浙江数学竞赛(微积分)试题

1、浙江省首届高等数学（微积分）竞赛试题(2002.12.7)、计算题（每小题 5分，共30分）1.求极限lim01 cos x(ex 1)(、1 x1)2.求积分 | xy 1| dxdy, DD1 (x,y)|212,2 y 2.3.设yx2ex是方程yayhxby ce的一个解,求常数 a,b,c,h.4.设f （x）连续，且当x1 时，f(x)x0 f(t)出x1 xe 2 ，求 f(x).2(1 x)5.设 Snn arctan 工k 1 2k2，求 lim Sn. n n6.求积分(1 x 1)ex xdx.x（满分15分)求平面x 2y222z 1含在椭圆柱体y- 1内的面积.49（

2、满分20分)证明：0 sin(x2)dx 0.四、（满分20分)设二元函数f（x, y）有一阶连续的偏导数，且f （0,1） f （1,0）.证明：单位圆周上至少存在两点满足方程y f （x, y）xx f (x, y)y五、（满分15分）（非数学类做）设an, bn为满足eaanbne , n1的两个实数列，已知 an0( n 1),且ann 1收敛.证明：也收敛.n 1 an六、（满分15分）（数学类做）设a112an 1n 1,求anxn 的收敛半径、收敛域及和函数2009年浙江省大学生高等数学（微积分）克赛试题（工科类）、计算题（每小题 15分，茜分60分）2 .1、求 lim x 0

3、sin(xt) dt5XXo12、设 G(x) t sin t dt ,求 0 G(x)dx。3、求x 4 dx。0 1 x4、求limn、（满分20分）求满足下列性质的曲线 C：设P0（x0,y0）为曲线y 2x2上任一点，则由曲线x x0, y 2x2, y x2所围成区域的面积 A与曲线y y0, y 2x2和C所围成区 域的面积B相等。ydx xdy . （x 1）2三、（满分20分）求 J其中L:y- y2 1的上半平面内部分，从点（2,0）L x y9到（4,0）。四、（满分20分）证明:2004 2003 sint 出112003五、（满分15分）设（x）在0,1上连续，在（0,

4、1）内可导，且 （0） 0,（1） 1。证明:存在（0,1）内两个数，使二一3。（）（）六、（满分15分）从正方形四个顶点 P（0,1）, P2（1,1）, P3（1,0）, P4（0,0）开始构造P5, P6,使得P5为PiP2的中点，P6为P2P3的中点，P7为P3P4的中点，P8为RP5的中点，这样， 我们得到点列Pn收敛于正方形内一点 P。，试求Po的从标。1、2、3、4、5、(微积分)克赛试题、计算题(每小题 12分，菌分60分)11 (2n)! n求极限lim (一-。n n n!计算不定积分设 f(x)x3sin设g二阶可导,设f为连续函数,In x =dx。22x (In x

5、1)x ,求 f(2009) (0)。f有二阶连续偏导数,2gxf (x y,2 y),求一-。 x yx x(x)0dv0f(ux)du，求(x)。(满分20分)已知极限lim ex x 02axbxi1 ,求常数a,b的值。(满分20分)设 为由抛物面Z 2x2 y2与平面4x 2y z 1围成的立体，其边界的平面部分为Si ,曲面部分为S2, P0为S2上的一个点。(1)求以P0为顶点，Si为底面的锥体体积 V；(2)求p0 ,使V达到最大值。x2 y222四、(满分20分)设f导函数连续，R(x,y,z) f (z t)dt ,曲面S为z x y被x y 1所截的下面部分，内侧， L为

6、S的正向边界，求：_223_22_?2xzf(z x y )dx x 2yzf(z x y )dy R(x,y,z)dz。1五、(满分15分)设fn(x) xn x r ,其中r 0 ,(1)证明：fn(x)在(0,)内有唯一的零点xn；(2)问r为何值时，级数 xn收敛？发散? n 1六、(满分 15 分)设 f 在0,)上可导，且 f(x) f(x),f(0) 0,证明：f(x) 0(x 0)。2010年浙江省大学生高等数学、计算题14分，满分1、求极限 lim 、n(、. n 1 n) n(微积分)克赛试题(工科类)70分)n=1 n1 Jn 1 .;n一o22、dx计升22(1 x )

7、(2 2x x )3、设 ABC为锐角三角形，求 sin A sin B sinC cosA cosB cosC的最大值和最 小值。4、已知分段光滑的简单闭曲线(约当曲线)落在平面：ax by cz 1 0上，设在上围成的面积为 A,求？(bz cy)dx (CX az)dy (ay bx)dz。,ax by cz5、设 f 连续，满足 f(x) Vx:exp(x2 t2)f(t)dt ,求 f (1) 3f (1)的值。11二(满分20分)定义数列卬如下：a15，an 。-柒a,4求 lim an。n三、(满分20分)设有圆盘随着时间t的变化，圆盘中心沿曲线L： x cost, y sint

8、,2z t (t 0)向空间移动，且圆盘面的法向与L的切向一致。若圆盘半径r(t)随时间改31变,有r(t) t2,求在时间0,-内圆盘所扫过的空间体积。2四、(满分20分)证明：当x 0,xexpI dt1-exp x五、(满分 20 分)证明：tan2 x 2sin 2 x 3x2, x 0,22011年浙江省大学生高等数学（微积分）克赛试题（工科类）一、计算题（每小题 14分，茜分70分）1、求极限 Jm（ Jn cos4 n /（n_1）sin 4 n 赤2）。2、求 max（1,x,x2,L ,xn）dx。3、计算02x2 x 1cosxdx,其中x表示不大于x的最大整数。4、计算3

9、/x 4dxdy。 x y 122225、设球面x y z R 上曲线 C在xoy平面上的投影曲线为Rcostcos(4t) Rcost sin(4t),且C的密度与该点到 z轴的距离成正比, 2比例常数为k ,求C的质量。、（满分20分）设x, y, z222?,求方程组x y z 1 的解。r 3, ,33 c7x 14y21z6三、（满分20分）有三块相同的密度均匀的正方形砖块（边长为 对齐叠放于一台面上（如图），从一侧伸出台面，问如何叠放在 确保所有砖块不落下的前提下使砖块伸出台面总长度a最大?并求此最大值。16cm,厚度为1cm）,两侧四、（满分20分）设f ： 0,1 a,b连续，且f