中考数学专题复习 运动型问题学案-人教版初中九年级全册数学学案

1、运动型问题【题型特征】 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、 “一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强.运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等).【解题策略】 解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓

2、住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变

3、这一特性,充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确.类型一点的运动典例1(2015·江西)如图(1),ab是o的直径,点c在ab的延长线上,ab=4,bc=2,p是o上半部分的一个动点,连接op,cp.(1)求opc的最大面积;(2)求ocp的最大度数;(3)如图(2),延长po交o于点d,连接db,当cp=db时,求证:cp是o的切线.(1)(2)【全解】 (1)ab=4,ob=2,oc=ob+bc=4.在opc中,设oc边上的高

4、为h,当h最大时,sopc取得最大值.观察图形,当opoc时,h最大,如图(1)所示:(1)此时h=半径=2,sopc=22=4.opc的最大面积为4.(2)当pc与o相切时,ocp最大.如图(2)所示:(2)ocp=30°.ocp的最大度数为30°.(3)如图(3),连接ap,bp.(3)a=d=apd=abd.ad=pb,ap=bd.ap=bd.cp=db,ap=cp.a=c.a=d=apd=abd=c.在odb与bpc中,odbbpc(sas).d=bpc.pd是直径,dbp=90°.d+bpd=90°.bpc+bpd=90°.dppc.

5、dp经过圆心,pc是o的切线.【技法梳理】 本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.(1)在opc中,底边oc长度固定,因此只要oc边上高最大,则opc的面积最大;观察图形,当opoc时满足要求;(2)pc与o相切时,ocp的度数最大,根据切线的性质即可求得;(3)连接ap,bp通过odbbpc可求得dppc,从而求得pc是o的切线.举一反三1. (2015·黑龙江牡丹江)如图,在rtabc中,acb=90°,ac=8,bc=6,cdab于点d.点p从点d出发,沿线段dc向点c运动,点q从点c出发,沿

6、线段ca向点a运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点p运动到c时,两点都停止.设运动时间为t秒.(1)求线段cd的长.(2)设cpq的面积为s,求s与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得scpqsabc=9100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.(3)当t为何值时,cpq为等腰三角形?(第1题)【小结】 解题要点是(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想,避免漏解.类型二线的运动典例2(2015·广东)如图,在abc中,ab=ac,adbc于点d,bc=10cm,ad=8c

7、m.点p从点b出发,在线段bc上以每秒3cm的速度向点c匀速运动,与此同时,垂直于ad的直线m从底边bc出发,以每秒2cm的速度沿da方向匀速平移,分别交ab,ac,ad于点e,f,h,当点p到达点c时,点p与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).备用图(1)当t=2时,连接de,df,求证:四边形aedf为菱形.(2)在整个运动过程中,所形成的pef的面积存在最大值,当pef的面积最大时,求线段bp的长.(3)是否存在某一时刻t,使pef为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.【解析】 (1)如图(1)所示,利用菱形的定义证明;(2)如图(2)所示,首

8、先求出pef的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;(3)如图(3)(4)(5)所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.【全解】 (1)当t=2时,dh=ah=4,则h为ad的中点,如图(1)所示.(1)efad,ef为ad的垂直平分线.ae=de,af=df.ab=ac,adbc于点d,adbc,b=c.efbc.aef=b,afe=c.aef=afe.ae=af.ae=af=de=df,即四边形aedf为菱形.(2)如图(2)所示,由(1)知efbc,(2)当t=2秒时,spef存在最大值,最大值为10,此时bp=3t=6.(3)存在.理由如下:若点e为直角顶点,如图(3)所示,(3

9、)此时pead,pe=dh=2t,bp=3t.pead,此比例式不成立,故此种情形不存在.若点f为直角顶点,如图(4)所示,(4)此时pfad,pf=dh=2t,bp=3t,cp=10-3t.pfad,.若点p为直角顶点,如图(5)所示.(5)过点e作embc于点m,过点f作fnbc于点n,则em=fn=dh=2t,emfnad.emad,【技法梳理】 这是一道“线平移型”动态问题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.举一反三2. (20

10、15·湖南衡阳)如图,直线ab与x轴相交于点a(-4,0),与y轴相交于点b(0,3),点p从点a出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线ab向点b移动.同时,将直线以每秒0.6个单位长度的速度向上平移,交oa于点c,交ob于点d,设运动时间为t(0<t<5)秒.(1)证明:在运动过程中,四边形acdp总是平行四边形;(2)当t取何值时,四边形acdp为菱形?请指出此时以点d为圆心、od长为半径的圆与直线ab的位置关系并说明理由.(第2题)【小结】 这是一道“线运动型”的动态几何问题,线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化(如三角形、平行四边形等),问题常以求图形面积的最值

11、,或者探究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现.解决此类问题时,一是要选择适当的求图形面积的方法.若是规则图形,可以直接选择面积公式计算;若是不规则图形,一般情况下选择割补法,通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决;二是要根据线段的运动变化过程,探究其他图形的运动变化规律.有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形,确定线段运动变化的不同阶段,从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置.类型三面的运动典例3(2015·甘肃天水)如图(1),在平面直角坐标系中,点a(0,-6),点b(6,0).rtcde中,cde=90°,cd=4,de=43,直角边c

12、d在y轴上,且点c与点a重合.rtcde沿y轴正方向平行移动,当点c运动到点o时停止运动.解答下列问题:(1)如图(2),当rtcde运动到点d与点o重合时,设ce交ab于点m,求bme的度数.(2)如图(3),在rtcde的运动过程中,当ce经过点b时,求bc的长.(3)在rtcde的运动过程中,设ac=h,oab与cde的重叠部分的面积为s,请写出s与h之间的函数表达式,并求出面积s的最大值.(1)(2)(3)【全解】 (1)如图(1),(1)在平面直角坐标系中,点a(0,-6),点b(6,0).oa=ob.oab=45°.cde=90°,cd=4,de=43,oce=

13、60°.cma=oce-oab=60°-45°=15°.bme=cma=15°.(2)如图(2),(2)cde=90°,cd=4,de=43,obc=dec=30°.ob=6,bc=43.(3)h2时,如图(3),作mny轴交y轴于点n,作mfde交de于点f,且oe交ab于点k.(3)cd=4,de=43,ac=h,an=nm,cn=4-fm,an=mn=4+h-fm.cmnced,【技法梳理】 本题是一道面平移型动态问题.综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理,难度较大.对于第(3)题这类有关

14、于动态问题,需要分类讨论,以防漏解有一定的难度.(1)如图(1),由对顶角的定义知,bme=cma,所以欲求bme的度数,需求cma的度数.根据三角形外角定理进行解答即可;(2)如图(2),通过解直角boc来求bc的长度;(3)需要分类讨论:h2时,如图(4),作mny轴交y轴于点n,作mfde交de于点f,s=sedc-sefm;当h2时,如图(3),s=sobc.举一反三3. (2015·福建三明)如图(1),在rtabc中,acb=90°,ab=10,bc=6,扇形纸片doe的顶点o与边ab的中点重合,od交bc于点f,oe经过点c,且doe=b.(1)证明cof是等

15、腰三角形,并求出cf的长;(2)将扇形纸片doe绕点o逆时针旋转,od,oe与边ac分别交于点m,n(如图(2),当cm的长是多少时,omn与bco相似?(1)(2)备用图(第3题)【小结】 解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转

16、化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确.类型一1. (2015·贵州贵阳)如图,在rtabc中,bac=90°,ab=ac=16cm,ad为bc边上的高.动点p从点a出发,沿ad方向以2cm/s的速度向点d运动.设abp的面积为s1,矩形pdfe的面积为s2,运动时间为t秒(0<t<8),则t=秒时,s1=2s2. (第1题)(第2题) 类型二3. (2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,ab=ob=8,abo=90°,yoc=45°,射线oc以每

17、秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线oc经过点b时停止运动,设平行移动x秒后,射线oc扫过rtabo的面积为y.(1)求y与x之间的函数表达式;(2)当x=3秒时,射线oc平行移动到o'c',与oa相交于点g,如图(2),求经过g,o,b三点的抛物线的表达式;(3)现有一动点p在(2)中的抛物线上,试问点p在运动过程中,是否存在三角形pob的面积s=8的情况?若存在,求出点p的坐标,若不存在,请说明理由.(1)(2)(第3题)4. (2015·江苏连云港)在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验.如图,表盘是abc,其中ab=ac,bac=120°,

18、在点a处有一束红外光线ap,从ab开始,绕点a逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达ac后立即以相同的旋转速度返回a,b,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从ab处开始旋转计时,旋转1秒,时光线ap交bc于点m,bm的长为(203-20)cm.(1)求ab的长.(2)从ab处旋转开始计时,若旋转6秒,此时ap与bc边交点在什么位置?若旋转2015秒,此时ap与bc边交点在什么位置?并说明理由.(第4题)类型三5. (2015·湖南益阳)如图,在平面直角坐标系xoy中,半径为2的p的圆心p的坐标为(-3,0),将p沿x轴正方向平移,使p与y轴相切,则平移的距离

19、为().(第5题)a. 1b. 1或5c. 3d. 5 6. (2015·黑龙江黑河)在等腰直角三角形abc中,bac=90°,ab=ac,直线mn过点a且mnbc,过点b为一锐角顶点作rtbde,bde=90°,且点d在直线mn上(不与点a重合),如图(1),de与ac交于点p,易证:bd=dp.(无需写证明过程)(1)在图(2)中,de与ca延长线交于点p,bd=dp是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.(2)在图(3)中,de与ac延长线交于点p,bd与dp是否相等?请直接写出你的结论,无需证明.(1)(2)(3)(第6题)参考答案【真题精

20、讲】1. (1)如图(1),(第1题(1)acb=90°,ac=8,bc=6,ab=10.cdab,线段cd的长为4.8.(2)过点p作phac,垂足为h,如图(2)所示.(第1题(2)由题可知dp=t,cq=t.则cp=4.8-t.acb=cdb=90°,hcp=90°-dcb=b.phac,chp=90°.chp=acb.chpbca.整理,得5t2-24t+27=0.即(5t-9)(t-3)=0.若qc=qp,过点q作qecp,垂足为e,如图(3)所示.(第1题(3)c(-0.8t,0),oc=0.8t.在rtocd中,cd=oc2+od2=(0.

21、8t)2+(0.6t)2=t.点p从点a出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线ab向点b移动t(0<t<5)秒,ap=t.ap=cd=t.apcd.apcd,ap=cd=t,在运动过程中,四边形acdp总是平行四边形.a(-4,0),b(0,3),oa=4,ob=3.在rtoab中,ab=oa2+ob2=5.过点d作deab于点e,则deb=90°.(第2题)在aob和deb中,aob=deb=90°且oba=ebd,aobdeb.点d到直线ab的距离等于d的半径.以点d为圆心、od长为半径的圆与直线ab相切.方法二:(在证明d与直线ab相切时,也可利用等积法求得

22、点d到直线ab的距离.)设点d到直线ab的距离为d,则点d到直线ab的距离与d的半径相等,即d=r.以点d为圆心、od长为半径的d与直线ab相切.方法三:(巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”)连接ad,则ad是菱形acdp的对角线,ad平分oab.doao,do是点d到直线ao的距离.点d到直线ab的距离=点d到直线ao的距离(do).以点d为圆心、od长为半径的圆与直线ab相切.3. (1)acb=90°,点o是ab的中点,oc=ob=oa=5.ocb=b,aco=a.doe=b,foc=ocf.fc=fo.cof是等腰三角形.过点f作fhoc,垂足为h,如图(1),(

23、第3题(1)fc=fo,fhoc, (2)若omnbco,如图(2),(第3题(2)则有nmo=ocb.ocb=b,nmo=b.a=a,aomacb.若omnboc,如图(3),(第3题(3)则有mno=ocb.ocb=b,mno=b.aco=a,conacb.过点m作mgon,垂足为g,如图(3),mno=b,mon=b,mno=mon.mn=mo.mgon,即mgn=90°,【课后精练】1. 62. -63. (1)ab=ob,abo=90°,abo是等腰直角三角形.aob=45°.yoc=45°,aoc=(90°-45°)+45°=90°.aoco.c'o'是co平移得