利用导数研究存在性与任意性

1、利用导数研究存在性与任意性1,对祗三以,都有外幻3=令,那么岭,由4口 ；今三双,都有卜片仁111Vg(工心; Sf ,都有2. HxeH,使得以克上苫工心门刈-昌仔),那么成工)士讯匚0 ;羽声eM ,使得 /(3)<3(幻0工篇<式工；±EM ,都有叮"=皿； s/Eo/m 而口.3. 两dK,汰三乂 ,使得,I网； K JW ,均门£ ,使 得&)北(七)=»L>g(工篇;廿占三",国 门九 使得/"o八XL,虱工Li且户f g区".21. (12分)函数f (x) (x 2)ex ax2 b

2、x,x 1是f(x)的一个极值点.(1)假设x 1是f (x)的唯一极值点,XX数a的取值X围；(2)讨论f (x)的单调性；(3)假设存在正数x0,使得f(x0) a , XX数a的取值X围.22. (1) f (x) (x 1)ex 2ax b,；x 1 是极值点f (x) 0 ,故 2ab 0, b 2af (x) (x 1)(ex 2a)：x 1是唯一的极值点ex 2 a 0恒成立或ex 2 a 0恒成立由ex 2a 0恒成立得2a ex,又ex 0 a 0由ex 2a 0恒成立得 2aex ,而 ex不存在最小值,ex 2a0不可能恒成立a 0 4分(2)由(1)知,当 a 0 时,

3、x 1 , f (x) 0 ； x 1f (x) 0.f(x)在(,1)递减,在(1,)上递增.一 e 一当 e a 0 时,ln( 2a) 12x ln( 2a), f (x) 0 ；ln( 2a) x 1 , f (x) 0 ；x 1, f(x) 0.f(x)在(,ln( 2a)、(1,)上递增,在(ln( 2a),1)上递减.e . f(x)在(、(ln( 2a),)上递增,在(ln( 2a),1)递减.ea 2时,f (x)在R上递增8分(3)当 a 0时,f (1)e a a ,满足题意;e当 a 0时,f (1) e a a ,满足题意；2e当 a 时,由(2)知需 f(0) a或

4、 f(ln( 2a) a ,2当 f(0) a时,a2 ,而 f (1) e a a ,故存在 x10 使得 f (x1) a ,这样 x (0, x1 时f (x)的值域为(2,a从而可知满足题意当 f(ln( 2a)a时,得ln( 2a) 1或者ln( 2a) 3解得ae当a 2时,f(0)2可得满足题意3ea的取值X围a 二或a 2. 12分2例 1.函数 f(x) = (ax2 x + a)ex, g(x) = bln x x(b>0).(1)讨论函数f(x)的单调性；1一(2)当 a=2时,假设对任意 xi (0,2),存在 xzC 1,2,使 f(xi) +g(x?) >

5、;0 成立, XX数b的取值X围.x解：(1)由题息得 f (x) = (x+1)( ax+a 1)e .当 a= 0 时,f ' (x) = (x+ 1)ex,当 xC ( oo, 1)时,f ' (x) >0, f (x) 在(00, 1)上单调递增；当 xC( 1, +oo)时,f' (x)<0, f(x)在(一1, +oo)上单调递减.1当 aw0 时,令 f (x) =0,那么 x= 1 或 x= 1+ ,a当a>0时,由于一1+1> 1,a11 ,所以f(x)在(一oo, 1)和一1+占,+°°上单调递增,在一1,

6、 1+上单 调递减；1 .当a< 0时,由于-1+占< 1一.,.11.一所以f(x)在8, - 1+占和(_1, + oo)上单调递减,在1+a, 1上单 调递增., ,1一(2)由(1)知当a = 2时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,因此f(x)在(0,2)上的最小值为f(1) =0.由题意知,对任意x1 (0,2),存在x2C1,2,使 g(x2) f (x1)成立,由于一f (x1) max= 0,X2所以 bln X2 X2>0,即 b>.In X2人.x_令 h(X)=C,xC 1,2, In x 1那么 h' (X) =-

7、r<0,ln x22因此 h(x)min = h(2);高屋,所以 b>jn-2",2即实数b的取值X围是筱-,+oo .例 2. (2021 XX模拟)函数 f (x) =ln x ax2a+2(aC R, a 为常数)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)假设存在x°e(0,1,使得对任意的aC(2,0,不等式mea+ f(x0)>0(其中 e为自然对数的底数)都成立,XX数m的取值X围.解：(1)函数f (x)的定义域为(0 , +°°),11 - 2ax2 、f (x)=-2ax=x,当 a00 时,ff (x)>0,所以

8、函数f(X)在区间(0, +8)上单调递增；当a>0时,由f' (x)>0且x>0,解得0<乂&倡,所以函数f)在区间0,、售上单调递增,在区间2a,+8上单 调递减.(2)由(1)知,当a ( - 2,0时,函数f(x)在区间(0,1上单调递增,所以xC(0,1时,函数f(x)的最大值是f(1) =2 2a,对任意的a (-2,0,都存在x()e (0,1,不等式nea+ f(X0)>0都成立,等价于对任意的a (-2,0,不等式mea+22a>0都成立,不等式nea + 2_一,2a 22a>0可化为m>l, eA2a 2记

9、g(a)=(aC( 2,0), et 2e 2a 2 e 4 2a贝U g (a) = 2a =a >0,ee所以g(a)的最大值是g(0) = 2,所以实数m的取值X围是(2, +8).1 2.一例 3. (2021 XX质监)函数 f (x) =X aln x+b(aCR).(1)假设曲线y = f(x)在x=1处的切线的方程为3x y 3 = 0, XX数a, b的值;(2)假设x= 1是函数f(x)的极值点,XX数a的值；11 一(3)右一2&a<0,对任息 xb x2 (0,2,不等式 | f(Xi) f (x2)| <m- 恒Xi x2成立,求m的最小值.

10、解：(1)由于 f(x) =52aln x + b,所以 f ' (x) =x a, x由于曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x y 3=0,1a = 3,解得f 1=3,'所以一 c即1 .cf 1 =0,2+b=0,由于x = 1是函数f (x)的极值点,所以 f ' (1) =1a = 0,所以 a=1.当 a=1 时,f(x)=gx2ln x + b,定义域为(0, +00),f' (x)x1 x+1x1 x2-1=x 一 二x x当 0Vx<1 时,f ' (x)<0, f(x)单调递减,当x>1时,f ' (

11、x) >0, f(x)单调递增,所以a=1.(3)由于一20a<0,0 <x<2,所以 f ' (x) =x a>0, x故函数f (x)在(0,2上单调递增,不妨设 0<x10x202,那么| f (x1)一f (x2)| Wm；J 可化为 f(x2) +m&f (x1)m , x1 x2x2x1设 h(x) =f (x) +m= 1x2aln x+ b + m,那么 h(x1)>h(x2).所以h(x)为(0,2上的减函数,即 h' (x)=x a?c 0 在(0,2上恒成立, x x等价于x3 axme0在(0,2上恒成立

12、,即m>x3ax在(0,2上恒成立,又一20 a< 0,所以 ax>一2x,所以 x ax w x + 2x,而函数y = x3+2x在(0,2上是增函数,所以x3+ 2x&12(当且仅当a= 2, x= 2时等号成立).所以m> 12,即m的最小值为12.练 1.设函数 f (x) =xlna -x2- ax (a>0, awl).(1)当a=e时,求函数f (x)的图象在点(0, f (0)的切线方程；(2)假设存在 xi, xzC - 1, 1,使得 |f (xi) - f (x2)| >e- 1 (e 为自然对数的 底数),XX数a的取值X围

13、.练 2.设 f (x) =a+xln x, g(x)=x3 x由 g (x) >0,解得 x<0 或 x>-. 又 x e 0,2,一,、2 ,、,、2,、所以g(x)在区间0, 3上单调递减,在区间 2 2上单调递增,3. ' ' x(1)如果存在北,xzC 0,2,使得g(x1)-g(x2)?M成立,求满足上述条件的最大整数M1(2)如果对于任意的s, t C 2,2 ,都有f(s)?g(t)成立,XX数a的取值X围.解(1)存在 Xi, x2e 0,2,使得 g(x1) g(x2) > M成立,等价于g( Xi) g(X2) max> M由

14、 g(x) =x3-x2-3,2_2得 g (x) =3x 2x=3x x-3 ,2由 g (x) <0,解得 0<x<£；3又 g(0) = 3, g(2) =1,故 g( x) max= g(2) = 1,一一 一 285g(x)min=g 3 =一27,所以9(X1) g(X2) maxg( x) max g( x) min85 112 - = 1 + 27=M那么满足条件的最大整数 M= 4.1对于任意的s, t e 2,2 ,一、1,都有f(s)?g(t)成立,等价于在区间2, 2上,函数f (x) min>g(x) max., 一,一一 1由(1)

15、可知在区间2,2上,g(x)的取大值为g(2)=1.在区间1, 2上,f (x) =a + xln x>1包成立等价于a>x-x2ln x包成立. 2x设 h(x)=xx2|n x, xC 2 2 ,那么 h' (x) = 1 -2xln x-x,一、1,一,一,易知h' (x)在区间2, 2上是减函数,又 h (1) =0,所以当 1<x<2 时,h,(x) <0；.1- ,当x< 1 时,h (x) >0.所以函数h(x)=xx2ln x在区间2,1上单调递增,在区间1,2上单调递减,所以 h(x) max= h(1) = 1 ,所

16、以实数a的取值X围是1 , +8).练 3.函数 f(x) = ln x-ax+1-a 1(aCR). x1 ,(1)当0<a<2时,讨论f(x)的单调性；-2,1一(2)设 g(x) =x -2bx+4.当 a=时,右对任息 x1 (0,2),存在 xzC 1,2, 使f(x1) >g(xz) , XX数b的取值X围.解：(1)由于 f(x) = ln x-ax+1一a -1, xL-、一,、 1a 1ax x +1 a -、所以 f (x)a+-x= x2, xC(0, +00),令f' (x)=0,可得两根分别为1, 11,a由于 0<a<1,所以

17、11>1>0, 2 a当xC(0,1)时,f' (x)<0,函数f(x)单调递减；当xC 1, 11时,f ' (x) >0,函数f (x)单调递增； a当xC 11, +00时,f' (x)<0,函数f(x)单调递减. a a = 1e 0, 1 , 1-1=3? (0,2), 42 a由(1)知,当x (0,1)时,f' (x)<0,函数f(x)单调递减；当x (1,2)时, f ' (x)>0,函数f(x)单调递增,1所以f(x)在(0,2)上的最小值为f(1) = 2.对任意X1 (0,2),存在X2C 1,2,使f