必修四⑥平面向量线性运算

1、平面向量线性运算1、向量的有关概念及表示方法(1)向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)零向量长度为0的向量；其方向是任意的14 记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量10与任一向量平行或共线共线向量平行向量双叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量11440的相反向量为0(2)向量的表示方法字母表示法，如：a,AB等;几何表示法：用一条有向线段表示向量。2、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算工角形法第(1) 交换律：4 + 4 4a +b =

2、b + a。(2) 结合律：(a + b) + c= a +(b + c)乎行四边形眩则减法1 1求a与b的相反向量1 1-b的和的运算叫做a1与b的差三角賂法则数乘1求实数入与向量a的积的运算（1）ha44（2）当入0时，上a与a的14 方向相同；当入0时，人a4与a的方向相反；当入=04 4时，九a =0h（Aa） = M）a;斗屮片 （几 + A）a = ha + 4a;九（a +b） = ha + Zb注：式子,bi2 |；-：|2=2（|；|2卞|2）的几何意义为：平行四边形两条对角线的平方和等于它们四条边的平方和。3向量0）与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数，使L. a.注：

3、用向量法证明三点T TAB与AC共线即可。A B、C共线时，首先求出證忑，然后证明7B=AC，即方法提示：数学中研究的向量是自由向量：两个向量只要它们的模相等、方向相同，它们就是相等向量， 而与它们的起点在哪里没有关系。这就为我们应用向量带来方便，可以任意选取有向线段的起点，可以把向量自由平移。向量的线性运算规律： 向量的加减法都可以推广到若干个向量间进行。加法的三角形法则关键是“首尾相接，指向终点”，减法的三角形法则关键是“起点重合，指向被减向量”，用字母表示的向量进行线性运算时可以类比多项式加法和数乘多项式进行。题型分析（一）向量的有关概念相关链接1、着重理解向量以下几个方面：（1）向量的

4、模；（2）向量的方向；（3）向量的几何表示；（4）向量的起点和终点。2、判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：（1）零向量的方向及与其他向量的关系;（2）单位向量的长度及方向。例题解析【例(A)1】下列结论中，不正确的是AB，CD 共线与向量AB/ CD同义;向量(B)若向量AB/ CD，则向量AB与DC共线;(C)若向量AB=CD，则向量£=DC ；(D)只要向量a， b满足| ai=i b |，就有a =b。解答：选根据平行向量（或共线向量）定义知A，B均正确；根据向量相等的概念知C正确，D不正确。【例2】给出下列命题: 有向线段就是向量，向量就是有向线段; 若AB&#

5、39; =DC,则ABCD为平行四边形；若 a/b,b/c,则a =c;若 a / /b, b/ /c,则 a / /c 。其中正确命题的个数是（）（A） 0（ B） 1（ C） 2（ D） 3思路解析：正确理解向量的有关概念是解决本题的关键。注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反倒即可。T T解答：选B。错，向量可用有向线段表示， 但并不是有向线段。 错，因为AB = DC,4 4寸4则可能A、B C、D四点在一条直线上。 正确。错，若b=0，则对不共线的向量a与c，也有a/,0 c,但a与c不平行。（二）向量的线性运算相关链接除利用向量的加、减法、（1）用已知向量来表示别外一些向量是用

6、向量解题的基本功, 数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理;(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线， 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量求解。OA=-y(OB+CX3).注：若A为BC的中点，贝U例题解析3Bdjab3ABM等条件。解答:* 2 " 2 | AD=-AH33BC = AC - AB 二 b - a.由 ADE ABC的 中 线， DE/BC , 且 AMDN - DE (b-a).A M232岬得 DE BC3与 DE 交1m -aA A A ABM,1”

7、少*.AD=-AB2(b - a)，又 AM是 ABC3于2 2B C2(b ak 95-J»AN=-AM=7B鑒H皐用a,b表示向量AEBCDtDN'AMAN。思路解析：解本题要进行向量的加、减法外，还有数乘向量运算，如211时AB = AD, DB AB a,-331 一 = -a.在进行计算时要充分利用DE/BC二AADEABC ADW 312在 OAB中,延长BA到C,使AC=BA在OB上取点D,使DBJOB。DC与OA交于E,设3T 片 T 彳 4TOA = a, OB = b,用a,b表示向量OC及向量DC 。解答：/ A是BC的中点， OA=£(OB

8、oc)，即 OC = 2O-OB2 25呻DC=OC-OD=OCOB=2a-b b = 2a b.3 33(三) 向量的共线问题=2a -b,设两个非零向量a与b不共线,（1）若 ab 二 a b, bc=2a 8bb,cD=3（a_b）.求证：a b、d三点共线;(2)试确定实数k，使ka b和a kb共线思路解析：（1 ）由已知求BD；判断AB和BD的关系 > 判断A B、D的关系；（2）应用共线向量的充要条件'列方程组 '解方程组得k值。解答：（1）v AB =a b, BC =2a 8b,CD =3（a -b）.T TTT 斗 4 4444 TBD BC CD = 2a 8b 3(a -b) = 2a 8b 3a -3b = 5(a b)二 5ABAB、BD共线，又它们有公共点B,. A、B D三点共线（2）/ k a b和a kb共线，二存在实数入，使k a b=入（a kb ）,即ka b = kb。（k ）a = （ k- 1）b a、b是不共线的两个非零向量，r r 2k - = k -1 , k -1=0。二 k =