小升初数学衔接班——一元一次方程的解法一

1、小升初数学衔接班一一一元一次方程的解法(一)一、学习目标1、了解方程、一元一次方程以及方程的解等根本概念,掌握等式的根本性质；2、会解一元一次方程,了解一元一次方程解法的一般步骤,并经历和体会解方程时运用 的“转化的过程和思想.二、学习重点掌握去分母、去括号、合并、系数化为1的方法的使用及其依据.三、课程精讲1、引入古代诗歌日：“我问开店李三公, 多少客人在店中 一房七客多七客,一房九客一房空.请你仔细算一算,多少房间多少客.2、知识回忆(1)什么是方程我们在小学就学习过方程,所谓方程,就是含有未知数的等式.(2)去括号法那么在本讲中,我们要用到上一讲学习过的去括号法那么,请同学们提前复习一下

2、.例1、化简以下式子(1) (2a -3b) -(a -4b)(2) 3(2x y) -2(x 4y)思路导航：回忆去括号法那么,并严格遵循这一法那么.解答：(1)原式=2a-3b-a +4b= 2a-a 4b-3b=a b(2)原式=6x+3y-2x-8y二 6x -2x _8y 3y=4x-5y点津：去括号是解一元一次方程过程中很容易出现错误的地方,请同学们在做题过程中引起重视,多检查.3、新知探秘知识点一方程的解与解方程使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.例如,当x=3时,在方程3x + 2 = 4x1中左边=3 3 2 =11右边=4 3-1 =11所以,左边=右边,故x=3

3、是方程3x+2=4x1的解.例2、检验以下括号里的数是不是它前面方程的解.(1) 3y-1=2y+1(y=4,y=2)(2) (2x)(3x)=0(x=0,x=2)思路导航：回忆方程的解的定义,并运用它解题.解答：(1)当y=4时,左边=3父41 = 11,右边=2父4 + 1 = 9所以,左边*右边,y=4不是方程的解.当y=2时,左边=3父21=5,右边=2父2 + 1 = 5所以,左边=右边,y =2是方程的解.(2)当 x = 0时,左边=(2 0)(30) =6 ,右边=0所以,左边*右边,x=0不是方程的解.当 x=2时,左边=(2 -2)(3-2) = 0,右边=0所以,左边=右

4、边,x =2是方程的解.点津：求方程的解的过程,叫做解方程.1我们在小学已经学习过简易万程,比方, 3x4=9, a + 5 = 3(a + 1) 3等,像这样只含有一个未知数,且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程.知识点二等式的性质既然方程是一种特殊的等式,那么在解方程之前,我们先来研究等式的性质.如上图,从左到右,我们在保持平衡状态的天平两边加上相同的重量, 天平仍保持平衡； 从右到左,我们在保持平衡状态的天平两边减去相同的重量,天平仍保持平衡.等式与天平的平衡类似,于是有：等式的性质1等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍相等.类似的,在上图中,观察从左到右和从右到左天

5、平两边的变化,可以类比得到等式的又一性质：等式的性质2等式两边乘以同一个数,或除以同一个不为 0的数,结果仍相等.例3、填空(1)假设 3=2+x,那么 x=；(2)假设 x - y = 6 ,那么 x = 6 +;一3 一一(3)右一 x + y= 2,那么 y = 2 -；4(4)假设 3x=24,那么 x=.思路导航：利用等式的性质到达使等式变形的目的.解答：(1) 1;y; 3y4黝x; 4(4) 8.点津：养成言之有据的习惯,即培养自己的理性思维.例4、判断(1)假设 ax = ay ,贝 U x = y ;(2)假设乂 = 丫,那么 x5=5 y;b(3)右 ax +b =0(a

6、=0),那么 x = ； a(4)假设 5x-2=6x-3,那么 x = 1.思路导航：为题目中给定的变形式找依据.解答：(1)错,假设a=0,那么不能用等式的性质 2；(2)错,利用等式的性质 1,可得x -5 = y -5 ,而并非题目所给结果；(3)错,利用等式的性质 1,得ax =4,再利用等式的性质 2,得x =-上；a(4)对,利用等式的性质 1,得3-2=6x-5x ,即x = 1.点津：此题与上题在逻辑上正好相反,上题是按依据来变形,此题是为变形找依据,带有逆向思维的成分,属于更高层次的要求.知识点三 解一元一次方程(一)系数化为1mx = n (其中m,n为常数,m#0)是比

7、拟简单的一元一次方程.解这类方程时,可以利用等式的性质 2,将未知数的系数化为 1即可.例5、解以下方程(1) 15x =603(2) 3m =22(3) 2.5p=1.5(4) 3.1x=0思路导航：将系数化为1其实是利用等式的性质 2.解答：、一 15x 60(1)方程两边同时除以15,得冬=601515即x = 4、一“3_333(2)方程两边同时除以-,得3m4- =2+32222r 4即m 二3(3) 2.5p=1.5方程两边同时除以2.5,得空P = 152.52.5、一 .一 ,.13 1x 04方程两边同时除以 3.1,得=上3.13.1即x = 0点津：将系数化为1实际上是将

8、此类方程化为形如x=a的最简单的方程.知识点四 解一元一次方程二移项我们来研究方程5x-2 = 3x+41的解法.如果我们能把这个方程变形为上述简单方程就能很容易求出解.上述简单方程的一边只含有x的项而没有常数项,而另一边只有常数项而没有含x的项.所以,根据等式的性质 1,方程1两边同时加上2,即5x-2 2 =3x 4 2于是,得到一个新的方程5x=3x+62这个方程与原方程的解是相同的,称其为原方程的同解方程.再根据等式的性质1,方程2两边同时减去3x,即5x -3x =3x 6 -3x于是,得到与原方程同解的方程2x = 63将这个方程中未知数的系数化为1,得x = 3.将方程1与方程2

9、作比拟这个变形可以看作是把方程左边的常数项-2改变符号后,移到方程的右边.同样,将方程2与方程3作比拟5x- 3K4 6$走国=6这个变形又可以看作是把方程右边的含x的项3x改变符号后,移到方程的左边.这种变形叫做移项.移项法那么：把方程一边的项改变符号后移到方程的另一边,方程的解不变.求方程1的解的过程可以写为解：移项,得5x-3x = 4+2合并,得2x=6方程两边同除以2,把x的系数化为1,得x=3.例6、解以下方程x(1) . 7 =5 X2一、一 3 一 5(2) 6y_=4y_一44x(3) =3x -12(4) 4x -1 =4 -3x思路导航：在计算的过程中,一定要依据移项的法

10、那么求解.解答：1(1)移项,佝 7 5 = x x2 m 11合并,得2= x,即一x=222系数化为1,得x = 45 3(2)移项,付 6y-4y= 4 4合并,得2y =2系数化为1,得y =11(3)移项,得 1 =3x-x一一 55合并,得1 =-x ,即-x = 12系数化为1,得x =工5(4)移项,得 4x 3x = 4 1合并,得7x =55系数化为1,得x = ?7点津：移项的本质是利用了等式的性质1.通过移项和合并,我们把较复杂的一元一次方程变形为形如mx = n(m丰0)的简单方程.这种将复杂问题转化为简单问题的数学思想值得我们加以总结.知识点五 解一元一次方程(三)

11、去括号和去分母如果一元一次方程中含有括号,我们需要利用上一讲学习的去括号法那么,将括号去掉,再将其转化为较简单的形式,利用移项和合并,最终化为最简单的方程,从而求出方程的解.例7、解以下一元一次方程(1) 4x2=2(x+4)(2) 3(y -7) -29 -4(2 y) =22思路导航：当方程中含有括号时,将括号去掉,转化为较为简单的方程.解答：(1)去括号,得4x-2 =2x 8移项,得4x-2x=8 2合并,得2x =10系数化为1,得x = 5(2)去括号,得 3y 一21 一29 一84y =22再去括号,得 3y 一21 -18 16 8y =22移项,得 3y 8y =22 21

12、 18 -16合并,得11y = 45一 ,一 445系数化为1,得y =竺11点津：此例题比上一例题更为复杂,但是通过去括号可以将其转化为类似上一例题中较为简单 的形式,这也是利用了转化的方式.另外,在对形如 4(x -3)的式子进行去括号时,其实还是一个运用分配律的过程.有的方程未知数的系数是分数,而整数的运算比分数的运算简单、不容易出错.因此, 我们自然会想,有没有什么方法可以将分数化为整数这个方法就是利用等式的性质 2,在方程的左右两边同时乘以所有分母的公分母.1 . 2-X- =1 为例.4这里有三个分母,36其最小公倍数为12,在这个方程的左右两边同时乘以12,得x-2 12 -x

13、(-)12 =(1 一 )12436利用乘法分配律,x -212 -x12 - 12 =1 12 一 12436即 3(x -2) 4 =12 -2(2 -x)得到的这个方程就是上述我们能够解的简单方程了,解答过程如下:去括号,得 3x-6 4 =12-4 2x移项,得 3x-2x = 12-4 6-4合并,得x =10例8、解以下一元一次方程(1)3 -4x 5x24工g=1思路导航：要清楚去分母的依据和步骤.解答：(1)方程两边同时乘以 4,得2(3 -4x) =5x去括号,得6 -8x =5x移项,得6=5x 8x合并,得6=13x,即13x =6系数化为1,得x = 913(2)方程两

14、边同时乘以12,得3(x 2)2(43x)=12去括号,得3x-6-8 6x =12移项,得 3x 6x =12 6 8合并,得9x =26系数化为1,得x =269点津：去分母的过程,实际上就是将带分数的方程化为上述整数系数方程的过程.大家一定要总结其中的“转化思想.大家熟悉去分母的过程后就不必这样详细书写,只需写“去分母,得即可.知识点六 解一元一次方程的一般步骤5 -2v 10 -4v 2 -v为更全面地讨论问题,我们以 3 =4 + 为例,看看解有分数系5102数的一元一次方程的步骤.这个方程各分母的最小公倍数为10,方程两边同时乘以 10,于是方程变形为3 10-2(5-2y)=4

15、10 -(10 - 4y) 5(2 - y)需要注意的是,方程左右两边的每一项都要乘以10,谨防漏乘；分数线本身具有括号的作用,所以去分母后先把括号添上.我们用以下流程图表示具体解答过程：这个流程图显示了解一元一次方程的一般步骤.解方程就是要求出其中的未知数(比方 x),通过去分母、去括号、移项、合并、系数 化为1等步骤,就可以使一元一次方程逐步向着 x=a的简单形式转化,这个过程主要依据 了等式的性质和运算律等方法.例9、解万程思路导航：解答： 去分母,得去括号,得1-2x x 1 2x 1二 1 634依据上述解一元一次方程的步骤即可解决.2(1 -2x) 4(x 1) =12 -3(2x

16、 1)2-4x 4x 4=12-6x-3移项,得 6x-4x 4x =12-3-2-4合并,得6x =31系数化为1,得x =2点津：一定要清楚每一步的依据是什么；每一步都是将复杂的方程转化为简单方程的过程.四、知识提炼导图五、目标期望通过本讲的学习,希望同学们了解什么叫方程的解,掌握解一元一次方程的步骤,包括去分母、去括号、合并、系数化为1,不但要会算,而且还要知道为什么可以这样算.另一方面,希望同学们在解一元一次方程的过程中,体会由繁杂到简单的转化思想,这种转化思想将会一直伴随在我们的学习中.六、下讲预告虽然同学们在本讲学习了 一元一次方程的解法,从理论上大家可以解任意的一元一次方程了.但

17、是,大家一方面可能由于运算不熟练而在解题过程中出现很多错误；另一方面有的方程的结构决定了其可以简便计算,大家很可能由于没有见到过而解得比拟繁琐.这就是我们下一讲需要解决的主要问题.【同步练习】(做题时间：45分钟)1、火眼金睛：(1)对于成立的等式来说,以下说法错误的选项是()A.假设 a+c=b+c,那么 a = b B.假设ac=bc,那么 a = bC.假设一=,那么 a = bD.假设 ac = bc,那么 a = bc cx - 1(2)方程x =5的解为()2A. -9B. 3C. -3D. 9(3)与方程2x+1=3x2同解的方程是()A. 2x =3x-1C. 2x 3=3x

18、-4B.D.3x = 2x 312x -2=3x 1(4)什 3 - x ,(5 -2x).假设-1与的和为0,A. 7(5)一个个位是多98,那么原数是(A. 5442、对号入座：3B. 24的三位数, )那么x的值应为(C. 1D. 0如果把这个数 4换到最左边,所得的数比原数的3倍还B. 144C. 104D. 404(1)(2)(3)x=3是方程2x2 6x-4 = 4x+6,、i, 2x 1当=7时,方程33mx2m =4 的解,那么 m = 那么代数式2x23x+1的值是2x-5y =6中的y的值为(4)1 一2时,代数式g(12x)与代数式,(3x + 1)的值相等;(5)如果关

19、于x的方程3x+m = 1与2x + 3m = 2m + 2同解,那么 m =3、牛刀小试：(1)解以下方程x =2 -2 14.5 -2(x 3)5= 1.5x.2AzZ23 2x -1 2x1(2)如果方程式12与关于x的方程4x a =2(x + n)的解相同,求(n3)的值.10x 4= 1042、对号入座：,、 14(111于m的方程,得2 ) 36_2将x=3代入方程两边,应该相等,即2M32 -3mx3-2m = 4 ,解这个关14m =一.11由 6x4=4x+6,得 x = 5;将 x=5 代入 2x2 - 柒+ 1,得【试题答案】1、火眼金睛(1) D A项和B项中变形的依

20、据都是利用了等式性质1; C项中变形的依据是利用了等式性质2,由于C出现在条件的分母上,所以 c#0；而D项中的C可能会等于0,所以不 能两边同时除以Co(2) D 去分母,得2x_(x_1)=10;去括号,得2x x + 1=10;移项,得 2xx=101；合并,得 x = 9.(3) B 方法一是将题干和选项中的方程都解出来,看看哪个选项方程的解与题干方 程的解相同.方法二是将题干方程解出来,得 x = 3,然后将其代入选项中,看它是哪个选 项方程的解.方法三是利用等式性质1 (在这里是移项法那么),看题干方程能变形为哪个选项方程.3-x-(5 -2x)(4) A 由题忌,得1+匚=0.去

21、分母,得 3(3 x) 6 2(52x) = 0 ;23去括号,得 93x610+4x = 0;移项,得 4x3x = 10 + 69 ;合并,得 x=7.(5) C 方法一是将选项中的数一一进行验证.方法二是设原数去掉个位数字得到的41 9,8解得x = 10 ,所以原数为两位数为x ,那么依据题意,得400+x= 3(1仪+_2_2_2x 3x+1=2M5 -3父5+1=36.14 2x 1(3) 由于=7,所以x=10；将x=10代入方程2x5y = 6 ,得531420 - 5y = 6,解得 y = 一.5,、1 ,一 1、2,、(4) 一 由题意,得一(12x) =(3x+1)；去分母,得 7(12x) = 6(3x + 1)；去 3237