《复变函数》教学资料(5)

1、.4.1 4.1 数学期望数学期望4.1.1 4.1.1 离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 假如甲、乙两选手各向目标靶射击十枪，二人命中靶子的情况分别为：（单位：环）甲乙9 8 10 8 9 9 8 9 8 96 7 9 10 10 9 10 8 9 10现问，甲、乙二人哪一个命中率更高点？第第4 4章章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征. 很显然，通过某一枪的命中情况比较二人命中率是不合适的，比较容易理解的是通过二人各自命中环数的平均值来比较。,7.810481059101101098989981089（环）对于甲选手，命中环数的平均值为对于乙选手，命中环数的平均值为.8

2、 . 81016101710181039104101010981091010976（环） 从平均值来看，乙选手比甲选手命中率更高些。 如果我们用随机变量的取值表示两选手命中的环数，则比较二人的命中率实际上是比较两随机变量平均值的大小。.Xkp1 2 31254131例例1 1 设某离散型随机变量 的分布列为X如果对随机变量连续进行 次取值，问这 个值的平均值应是多少？（假设 相当大）NNN 由于 是随机取值的， 个值分别是多少无法确定，但由分布列的定义，从理解解NX.NNNNX3125241131.12253125241131可以看到，平均值实际上是以分布概率为权重的加权平均。论上讲 次取之中

3、有 次取到1， 次取到2, 次取到3，从而所求平均值应为：3N4NN125N.Xkp kxxx21 kppp21kkkpxXE1如果级数 绝对收敛，即 kkkpx 1kkkpx 1期望或均值，记为 ，即XE收敛，则和 为随机变量 的数学kkkpx 1X定义定义1 1 设离散型随机变量 的分布列为X. 通过前面的例子可以看到，随机变量的均值反映了变量取值的平均水平。下面我们举例来说明。如果级数 不绝对收敛，即kkkpx 1kkkpx 1 不收敛，则称随机变量 的数学期望不存在。X例例2 2 对服从（01）分布的随机变量 ，其分布列为：X.由数学期望定义解解例例3 3 设 ，求 . .pnBX,

4、XE已知二项分布的分布列为解解nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,1 。pXPpXP10,1 .0110011pppXPXPXE求 的数学期望.X. ,100knkknnknkppCkkXPkXEnkknkknppCnp1111,1npppnpn11已知泊松分布列为：解解则 的数学期望为X例例4 4 设 服从参数为 的泊松分布,求 XEX. , 2 , 1 , 0,!kekkXPk从而ekkkXPkXEkkk00! , 2 , 1k对应的概率为,kkxXP21例例5 5 设随机变量 取值为 kxkkk21X求 的数学期望. .Xeekekk11!1. 例例6 6 某种奖券销售单位

5、为提高大众购买奖券的兴趣，采用当众开奖的办法，每张奖券面值 1 元，每 500 万张设若干奖项如下： 但 是发散的，所以随机变量X 的数学期望不存在。111kkkkkxXPx, 2ln111kkk无穷级数解解 kkkkkkkkxXPx212111.奖 项个 数奖品价值（元）特等一等二等三等纪念1101001000100001500500703.5试计算每购一张奖券平均能取多少奖金？.X 1500 500 70 3 0.5 07234561022222110511051105110511051 kp 456105170105150010511500 XE010515 . 01051323 设某购

6、买者得到的奖金数为 ， 则 为一随机变量，其分布列为 解解XX从而 的数学期望为X. 元元0043. 0)100005 . 01000310070105001500(10516 即平均每购一张奖券可能得到的奖金不到半分钱，但在实际生活中吸引力还是相当大的.4.1.2 4.1.2 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望 定义定义2 2 设 为连续型随机变量，概率密度X. dxxxfxE 反之，如果积分 发散，则 dxxfx为 ，如果积分 绝对收敛，即 xf dxxxf记为 。即XE的值为连续型随机变量 的数学期望或均值，X称随机变量 的数学期望不存在。X dxxxf dxxfx 收敛，

7、则称积分 . ,0,1abxfbax,其它.，从而 badxabxdxxxfxEab211例例7 7 设 服从 区间上的均匀分布，求 的数学期望。ba,XX已知 的概率密度为解解X正好是 区间的中点。ba,. 0 xexf , 0, 0, xx ,0 从而 dxexdxxxfXEx0已知 的概率密度为解解.100dxedexxx 例例8 8 设 服从参数为 的指数分布，求 的数学期望。XXX. 例例9 9 对服从正态分布 的随机变量 ,求其数学期望.2,N则所求数学期望为: ,2222dxexdxxfxXEx已知 的概率密度为解解 2221,2xfxex XX.作变换 ，得到xtdte tdt

8、eXEtt222222022 即正态分布 的第一个参数 就是随机变量 的均值。2,N X.4.1.3 4.1.3 随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望1 1、离散型随机变量函数的数学期望、离散型随机变量函数的数学期望, 2 , 1)( kpxXPkkkkkpxg1 如果级数 收敛，则 ,xgY 为连续函数g定理定理1 1 设离散型随机变量 的分布列为X. kkkpxgXgEYE1X -1 0 2 341834181kP试计算： 和 .12,2XEXEXE例例10 10 设离散型随机变量 的分布列为X特别的，离散型随机变量 只取有限值，则 的数学期望一定存在。 XgX. ;8114138

9、32410811 XE ;83141383241081122222 XE 41583341181312 XE.47 由数学期望的定义得解解., 0,2 , 1 , 0,!kekkXPk从而 ekkXEYEkk!022ekkkk!11 例例11 11 设 服从参数为 的泊松分布，试计算 的数学期望. 2XY X已知 的分布列为：解解X. 11!111kkkke 1111!1!11kkkkkkke 2112!1!2kkkkkke eee 2. 果 收敛，则 dxxfxg .dxxfxgXgEYE定理定理2 2 设连续型随机变量 的概率密度为X,),(XgYxf g 为连续函数，如. 其它。，,02

10、,0,21xxf例例12 12 已知 服从 上的均匀分布，计算 的数学期望。2 , 0XYsinX已知 的概率密度为解解X.则所求 的数学期望为：XYsin dxxfxXEYEsinsin. 021sin20dxx定理定理3 3 （1 1） 如果 是二维离散型随机变YX,yxg,是关于 和 的二元连续函数，xy, 2 , 1, jipyYxXPijji量，其分布列为. ;,1,ijjijipyxgYXgEZE则YXgZ,ijjijipyxg1,绝对收敛，若的数学期望为则 的数学期望为:YXgZ, dxdyyxfyxg ,绝对收敛，续函数，若（2 2）如果 是二维连续型随机变量，概率YX ,密度

11、为 , 是关于 和 的二元连yxf,yxg,xy. .,dxdyyxfyxgYXgEZE 例例13 13 设随机变量 的概率密度为 YX ,试计算 和 . XEXYE.,0120 , 10,6,其他，xyxxyyxf由定义，解解.,dxdyyxxfXE .dxydyxx 1012026dxxxx10432212.52.,dxdyyxxyfXYE dxdyyxx 10120226dxxxxx1054323316.154.4.1.44.1.4、数学期望的性质、数学期望的性质数，且 都存在，则数学期望有以 YEXE, ;) 1 (CCE ;)2(XECCXE ;)3(YEXEYXE 如果 是两个随机

12、变量， 为任意常,X Yc如果 与 相互独立，则)4(XY下四条常见的性质。. .YEXEXYE证明证明 数学期望的四条性质中，前两条比较直观，容易理解和证明，我们只证明第（3）和第（4）条 。（3 3） 设 是离散型随机变量，分布列为 YX , 2 , 1, jipyYxXPijii则由数学期望的定义，.ijjijijjiipypx1,1, .YEXE如果 为连续型随机变量，类似可以证明。 YX ,1ijiji jEXYxyp（4 4） 设 是连续型随机变量，概率密度为 ，则由 的独立性可得 YX ,yxf,X Y. .,yfxfyxfYX dxdyyfxxyfYX dxdyyyfdxxxf

13、YX YEXEdxdyyxxyfXYE ,从而其中 分别为 与 的边缘概率密度， yfxfYX,xy.性质（3）和性质 （4）可以推广到多个随机;2121nnXEXEXEXXXE 推论推论2 2 设随机变量 相互独立，nXXX,21 .2121nnXEXEXEXXXE 推论推论1 1 设随机变量 的数学期望nXXX,21 都存在，则变量，我们写成下面的推论. .且数学期望都存在，则. 例例14 14 设随机变量 相互独立，nXXX,21 10iXppPk1nip, 2 , 1, 10 试证 服从二项分布并求 .nXXXX 21, pnBXE 证明证明 由于每个 可能., 2 , 1niXi 取值为0或1，则 可能取值nXXXX 21且服从同一个（01）分布：为0，1，2，n.取值为 1，