Sobolev空间的建立

1、Sobolev 空间6、定义:(一)弱导数的定义:设u Lloc()，对于给定的重指标，称为u的 阶弱导数，如果存在函数v Lloc (),使得对于Co ()成立vdx ( 1)| | uD dx.并记v D u .(二)Sobolev空间的定义：对p 1,m是非负整数，定义 Sobolev空间Wm，p( ) Lp( ) u|D u Lp( ),| | mu|u Lp( ),D u Lp( ),| | m .在Wm,p()中引入范数11p( |D u|pdx)p ( D u )p,1 p p ,u m,p,11m11mmaxD u ,，p卜面证明Wm，p()按范数lump1( |D u|p d

2、x)pI I mmax D u , p| | m,11(IID u|p )p,1 p,p,| | m是赋范空间.(i)非负性:J当 1 p 时，任意的 u Wm,p()，则 |u1mp ( |D u|pdxfp 0, ,| | m1且轲 Im,p 0(|Du|pdx)6 0| | mD u 0对任意| | m均成立 u 0;当 p 时，任意的 u Wm,p(),则 |u|m,p max|D u|0,且 Um,P 0max D u 0D u 0对任意| | m均成立(ii)齐次性:当1 p 时，任意u Wm,p( ) , K ,有u (|D(u)|Pdx)pI I m(|D u|P dx)p |

3、u| ;I I m当p 时，任意u Wm,p( ) , K ,有h maxID(u)lmaxID ullu；(iii)三角不等式性：当 1 p 时，任意 u Wm，p( ), v Wm,p()，有 11u v ( |D (u v)|pdx)p (|D u|p |Dv|pdx)p| | m| | m11(|D u |p dx)p ( |Dv|pdx)p |u| |v| ;| | m| | mmax D u| | mmaxD v u当 p 时，任意 u Wm,p( ) , v Wm,p(),有u vllmaxD (uv)max Du D v11| | ml I| | m I所以，Sobolev空间

4、Wm,p()是一个赋范空间、Sobolev空间的主要性质:(一)完备性：Wm，p()是Banach空间.证明只要证明Wm,p()是完备的.任取 Wm,p()中的 Cauchy 序列 f j ,则 | fkfj|m,p0(k, j ).而lfk fj|lm,p ( ID (fk fj)pp|)| | m1(D fkD fj)| | mD fk D fj|Lp0(k, j ).由Lp()的完备性知，存在即D fj (| | m)是Lp()中的Cauch歹1，gLp( )(| | m),使得 D fj g ,j .11在弱收敛的意乂下，D力 g ,即对任意Lp( )( 1),有p qD fj dxg

5、 dx(j).特别对任意Co ()，有D fj dxg dx( j).这是因为| D fj dx g dx |D fj g | | |dx| D fj g | Lp | | Lq0(应用 Holder 不等式)令 0得fj dx g0 dx f dx.其中 Co().在利用弱导数的定义得，对于任意C( ), j 时有D fj dx ( 1) fj D dx(1)| | f D dx D f dx.即当j 时，D fj在Lp()内弱收敛于D f ,记成D fj弱收敛D f(Lp()由极限的唯一性，得D f gD fjLp( ) (| | m)且D f(Lp( ) (j ).这就说明，若fj是Wm

6、,p()中的Cauchy序列，则必存在f Wm,p(),使得fj f(Wm,p( ) (j ).即，Wm,p()是完备的.从而Wm,p()是Banach空间.(二)可分性：当1 p 时，WmP()是可分的.证明 只要证明当1 p 时，(Lp( )Q是可分的，也就是说(Lp( )Q中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k,k x|x ,dist(x,1) 丁冈设P表小所有有理数多项式全体，Pkf|f P, pPk,kk 10,由Co()在1二)中则P在Lp()中稠密.事实上，对fLp()，任意的稠密知，存在g Co(),使得f g lp(另外容易看出，Co( )Co ( k).k 1故g属于某

7、个Co( m),利用weierstrass定理知，Pm在Co( m)中稠密，也就是说， 1存在 h Pm,使得 |g h| 2| ml p, x m.因为m有界，故有1|g 八山)(|g h|p)p1(|g h|p)； -m2故|f hU .其中，h Pk1Pk.Q 这就说明P在Lp()中稠密，且P是一个可列集，因而 1Ppp P是(Lp( )Q可列的稠密集，即(Lp( )Q(1 p )是可分的，从而Wm，p()也是可分的.(三)自反性：设1 p ，则Wm,p()是自反空间.三、Sobolev空间的嵌入定理:(一)设具有锥性质k表示 与Rn中一上k维平面的交集，1 k n, m为正整数，j为非

8、负整数，1 p ,则有下列嵌入关系情形A假设mp n且n mp k n则Wm，P( ) Lq( ), p qn mpWjm,p( ) Wj,q( ), p q npn mpWjm，p( )Wj，q( k), p q 卫.n mp情形B假设mp n ,则对1 k n ,有Wj m，p( ) Wj,q( k) , p q特别Wm，p( )Lq( ), p q若p 1 ,则m n ,这时当q 时，上两式仍成立.情形C假设mp n ,则wj m，p( ) cB().(二)设具有强局部Lipschitz性质情形C假设mp n (m 1)p,则Wj m，p( )Cj,)，0 m -p情形C假设n (m 1

9、)p,则Wj m,p( ) Cj, (一) , 01 .若p 1,n m 1 ,则上式对1也成立.四、建立Sobolev空间的意义：随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的.但实际背景表明，它们是存在唯一解 的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问 题.广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个 Sobolev空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新 的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是 相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积 法，它们的理论基础就是广义函数与 Sobolev空间.它们都是利用守恒原理，在 偏微分方程两边与某个区域进行积分