初中数学锐角三角函数的图文解析

1、初中数学锐角三角函数的图文解析一、选择题1 .如图，AB是垂直于水平面的建筑物.为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了 52米到达点C,然后y&斜坡 CD前进，到达坡顶 D点处，DC BC .在点D处放置测角仪，测角仪支架 DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶 端A点的仰角 AEF为27 （点A, B, C, D, E在同一平面内）.斜坡 CD的坡度（或坡 比）i 1:2.4,那么建筑物AB的高度约为（）（参考数据 sin 270.45, cos27 0.89, tan27 0.51 ）AA. 65.8 米B. 71.8 米C. 73.8 米D. 119.8

2、米【答案】B【解析】【分析】过点E作EM AB与点M,根据斜坡CD的坡度（或坡比）i 1:2.4可设CD x,则CG 2.4 x,利用勾股定理求出 x的值，进而可得出 CG与DG的长，故可得出 EG的 长.由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出 EM BG, BM EG,再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论.【详解】解：过点E作EM AB与点M,延长ED交BC于G,斜坡CD的坡度（或坡比）i 1:2.4, BC CD 52米， 设 DG x,则 CG 2.4 x.在Rt CDG中，DG2 CG2 DC2,即 x2 （2.4x）2 522,解得 x = 20,DG 20

3、 米，CG 48 米，EG 20 0.8 20.8米，BG 52 48 100 米.EM AB , AB BG , EG BG,四边形EGBM是矩形，3 EM BG 100 米，BM EG 20.8 米.在Rt AEM中，4 AEM 27 ,?5 AM EM.tan27 100 0.51 51 米，6 AB AM BM 51 20.8 71.8米.故选B.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三 角形是解答此题的关键.2. 一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆,根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）D.

4、( - 3 1)J3的正三角形.可计算边长J3的正三角形.A.B. 2C. 3【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为为2,据此即可得出表面积.【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为.正三角形的边长2 .sin 60，圆锥的底面圆半径是1 ,母线长是2,，底面周长为21 C.侧面积为 - 22 2 , 底面积为r2,2.全面积是3 .故选：C.【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题 的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.3 .如图，矩形纸片 ABCD,

5、AB 4, BC 3,点P在BC边上，将 CDP沿DP折 叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F ,且OP OF ,则cos ADF的值为()11 A.13【答案】C【解析】 【分析】13B.1515C.17D.1719根据折叠的性质可得出 DC=DE CP=EP由/ EOF=Z BOP、/ B=Z E、OP= OFW得出 AOEFAOBP(AAS)据全等三角形的性质可得出0E=OR EF=Bp设EF=x,则BP=x DF=4-x、BF=PC=3-x进而可得出 AF=1+x,在RtDAF中，利用勾股定理可求出 x的值，再利用余弦 的定义即可求出 cos/ ADF的值.【详解】解：矩

6、形纸片 ABCD,点P在BC边上，将 CDP沿DP折叠，点C落在点E处, 根据折叠性质，可得：DC陛 ADEP ,.DC=DE=4, CP= EP在AOEF和AOBP中EOF BOPB E 90OP OF. OE障 OBP(AAS) OE=OB, EF=BP.设 EF=xj/1J BP=x, DF= DE-EF=4-X又 BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, = BC-BP=3-x, .-.AF=AB-BF=1+x.在 RtDAF中，AF2+AD2= dF2,即(1+x) 2+32= (4-x)2, 一 3解得：x= 一517DF=4-x=5cos/ ADF=AD15DF 17故选：C

7、.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合 AF=1+x,求出AF的长度是解题的关键.4 .如图，在矩形 ABCD中，BC= 2, AE± BD,垂足为 E, / BAE= 30°,贝U tan / DEC的值是 ( )【答案】C【解析】C. -3D. -3【分析】先根据题意过点 C作CF! BD与点F可求得 那E0 CFD (AAS),彳#到 AE=CF= 1, EF=3-3=2.3,即可求出答案 33【详解】过点C作CF± BD与点F. . / BAE= 30°, ./ DBC= 30°, BC=

8、 2, .CF= 1, BF= 73 ,易证 AAE- CFD (AA0.AE=CF= 1 ,. / BAE= / DBC= 30°,BE= 3 AE= 3 ,33"1 EF= BF- BE= '73 - = 3 , 33在RWFE中,1tan / DEC=2 2_ 叵, EF T故选C.【点睛】此题考查了含30。的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等5.如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上 A处测得建筑物顶端 M的仰角为30°,向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端 M的仰角为45°,则建筑物 MN的高度等

9、于()A. 8(石 1)mB. 8(43 1)mC. 16(6 1)mD. 16(6 1)m【答案】A【解析】设 MN=xm,在 RtABMN 中， / MBN=45°,.BN=MN=x,4人/ MN在 RtAAMN 中,tan / MAN=AN ' .tan30 =x =3，$16 x解得：x=8( 73 +i),则建筑物MN的高度等于8(73 +1)m；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪 个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的 夹角，并与三角函数相结合求边的长 .6.如图，在 GA

10、BC中，AC± BC, / ABC= 30°,点D是CB延长线上的一点，且 AB=BD,则tanD的值为()A. 2甚【答案】D【解析】【分析】C. 2 :3D. 23设AC= m,解直角三角形求出 AB, BC, BD即可解决问题.【详解】设 AC= m,在 RtAABC中，/ C= 90°, Z ABC= 30°, ,AB=2AC= 2m, BC= #3AC= gm, ,-.BD = AB= 2m, DC= 2m+Qm,AC.tan / ADC=CD故选：D.2m ，. 3m= 2-73【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解

11、题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.7.如图，在矩形 ABCD中E是CD的中点，EA平分 BED, PE AE交BC于点P,连接PA ,以下四个结论： EB平分AEC ; PA BE ; AD AB ;2PB 2PC .其中结论正确的个数是（【解析】【分析】C. 2个D, 1个根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出那D三 BCE (SAS ,进而求出 那BE是等边三角形，再求出 AAE器 ABP (SSS ,进而得出/ EAP= / PAB= 30。，再分别得出 AD与AB, PB与PC的数量关系即可.【详解】解：.在矩形ABCD中，点E是CD的中点， .DE=CE,又 AD=

12、 BC, / D=/ C, .ADEZ BCE (SAS , .AE= BE, / DEA= / CEB . EA 平分/ BED,/ AED= / AEB, ./AED= /AEB= Z CEB=60°,故：EB 平分/ AEC,正确； .ABE是等边三角形， ./ DAE= / EBC= 30°, AE=AB, .PE± AE, ./ DEA+ / CE之 90°,则/ CEP= 30°,故/ PEB= / EBP= 30°, 贝U EP= BP,X / AE= AB, AP=AP, .AE国 ABP (SSS , ./ EAP=

13、 / PAB= 30°, APXBE,故正确； . / DAE= 30°,tan / DAE= tan30 =, ad=石de,即 ad cd , 2 .AB=CD,AD 近AB正确； 2 . / CEP= 30°, 1 CP= EP, 2 EP= BP,1 .CP= BP2 . PB= 2PC正确.综上所述：正确的共有 4个.故选：A.30【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明AABE是等边三角形是解题关键.8.如图，已知圆O的内接六边形 ABCDEF的边心距OM 2,则该

14、圆的内接正三角形ACE的面积为（）D3A. 2B. 4C. 6点D. 4M【答案】D【解析】【分析】连接OC,OB ,过O作on CE于N ,证出 COB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可.【详解】解：如图所示，连接 OC,OB，过O作ON CE于N , 多边形 ABCDEF是正六边形， COB 600,OC OB ,COB是等边三角形， OCM 600,OM OC?sin OCM,“ OM 4 .3.、 OC (cm).sin 603 OCN 300,122、3ON OC 23CE 2CN 4 ,.该圆的内接正三角形 ACE的面积故选：D.【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三

15、角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形 的性质，由三角函数求出 OC是解决问题的关键.15°,则9 .如图，AB是e O的弦，直径CD交AB于点E ,若AE EB 3 , COE的长为（）DA. 33B. 4C. 6D. 343【答案】D【解析】【分析】连接OA.证明 OAB是等边三角形即可解决问题.【详解】Ad Bd ,BOD AOD 2 ACD 300, AOB 600,OA OB,AOB是等边三角形, AE 3, OE AE tan 60o 3®故选D.【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常

16、考题型.10.如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD,小明在斜坡上 B处测得标识牌顶部 C的仰角 为45 °,沿斜坡走下来在地面 A处测得标识牌底部 D的仰角为60；已知斜坡AB的坡角为 30°, AB= AE=10米.则标识牌 CD的高度是（ 沐.C口口 口口口 口A. 15-5 73B. 20-1073C. 10-573D. 573-5【答案】A【解析】【分析】过点B作BM，EA的延长线于点 M,过点B作BNLCE于点N,通过解直角三角形可求出 BM, AM, CN, DE的长，再结合 CD= CN+ EN-DE即可求出结论.【详解】解：过点B作BMLEA的延长线于点

17、M,过点B作BNLCE于点N,如图所示.在 RtAABE中，AB= 10 米，/BAM = 30°, .AM=AB?cos3（J=53 （米）,BM = AB?sin30°= 5 （米）.在 RtAACD 中，AE= 10 （米）,D DAE= 60°, .DE=AE?tan60 =10 73 （米）.在 RtBCN 中，BN = AE+ AM = 10+5 J3 （米），/ CBN= 45°, .CN=BN?tan45° =10+5百（米）， .CD=CN+ EN-DE= 10+5 73+ 5-10 73=15-5 73 （米）.故选：A.【

18、点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题及解直角三角形 -坡度坡脚问题，通过解直角三角 形求出BM, AM, CN, DE的长是解题的关键.11.在 Rt9BC中，/ C= 90°,如果/ A= a, BC= a,那么 AC等于（）A. a?tan aB. a?cot aC. a?sin aD. a?cos a【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可【详解】如图，/C= 90 , / A= a, BC= a,ACBC '.AC=BC?cota= a?cot %B故选：B.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对

19、边与斜边 的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟 练掌握三角函数的定义是解题关键 .12.如图，一张直角三角形纸片 BEC的斜边放在矩形 ABCD的BC边上，恰好完全重合，边BE , CE分别交AD于点F , G ,已知BC 8 , AF : FG :GD 4:3:1 ,则 CD的长为（）A. 1B.&C. 73D. 2【答案】C【解析】【分析】由ABCD是矩形，得到 AD=BC=8且矩形的四个角是直角，根据AF :FG :GD 4:3:1 ,可以求出DG的长度，再根据余角的性质算出/ DCE的大小，根 据三角函数即可算出 DC的长度.【详解】解

20、：.四边形 ABCD是矩形，AD=BC=8, / DCB=90 ,又 AF :FG :GD 4:3:11 GD 4 3 11 AD -AD 1, 8 / ECB=60,. / DCE=9060又. tan 30GD 1CD CDCD 3,故答案为C.【点睛】本题主要考查矩形、度是解本题的关键,特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长 特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握13.如图，正方形BC 4, DEABCD中，点E、F分别在边CD , AD上,BE与CF交于点G .若AF1 ,则GF的长为（）13A. 一 5【答案】A【解析】【分析】12B.5C.19516D5根据正

21、方形的性质以及勾股定理求得BE CF5,证明BCECDF ,根据全等三角形的性质可得 CBE继而根据cos CBEBC CG cos ECG ,可BE CE求得CG的长，进而根据GF CF 【详解】丁四边形ABCD是正方形，BC 4, BC CD AD 4, BCECG即可求得答案.CDF 90 , AF DE 1, DF CE 3,BE CF J32 425，在BCE和CDF中，BC CDBCE CDF , CE DF，BCE CDF (SAS),CBE DCF,CBE CEB ECGBC cos CBE cos ECGBECEB 90CGCE ' GFCG3CG125CFCG故选A

22、.【点睛】本题考查了正方形的性质,12 13,55勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用14 .如图，已知AAiBiCi的顶点Ci与平面直角坐标系的原点 O重合，顶点Ai、Bi分别位于x轴与y轴上，且CiAi=1, / CiAiBi=60 °,将 UiBiCi沿着x轴做翻转运动，依次可得到A2B2C2, AA3B3c3 等等，则 C2019 的坐标为（A. (2018+672 收 0)B. (2019+67373, 0)C. ( 4035 +672D. (2020+674 73, 0)2【答案】B【

23、解析】【分析】 根据题意可知三角形在 x轴上的位置每三次为一个循环，又因为 2019 3 673,那么C2019相当于第一个循环体的673个C3即可算出.【详解】由题意知，GA 1 ,C1A1B1 60 ,则 CiBiAi 30, AB1 A2B2 2, C1B1 C2B2 C3B3 B结合图形可知，三角形在 x轴上的位置每三次为一个循环，Q 2019 3 673,OC2019 673(1 2 73) 2019 67373 ,C2019(2019 673V3,0),故选B.【点睛】个循考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是环是解题关键.15 .如图，两根竹竿

24、 AB和AD斜靠在墙CE上，量得 BAC 60 , DAC 70 竿AB与AD的长度之比为().2A. 2sin70B. 2cos70C. 2tan70D.tan 70【答案】B【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB, AD的长，即可得出答案.解：/ BAC=60, /DAC=70,AC 1cos60 = 一AB 2则 AB=2AC,AC . cos70 =,AD.AC=AD?cos70°,ACAD=cos70AB 2ACAD AC =2cos70 :cos70故选：B.【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键.16.如图，矩形 ABCD

25、中，AB> AD, AB=a, AN 平分/ DAB, DM± AN 于点 M, CN± AN 于 点N.则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）（）【答案】C【解析】【分析】C.二aD. Ja22根据 “ANF分/ DAB, DM LAN 于点 M, CN±AN 于点 IN'得/ MDC=/NCD=45 ,cos45 =DMDECNCE,所以DM+CN=CDcos45;再根据矩形ABCD, AB=CD=a, DM+CN 的值即可求出. AN 平分/ DAB, DM LAN 于点 M, CN± AN 于点 N, / ADM=Z MDC=Z

26、NCD=45 ,.DM CN _ cos450 cos450'在矩形 ABCD中，AB=CD=q一，-2 . DM+CN=acos45 = -a2故选C.【点睛】此题考查矩形的性质，解直角三角形，解题关键在于得到cos45 =DMDECNCEi=1: 0.75 .小明为了测得灯塔的34m到达一建筑物底部 E处，他在17.如图，基灯塔 AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度高度，他首先测得 BC= 20m,然后在C处水平向前走了该建筑物顶端F处测得灯塔顶端 A的仰角为43°.若该建筑物E已20m,则灯塔AB的高度约为(精确到 0.1m,参考数据：sin43 = 0.68, cos4

27、3 = 0.73, tan43 °= 0.93)()DCEA. 46.7mB. 46.8mC. 53.5mD. 67.8m【答案】B【解析】 【分析】根据山坡的坡度i=1： 0.75,可得 型 =4,设BD= 4x, CD= 3x,然后利用勾股定理求得 CD 3BD= 4x= 16m, CD=3x=12m；再利用矩形的性质求出FG= DE=46m, BG= DG - DB=4m,最后利用三角函数解直角三角形即可.【详解】 解：如图，.一/ ADC= 90°, i=1： 0.75,即 BD =CD 3设 BD= 4x, CD= 3x,则 BC= J(4x)2 (3x)2 =5

28、x=20m ,解得：x=4,-.BD = 4x= 16m, CD= 3x=12m,易得四边形DEFG是矩形，则 EF= DG= 20m, FG= DE= DC+CE= 12+34=46 (m),.BG=DG- DB= 4m ,在 RtAAFG 中，AG= FGtan / AFG= 46 - tan43 ° =46X=0.412.78 ( m), .AB=AG+BG= 42.78+4 = 46.8(m),故选：B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角和俯角问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是解答本题的关键.18.如图，等边VABC边长为a，点。是VABC的内心，FOG 120

29、,绕点。旋转FOG ,分别交线段 AB、BC于D、E两点，连接DE ,给出下列四个结论：VODE形状不变；VODE的面积最小不会小于四边形 ODBE的面积的四分之一；四边形ODBE的面积始终不变； VBDE周长的最小值为1.5a .上述结论中正确的 个数是()A. 4B, 3C. 2D, 1【答案】A【解析】【分析】连接OB、OC,利用SASK出ODBZ OEC从而得出 ODE是顶角为120°的等腰三角形，即可判断；过点O作OHLDE,则DH=EH,利用锐角三角函数可得OHOE和23DE=J3oE,然后三角形的面积公式可得SODE=oE2,从而得出 OE取小时，SODE最小，根据垂线

30、段最短即可求出SAODE的最小值，然后证出 S四边形ODBE=SAOBC=a?即可判断12和；求出VBDE的周长=a+ DE,求出DE的最小值即可判断. 【详解】解：连接OB、OC VABC是等边三角形，点 O是VABC的内心， ./ABC=/ ACB=60 , BO=CO, BO、CO 平分 / ABC 和 / ACB,_1 , 一 .，_1 , _ ./ OBA=Z OBC=- / ABC=30 , / OCA=Z OCB= / ACB=3022 ./ OBA=Z OCB, / BOC=180 -Z OBC / OCB=120. FOG 120FOG / BOC ./ FOG- / BOE

31、N BOC- / BOE/ BOD=Z COE在AODB和OEC中BOD COEBO COOBD OCE . ODB0 AOEC .OD=OE.ODE是顶角为120°的等腰三角形,VODE形状不变，故正确；过点 O 作 OHLDE,贝U DH=EHODE是顶角为120。的等腰三角形 ./ODE=/ OED=1 (180 - 120°) =30°2 . OH=OEsin/ OED=1 OE, EH= OEcos/ OED=2 .DE=2EH=J3 OESAODE= 1 DEOH= 3 OE2 ，OE最小时，Sode最小，OE即为OE的最小值过点O作OE，BC于E',根据垂线段最短,11一 BE = B