充分统计量_完备统计量_指数分布族

1、03充分统计量与完备性(补充)-教学辅导一、【内容提要】1 充分统计量(sufficient statistic )1) 定义5.5.1 :设Xl,X2, ,Xn是来自某个总体的样本，总体分布函数为F(x；)，统 计量T T(X1,X2, ,Xn)称为 的充分统计量，如果在给定T的取值后，X1,X2, ,Xn的条件与 无关.即不包含关于参数的信息2) 定理5.5.1 (因子分解定理 Factorization Theorem ):设总体概率函数为 f(x;)，X1,X2, ,Xn为样本，则T T(X1,X2, ,Xn)为充分统计量得 充分必要条件 是：存 在两个函数g(t,)和h(X1, X2

2、, Xn)使得对任意的 和任意组观测值X1,X2, ,Xn，有 f(X1,X2, ,Xn; ) g(T(X1,X2, ,Xn), )h(X1,X2, ,Xn)，其中是通过统计量的取值而依赖于样本的.证明：一般性结果的证明超出本课程范围，此处我们将给出离散型随机变量下的证明，此时，f 心,Xn;P X1 X1,Xn Xn：先证必要性.设T使充分统计量，则在T t下,P X1 x1, ,Xn xn T t与 无关,记为hX1,Xn 或 h X,令A tX :T Xt，当 XAt时有T tX1X1,XnXn ,故P X1X1,X nXn ;P X1X1,XnX,T t;P X1X1,X nXnT t

3、 P T t;h X1,Xng t,其中gt,P T t;,而h XP X1X1,XnXnT t与无关必要性得证.对充分性，由于P T t；x1,xn：Tx1, xnt PX1 x1， Xn Xn；x1, xn, xntgt， hX1,Xn,对任给Xx1,xn和t,满足X A t，有P Xi Xi, ,Xn Xn T tP Xi Xi, ,Xn Xn,T t；P T t；P XiXi,XnXn；P T t;g t, h X, ,Xn g t，yi, yn：Tyi, yn th yi,Vnh %, ,XnVi, Vn ：T Vi, Vn t h Vi,Vn该分布与无关，这证明了充分性3 ）充分性

4、判别法则定理4.i设样本分布密度函数族（连续或离散）为F f x, :,T为统计量则：T为充分统计量的充分必要条件为：存在关于t的可测函数gT Xt与关于X的非负可测函数h X，使得f X,g T x h x (O.i)对每一与x X成立.注：hX不依赖于证：只对离散型情况给出证明这时，f X,P XX对于TX的值域中任意固定的t,定义集合A tx :T xt .充分性 设f X, 使因子分解式（i.i）成立则对任意的x A t , T X 条件概率t成立,-3 -P X x,T X tx,f u,它与参数无关又若xA t，则Tt,xT XP X x,T X tP T t 0.也与无关因此，条

5、件分布f xtxt与无关,即T X是的充分统计量必要性设T X是的充分统计量，由充分统计量的定义，P X xT X t与-# -# -成立;这时T x,PX xPXx,T X tPTXt P XxTX tPTXt h xgth xgTxh x ,式中g tP T Xt.因而(1.1)成立参数 无关，它是x的函数，记为h x .于是，对任意固定的t,当 x A t时,T x t由因子分解定理，若样本的密度函数x，能分解成两个因子的乘积，其中一个为T X的函数，而另一个仅为x的函数，与参数无关，则T X是 的充分统计量2 完备性1)定义：F p(x; )，设g(x)是定义在样本空间上的一个实函数，

6、一般来说，积分(如果存在)Eg(x) g(x)p(x; )dx ()，因此上述积分(数学期望)可以看作一个变换，且是一对一的变换.即对，g1(x) g2(x) 1Eggdx) Egg2(x)ggig20，Eg(gg2)0，则pg(x) 01 Egg(x)0英文注释： Definition (Complete Statistic) : Let be a family of pdfs of pmfs for a statisticThe family of probability distributions is called complete if for all implies for all

7、 Equivalently, is called a complete statistic .2) 分布族的完备性：定义： F p(x; ),对于任何一个可测函数g(x)，由 Egg(x)()g(x)p(x; )dx 0-5 -# -有Pgg(x) 0 1 or g(x)0(a.ep)等价的，Eg(x) Egg2(x)对成立，可推出 p g1(x)g2(x) 13)完备性意义： 积分变换(数学期望)的唯一性 常用的积分变换 .a. 傅里叶变换 f (x)eitx f(x)dx特征函数，它在 t ( ,) 上 都存在且有唯一性 .b. laplas 变换f (x)e sx f (x)dx ，该式

8、在s=0 存在至少在s=0 某个领域内有定义，则有唯一性4)完备充分统计量( complete sufficient statistic )定义：设p(x;)是一概率密度函数且是指数族的正规案，设X1, ,Xn是具有p.d.fnp(x; )的分配的随机样本 .则统计量 T Xi 是 的完备充分统计量 .i15) 某些完全性定理(指数族的完全性) ： 设 X 的样本空间为 (x, x) ，分布族为指数族，对，有kdp (x) c( )expiT(x)du(x)，此处 为Rk之一子集，若(作为 R的子i1集)由内点，则统计量 t(x) (T1(x), ,Tk(x) 是完全统计量 .定理(次序统计量

9、的完全性) ： 设分布族 f 满足以下两个条件：(a)若 F1f,F2f ，则对任何 P1 0,P2 0,P1 P2 1, 有 P1F1 P2F2(b)若 F f, S a,b), a b，而 F(s) 0 ，则 FB f ，则次序统计量-# -无关，且取有限值的可测函数，k为正整数，h(x) 0.X，X(n)是完全的(对任何自然数 n) 引理：设分布族满足上面的条件(a), f(X1, ,Xn)为Bore (可测得对称函数)，满足条件f(Xi, ,Xn)dF(Xi) dF(Xn) Of(X(i), ,X(n)，对任何 F f，则对 F 中的任意 n 个分布 F1, ,Fn ，必有f(X1,

10、,Xn)dF1(X1) dFn(Xn) 0f(X(1), ,X(n)定义(有界完全性)：设变量X的样本空间为(x, x)，分布族为p ,，t(x)为定义于 X 取值于 (f, f) 的统计量，其分布族为 pT, ，若对任何满足条件”f (x)dp (x) 0 , 对一切”的有界 x 可测函数 f(x) ，必有p X f(x) 0 0，对一切，则称分布族 p , 为有界完全的 若pT,为有界完全的，则称t为有界完全统计量3极小充分统计量( minimal sufficient statistic )1 )定义： 设t(x)为(X, X)上的一个充分统计量，取值于(f, f)，上的分布族为 p ,

11、 若对任何定义于x，取值于某可测空间(S, S)的充分统计量必存在由(S, S)到(f , f)的可测变换t q(s)，以及Ax，满足条件p (A) 0对任何，致t(x) q(S(x)，对任何x A，则称唯一极小充分统计量.2) 定理(极小充分统计量的存在定理)：假定分解定理中的条件成立，且样本空间为欧 式的，则极小充分统计量存在 3) 要求： 信息损失越少越好统计量越简化越好4指数族：1)定义：设 (,| p :|)是可控参数统计结构，加入其密度函数可表示为如下形k式： p (x) c( )exp cj ( )Tj(x)h(x)i1并且它的支撑 x: p (x)0不依赖于 ，则称此结构为指数

12、型的统计结构，简称指数结构，其中的分布族为指数族，这里的0 c( ),( ), ,ck( ),Tj(x)都与2)定理： 自然参数空间 为凸集 (X)是 上的 可测函数，且对一切w (w-!, , wk)有kI (x)|expWj(x)dj i设X (X1, Xn)是来自指数型分布标准形式的一个样本，则有统计量n(Ti(X), ,Tk(X)( Ti(Xi),i 1Tk(x )是指数型分布族的充分统计量i 1-7 -无关，且取有限值的可测函数，k为正整数，h(x) 0.3)常见指数分布族 二项分布族：p (x)x(1)n xn(1xln 1c( )expG()xh(x),x0,1, ,n其中c(

13、)(1)n,c1()xl n1,h(x)-# -无关，且取有限值的可测函数，k为正整数，h(x) 0.-# -无关，且取有限值的可测函数，k为正整数，h(x) 0.二元正态分布族:Pu, (x)右 exp2尹xp其中c(,exp 22"2, C1 (h(x)1,T1 (x)xRx)x2-# -无关，且取有限值的可测函数，k为正整数，h(x) 0.-# -无关，且取有限值的可测函数，k为正整数，h(x) 0.伽玛分布族:p (x) x()(C(exp x),)expG(1)ln x,)x C2(,)ln x,其中,C2 (1)注：如果Gammar分布中引入第三个参数 门限参数，其密度函

14、数为-# -P , , (x)1e(x5.辅助统计量(an ciliary statistic )：1)定义：设Xf(x; ),，若统计量A A(X)的分布与无关，则称A(X)为辅助统计量(即 A(X)中不包含关于的信息)英文注释：Definition (Anciliary Statistic) : A statisticS(X) whose distribution does notdepe nd on the parameteris called an an ciliary statistic .Alone, an ancillary statistic contains no infor

15、mation about.An ancillary statistic is an observation on a random variable whose distribution is fixed and known, un related to.Paradoxically, an ancillary statistic, when used in conjunction with other statistics, sometimes does contain valuable in formati on for inferen ces about .6 .常见的充分统计量分布分布列

16、或密度函数参数充分统计量二项分布b(1,P)x1 xP X x p 1 p ,x 0,1,pT x xn泊松分布PxP(Xe ,x 0,1,2,x!T x Xn几何分布Ge()x 1P X x 1,x 1,2,T x xn指数分布Exp(入)p(x)= e x,x 0T x Xn均匀分布U(0,)1门 p x ,0 xT max(X1，,xj即T Xn均匀分布U( 1, 2)1p x, 1 x22 11 , 2T1x(1), 2x(n)均匀分布U( ,2 )1cp x ,x 2T1x(1), 2x(n)-# -正态分布N , 21 J p(x) -ye 22jnx与 (x 刃2i 1幂分布1p

17、(x; ) x ,0 x 1nnTx或TIn xi 1i 1双参数指数分布1 p(x; , ) -e ,xjntx(1),T2xii 1伽玛分布Ga( a，入)p(x; , )x e ,x>0()jnnT1x T2xi 1i 1对数正态分布LN , 2(lnx )2 12 2p(x) e 2 V2x2jnn2T1ln x,T2(lnGi 1i 1贝塔分布Be(a,b)P(x)丄7占(1 x)b1 ,0<x<1B(a, b)a,bnnTln xi,T2ln(1 xi)i 1i 1二、【释疑解难】1. 对上述充分统计量的证明*对于指数分布族直接找出充分统计量，以下为一些例子 二项

18、分布：b(1,p)设X1,X2, ,Xn使来自二点分布b 1,p的一个样本，其中0 p 1,n2，现在我们来考察如下两个统计量:nT1Xi,T2i 1X1 X2.我们知道，样本X1,X2,Xn的联合分布是P X1 N,X2X2,Xn XnnnXin nXipi1 1 p i1 i ,其中，诸xi非0即1.而统计量T,Xi的分布为二项分布b n, p，即i 1PT t : $ 1 P “ 七，t 0,1,n.而在给定T-! t下，样本的条件分布为-9 -P XiXi,X2X2, ,XnXn TitP X1Xi,X2X2,XnXn,Ti t-# -# -n 1P X1%,Xn l，Xn t Xi

19、1n pt 1 pnt计算结果表明，这个条件分布与参数 p无关它已不含有参数 p的有关信息了 样本中有关p 的信息都含在统计量T,中.另外，统计量T2 X1 X2的分布仍是二次分布 b 2, p，即P E t2tt p彳2 t1 p,t0,1,2.于是在给定t2 t下，样本的条件分布为P X1x-i , X2X2,X nXnT2tP Xi Xi,X2tXi,X3 X37 XnXnP T2 tnn tXii 3ntXip i3 12 pt 1 p2tXipi3可见，这个条件分布与参数p有关这意味着，这个条件分布还含有参数p的信息，而样本中有关p的信息没有完全包含在统计量 t2之中注：从上例可以直

20、观地看出，用条件分布与参数无关来表示不损失样本中有价值的信息室 妥当的一般的充分统计量的定义也正是这样给出的(数理统计_茆诗松王静龙P46/EX 1.6.2)泊松分布：Pn(书P283/EX5.5. 2)：设x1,Xn是来自泊松分布 P 的样本，则T是充分统计量x解：p(x； ) e exp(ln )x In(x!), x 0,1,x!xn为其充且X- ,Xn独立同分布，根据充分完备统计量定义可得，T 为分统计量.令解：由泊松分布性质知，T P n在给定T的取值后，对任意的一组nxi, ,xnXi t ，有i 1P X1Xi,XniXnlXtP Xi 为，,Xn xn T tnP Xj ti

21、1P Xii 1n 1x P Xn tXii 1tn e t!n 1Xiei 1 X !n e t!tn e t!t!无关，是充分统计量-11 -# -几何分布：| Ge()x0,1,2,(书P283/EX5.5. 1):设x1, ,Xn是来自几何分布 P X X 1 ,Xn的样本，则Txi疋充分统计量 .i 1解：P Xx1XexpInxln(1), x0,1,2,且X1,Xn独立同分布，则由充分完备统计量定义得,T x1xn为其充分统计量.令解：由几何分布性质知，T Nb n,t,t 0,1,2,在给定T的取值后，对任意的一组nXi, ,XnXi t ，有i 1P X1X1,XmXn 1,

22、Xn tP X1$ ,Xn Xn T tnP Xi ti 1n 1P Xi Xi P Xn i 1n t 1 n ,1 tn 1tXii 1指数分布：Exp（入）n 1X. ii 1n 1t Xii 117TT与无关，是充分统计量t设x1,Xn是来自指数分布 Exp（入）的样本，则TXi是充分统计量i 1x解：p(x; ) eexpInx, x 0,1,其分布列为P T t且Xi, ,Xn独立同分布，则由充分完备统计量定义得，T XiXn为其充分统计量令解：由泊松分布性质知，T Ga n,nn 1tn,n 1t其分布函数为p t;-1 en 1-1 en!在给定T的取值后，对任意的一组X1,X

23、nnXiti 1，有P X1X1,Xn 1n 1xn 1, X n txiP Xi $ ，Xn Xn T tPXi ti 1n 1n 1P Xj为 P Xn t Xi 1i 1nn 1 tt en 1 !n 1XitXii 1n,n 1tt en 1 !n ten,n 1 tt en 1 !n 1 !t“ 1 与无关，是充分统计量.对于非指数族用其因子分解定理来求充分统计量，以下就是典型的例子(书 P282/Eg5.5.4):设 x1,均匀分布:U(0,),Xn是取自总体U(0,)的样本，即总体的密度函数为p x;-,00 其他解：于是样本的联合密度函数为n,0 min Xjmax x.p X

24、1;p Xn；0其他由于诸 X0,所以 我们可 将上式改写为1np兀；pXn；I,Xn取TXn ,并令gt,n1 It ,h X 1,由因子分解定理知,T x n是的充分统计量-15 -# -均匀分布:U (仆2)(书 P283/EX5.5. 1 0):设 X，人是来自均匀分布U ( 1, 2)的样本，试给出一个充-# -# -分统计量.解：总体的密度函数为p x; 1, 2于是样本的联合密度函数为p Xi； 1, 2 p Xn； 1, 21,1 X 22 10其他1门,0 min xmax Xj2 10其他n-# -# -由于诸Xj0 ,所以我们可将上式改写为p X1； 1, 2 p Xn；

25、 1, 21nI21i1 X1X n2取 t1 X1 ,t2 Xn，并令 g t1,t2, 1,1I t t ,h X2 21,22 1n由因子分解定理知，Tt1,t2x 1 , xn是1, 2的充分统计量-# -# -均匀分布:U ( ,2 )(书 P283/Ex5.5. 1 1):设 Xn,Xn是来自均匀分布U( ,2 )的样本，试给出一个充-# -# -分统计量.-# -i 1i 1解：总体的密度函数为p x;于是样本的联合密度函数为其他p Xi；P Xn；minXimaxXi其他由于诸Xi0 ,所以我们可将上式改写为P Xi；Xn ；x1取 t1x 1,t2Xn，并令g t1,t2,2

26、 ,h X由因子分解定理知,t1 ,t2X1,Xn的充分统计量.*均匀分布族不是指数型分布族正态分布:(书P282/Eg5.5. 5):设 心，xn是取自总体的样本,未知的,解：联合密度函数为P为，,Xn；n2 exp(六(x)2)n2 exp(n2Xi 1nXii 1n取t1Xi,t2i 1n2Xi ,i 1并令 g(t1,t2,)n2 exp(2尹)expt1,h(X)由因子分解定理知， Tt1 ,t2x： 是充分统计量.进一步，我们指出这个统计量与X,s2是一一对应的,这明在正态总体场合常用的X,s2是充分统计量.幕分布:-17 -i 1i 1解1:样本联合密度函数为p Xi,Xn；Xi

27、Xi-# -i 1i 1-# -i 1i 1g t；nt 1,h X 1n取txi，并令i 1-# -i 1i 1-# -i 1i 1由因子分解定理知, xi是充分统计量.-# -i 1i 1-# -i 1i 1解2:样本联合密度函数为X1,Xn；XinexpInnXii 1-# -i 1i 1-# -i 1i 1nexpnIn xi 1n取t In Xj ,并令g t;i 1由因子分解定理知,nT In x是充分统计量.i 1双参数指数分布:-# -i 1i 1-# -i 1i 1(书 P284/X5.5. 1 2):设 x1,，焉是来自双参数指数分布PX；,x0 的样本，证明X,X1是分统

28、计量.解：样本联合密度函数为X1, Xn；Xi取 t1x,t2 x11n(Xii 1X1X1-19 -i 1i 1nx n,h X 1由因子分解定理知,t1 ,t2X,X1是充分统计量.伽玛分布Ga(a ,入)解：样本联合密度函数为p xn,Xn；a 1-xi exinaXii 1xinXii 1Xi1n取t1Xi,t2i 1Xi，并令gt1,t2；a 1t2e()th由因子分解定理知,t1 ,t2Xi是充分统计量.对数正态分布:LN设X1,Xn是取自总体LN的样本,是未知的,解：联合密度函数为pxn,Xn；exp(n(l nxi 1)2)n2exp(22) expIn xiIn xi取t1n

29、In Xi,t2i 1并令g(t1,t2,)由因子分解定理知,贝塔分布：Be(a,b)解：样本联合密度函数为2In xin2 exp(t1，t22K)expnnIn Xi，i 1X1,Xn；a,b2In xi2 t1,h(X)1是充分统计量.B(a,b)a 1b 1Xi(1Xi)-21 -(1Xi)b 1i11Xia '(1B(a,b) i 1b 1Xi)1ex pInB(a,b)a 1Xi1 exp B(a,b)InIn(1b 1Xi)1 exp B(a,b)InIn(1 x) b 111 expB(a, b)In xIn(1X) b 1-# -(1Xi)b 1i1-# -(1Xi)

30、b 1i1n取 t1 In Xi ,t2i 1nln(1 x)，i 1-# -(1Xi)b 1i1-# -(1Xi)b 1i1并令g t/ab1 exp B(a,b)t1,h由因子分解定理知,t1 ,t2In Xi,i 1In(1Xi)是充分统计量.-# -(1Xi)b 1i12. 常用分布族的完备性分布族| F ( ,v)的完备性v若有(,v) 0h(X)eX v 1x dx0, ( ,v)，则对任何(,v)有 h(x)e Xx0v 1dx 0 ;该式左端可视为h(x)xv 1的拉氏变换，因此有-# -(1Xi)b 1i1-# -(1Xi)b 1i1拉氏变换的唯一性，可以推出h(x)xv 1

31、 O(a.e.)，xv 10 ,即得h(x) O(a.e).类似的,分布族F0 ( ,v0也完备.正态分布族Fo N( ,2)的完备性1)F1 N( ,1),()完备.-23 -(1Xi)b 1i1-# -(1Xi)b 1i1解：因为对任何，由 E h(X)h(xy=e(X ，dx 0-# -1 2x可以推得 () h(x)e2 e dx 0有拉氏变换唯一性可知：1 2xh(x)e 20(a.e.)，即可得 h(x)0(a.e.).2)F2N(> 0),(,)完备与1)类似.3)F3N(0, 2), 20不完备.因为h(x) x, Eh(X)0 ,但 h(x) 0(a.e)4)F4N(

32、0, 2), 20不完备与 3)类似.5)FN(.2),完备.因为若对任何(,)有h(x),(x)dx 0，其中,(x)为正态分布N( ,2)的密度函数，必有h(x),1(x)dx0,，由(1)知 h(x) O(ae).项分布族F b(n, )(0,1)的完备性若对任何有 ()E h(X)0，即()nh(x)x(1)n x 0n由此可推出 h(x)x 0)x0，该式为y 1的n次多项式，它对一切y 0为零，则其系数必为零，即h(x) nx0,所以 h(x) 0,x0,1, ,n.-# -# -均匀分布族F R(0, ),0的完备性若对任何有 E h(X)h(x) 1dx 0，贝V ()0h(x

33、)dx 0 由于h(x)可测，其0-# -# -不连续点为零测集，在h(x)的连续点处，()可导，因此对任何 h(x)的连续点 处有'()h(x) 0,即 h( ) 0,(a.e.)，因此有 h(x) (a.e.)3. 因子分解定理中的是不是向量统计量？答：假如存在充分统计量 T(X)，那么样本分布 f (x) 定可以分解为两个因子的乘积，其中一个因子与无关，仅与样本有关，另一个因子与 有关，但与样本的关系可以通过充分统计量T(X)表现出来.所以，应该指出，这个定理中的T(X)可以是向量统 计量.4. 用指数族去解决问题的完全性有多大的作用？答：我们通过学习，可以总结出指数族的三个优点

34、:1) 是它包含了很多常见的分布 2) 其次是它有良好的分析性质 .3) 是它有(在定理条件下)完全充分统计量这后两条性质决定了许多问题在这个族中有满意的解决，因此，指数族的重要性就可想而知了 5. 分布族要有怎样的性质，才能使次序统计量有完全性？答：先引进若干有关的记号，设Fi, F2, F为 个一维概率测度，R 0,i 1,2,而RP 1,则FRFi理解为一概率测度， 定义为F(S)RFj(S),对i 1i 1任何S 1，又若F为一概率测度， S 1而F(S) 0,则记号FS表示一个概率测度定义为Fs(A) F(S A)/F(S),A-25 -# -6. 充分统计量的函数是不是充分统计量?

35、答：设X N(2),2 已知，X (X1,Xn)是抽自X的iid样本，则依因子分解可知X是的充分统计量，但X2不是的充分统计量，事实上)21 1 n()nExp (X )22 i 1子EXpn( .-t)22 2Exp 2笃2U与有关,2故X不是的充分统计量因为X 2(t) N( r)n.2Expn( t)22 2 2X f(t)(t)2tnn( t)22一 Exp2 21. n2 t 丁 EXEn(t )2-# -7. 指数族分布表达式中的是不是充分完全统计量？ 答：我们可以给出一个指数族分布，其中并不是参数的充分完全统计量设X N( , 2)，其中0是未知参数，X (X1, Xn)是抽自其

36、中的iid样本,nn则T(X) ( Xi, Xi2)是 的充分统计量但不是的完全充分统计量，事实上，i 1i 1因为X N( , 2)，所以，子样 X (X1, Xn)的联合分布为-# -iL(x;)1 1 nf(N； )() Exp 2.22i 1(Xi)2)nExpn21nXXi 1i 12令 h(X)1g(T(X),) (LExpn2Xii 1则 L(X;g(T(X), )h(X)所以，根据Fisher-Neyman因子分解定理得 T(X)Xi2)是i 1的充分统计量，记T(X)nn(X,X2) (u,v)i 1n则 E(u)i 1E(X)n Var(u)nVar(xi)i 1所以，E(

37、u2)Var(u)(E2(u) n(n1)2因为，E(v)E(2)(Var(x)i 1i 1E2(Xi)2n令 g(T) 2u2 (n 1)vE(g(T)2n(n 1) 2(n1)2n 2但n 2时，g(T) 0,故0不是的完全统计量那么，为什么会出现这种情况呢?原因是上述定理中2)(,-)的值2 2域应包含一个二维开集的条件得不到满足进一步的讨论，得注：设X1, ,Xn是抽自N(2)分布族的iid样本，其中 是已知的实数,-27-i-#-inn未知参数，则同样可知，T(X) ( x, x2)是 的充分统计量，但不是的完i 1 i 1全统计量注：设X N( , 1 2是(u, 1 , 2)的充

38、分统计量，但不是完全统计量，原因是上述定理中)，YN( , 2) 其中(，12, 2)是未知参数又设(X1,X2 ,Xm)，厲飞 ,Ym)是分别从X,Y母体中抽取的iid样本，可证明mnmn2 2T(X,Y) ( Xi, Y, Xi , Yi )i 1j 1 i 1j 1-#-111 1Q (Q,Q2,Q3,Q4)(r，-y, r， r)的值域应包含一个四维井集的条件1 2 2 1 2 2得不到满足三、【典型例题和研究生试题】1. (充分统计量)(1)设x, ,xn是来自1p x;x ,0 x 1,0的样本，试给出一个充分统计量 解：样本的联合密度函数为n1pX1,X2,Xn：n1nX1X2X

39、nXji 17n令Tixi，取 g t;11 nt, h x1,xn 1，由因子分解定理，Tnxi为的充i 1分统计量.另外，T的-一变换得到的统计量,如 , ,xn的几何平均X11 nxn或其对数ln xi ，都是 的充分统计量.n i 1注：(概率论与数理统计教程习题与解答-茆诗松 程依明濮晓龙)P257261(2)设x1, ,xn是来自正态分布 N的样本(1) 在已知时给出 2的一个充分统计量;(2) 在2已知时给出的一个充分统计量解：(1 )在已知时，样本联合密度函数为P为必,X；n 2exp2Xi2，取 g t; 2n 2exp,h1，由因子分解定理,2 2为2的充分统计量(2)在

40、2已知时，样本联合密度函数为i-# -2p Xi,Xn；2 n,22exp2Xin2exp2Xj expig x；exp2 2nx ,hn 2expn2xi 1由因子分解定理，注：(概率论与数理统计教程的充分统计量.习题与解答-茆诗松程依明濮晓龙)P257261(3)设YN 01x, 2 ,i 1,2, ,n,诸Y独立，x1, ,xn是已知常数，证明是充分统计量证：Y , ，丫n的联合密度函数为p y1, ynexp2 2 "2 exp 十 y2 i 1201xi2 n 2exp1xi2 1 xi yi2 0 1 xii 1i 1注意到,xn是已知常数，令tt1,g t, , 0 ,

41、 12 2n 21exp2t2 ,t3ni 1yi,ni 1n2xi yi,yii 1，取nn122 2exp2n01Xi2 0 1 x2 2i 1i 12 t32 0t121t2 ,h y1, yn1-由因子分解定理,nnnY,为丫， Y2的充分统计量-29 -注：若X1, ,Xn独立同分布,XiR( 1，2)，则T (X,X(n)为完备的极小充分-# -(4)设x , xn是来自正态总体N的样本,yi, yn是来自另一正态总体N ,；的样本，这两个样本相互独立，试给出的充分统计量注：若X1, ,Xn独立同分布,XiR( 1，2)，则T (X,X(n)为完备的极小充分-# -注：若X1, ,

42、Xn独立同分布,XiR( 1，2)，则T (X,X(n)为完备的极小充分-# -解：样本x1, ,xn，的联合密度函数为PXi, Xn, yi, ymni 112mi 1n m 2n1 n2'i1Xi2nx my 21 21 n1 m其中X,y 、/i,令 tt1n i 1m i 1 -2 2n m 2g t,1 , 22nmt2,t3,t4x,y,2 2为,yi，取i 1i 11 1nmn m 2nm22七322f42 1 2 22 t 2 t212 2 2 2112 e1h X1, ,Xn, y1, ,ym1,由因子分解定理，tt1 ,t2,t3,t4nm2 2X,y,Xi,yi

43、是i 1i 1的充分统计量注：(概率论与数理统计教程习题与解答-茆诗松程依明濮晓龙)P257261注：若X1, ,Xn独立同分布,XiR( 1，2)，则T (X,X(n)为完备的极小充分-# -注：若X1, ,Xn独立同分布,XiR( 1，2)，则T (X,X(n)为完备的极小充分-# -2. (完全性)证Ga(,)具有完全性证:g(X)0dx)0，对()，有 g(x)x 1e Xdx 00有拉式变换唯一性知 g(x)x 1 0g(x) 0.注：若X1, ,Xn独立同分布,XiR( 1，2)，则T (X,X(n)为完备的极小充分-# -注：若X1, ,Xn独立同分布,XiR( 1，2)，则T (X,X(n)为完备的极小充分-# -3. (辅助统计量)n设X1, ,Xn独立同分布，X1N(,1)，则S (Xi X)2为辅助统计量i 1解：因为S 2(n 1)与无关，T X(n) X亦为辅助统计量，因为T (X(n) (X(1)Y(n) %)，而 Y Xi N(0,1)，其分布与无关4. (极小充分统计量)设Xi, ,Xn为相互独立的样本，且 Xj N(0,2) 一切j i，求完备的极小充分统计量(