDBAC=90，AB=AC，ABC=45，ACF=45，BCF=ACB+ACF=90度即CFBD（2）当ACB=45时，CFBD（如图）理由：过点A作AGAC交CB的延长线于点G，则GAC=90，ACB=45，AGC=90ACB，AGC=9045=45，ACB=AGC=45，AC=AG，DAG=FAC（同角的余角相等），AD=AF，GADCAF，ACF=AGC=45，BCF=ACB+ACF=45+45=90，即CFBC点评：本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺