随机微分方程计算背景与假设

1、随机微分方程计算背景与假设第一章引言本论文将主要涉及和研究两个方面的内容：分数阶导数及布朗运动。下面 将分别对其进行进一步的解释。现今关于分数阶导数的研究论文约 1000篇每年，并不断上升。分数阶微积 分理论与应用的交流与学术会议也日益频繁。每年都有大型的国际会议，小型 会议。1 .分数阶导数具有全局相关能较好地体现系统函数发展的历史依赖过程； 而整数阶导数，有局部性，不适合描述有历史依赖过程。与非线性模型比较， 分数阶模型的物理意义更清晰，表述更简洁。2 .分数阶导数模型克服了经典整数阶微分模型理论与实验结果吻合不好的 严重缺点，使用较少几个参数就可以获得很好的效果。3 .在描述复杂物理力学

2、问分数阶导数主要具有以下优势：布朗运动的定义是将看起来连成一片的液体，在高倍显微镜下看其实是由 许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮 微粒。当悬浮的微粒足够小的时候，由于受到的来自各个方向的液体分子的撞 击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用超强的时 候，致使微粒又向其它方向运动，这样，就引起了微粒的无规则的运动就是布 朗运动。总之布朗运动是一种无规则的运动，它描述的是一种混乱的存在状。1.1 背景与假设我们假设(Q, F, P)是一个具有流函数F的概率空间，W= W (t) : t >0是一个定义在概率空间之上的布朗运动，我们做最简

3、单的假设T=1.来考虑下面t的分数阶随机微分方程D u1t，W) f(t,u(t,w)g(t,s,w)dWSLfdz，tZgdWsdz ()0 (t z)1( ) 0 0 (t z)1u(0,w) U0u(t) Uo我们有方程的解为：u(0,w) U0,方程(1.1 )出自 文献 Numerical solution of stochastic fractional differential equations其中t 0,T,，为了注释的简单性我们替换掉变量，并且将方程重新写t作下面的形式：D u(t) f(t,u(t)g(t,s)dW40 u(0) Uo下面我们给出u (t)的逼近解u(t)

4、 通篇我们都假定下面的若干条件是满足的：f(s,x) f(s, y) Ci(x y), g(t,s) g(t, ) C2 s , |f(s,x)| C3(1 |x|), |g(t,s) C4其中Ci为某常数，并且对于任意的x和y R, 0 s,t T 11.2 随机积分估计下面再初步介绍一下随机积分估计的概念：首先我们要探讨下随机项的估计问题，估计项的主要部分是跑,被称为白噪dt声，正式的称谓是布朗运动 W(t)的导数。令t0 0 t1t . tN T 1其中I i t, i 0,1,.N是一个在0, 1区间的一个分割。下面我们用dW作为dW的一个估计，有: dt dtdW 1 N*i itdt - t i 1其中iN(0,1)被定义为1 idW(t), t tiI=1，,N(3.6)i(t)1,ti现在对于方程(3.2)的数值解，我们用dWt来替代白噪声dWt ,从而获