高中数学直线与圆的方程知识点总结

1、高中数学直线与圆的方程知识点总结公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高 中 数学 之直 线 与 圆 的 方程 一、概念理解：1、倾斜角：找。：直线向上方向、x轴正方向；平行：a=0° ；范围：0。W a 180° o2、斜率：找 k ： k=tan a（ a 关90° ）；垂直：斜率k不存在；范围：斜率k G R o3、斜率与坐标：k =-x2 X2-Xi构造直角三角形（数形结合）；斜率k值于两点先后顺序无关；注意下标的位置对应。4、直线与直线的位置关系：4：，=审+仿2：丁=&相交：斜率匕工心（前提是斜率都存在）

2、特例垂直时：1_Lx轴，即勺不存在，则&=0;2斜率都存在时：攵攵,=一1。1 平行：1斜率都存在时：kx =k2,bl b2 ；2斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。重合：斜率都存在时：勺=勺出=b2 ；二、方程与公式:1、直线的五个方程:点斜式：），-九=/7。）将已知点*。,%）与斜率攵直接带入即可；斜截式：y = kx+b将已知截距（00）与斜率直接带入即可；两点式：上'=,（其中将已知两点 为一, /一%''直接带入即可；截距式：- + = 1将已知截距坐标（”,0）,（0,2）直接带a b入即可；一般式：Ax+ By+C = 0 ,其中A、B不同时为

3、0用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：两点间距离：山刃=Ja占尸+（5%）2点到直线距离：414% +胡。：.平行直线间距离：”=e一0H +炉4中点、三分点坐标公式：已知两点从区,y）,8（不,出）AB中点即%）：（中，弓当 乙乙AB三分点（sM），S出）：（三卫士&）靠近A的三分点坐标（华也，丝也）靠近B的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。5.直线的对称性问题已知点关于已知直线的对称:设这个点为P (xo, yo)，对称后的点坐标 为

4、P' (x, y),则pp'的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp'的中点 坐标在已知直线上。三、解题指导与易错辨析：1、解析法(坐标法)：建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；依据代数关系(点在直线或曲线上)，进行有关代数运算，并 得出相关结果；将代数运算结果，翻译成儿何中“所求或所要证明2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：X目的最小值：找对称点再连直线，如右图扁5|物-|尸耳的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；|尸那+归邦的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称 轴”。3、直线必过点： 含有一个参数y=(a-l)x+2a+l =>

5、; y=(a-1) (x+2)+3令：x+2=0 => 必过点(-2, 3)含有两个参数(3m-n) x+ (m+2n) y-n=0 =>m(3x+y) +n(2y-x-l)=0令：3x+y=0、2y-x-l=0联立方程组求解=> 必过点(T/7, 3/7)4、易错辨析:讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时， 是否满足题意；<2斜率存在时，斜 率会有怎样关系。注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会 丢解；(求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。)直线到两定点距离相等，有两种情况：<1>直线与两定点所在直线平行；&l

6、t;2>直线过两定点的中点。圆的方程1 .定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中 定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.2 .圆的方程表示方法:第一种：圆的一般方程一一x2y2+Dx + Ey + F = O其中圆心当。2+七2-4尸>0时，方程表示一个圆,当。2+片_4/=0时，方程表示一个点当。2+e24FyO时，方程无图形.第二种：圆的标准方程(4-)2+(,-)二=r2 .其中点C(a)为圆心，r为半径的圆第三种：圆的参数方程一一圆的参数方程：P=7rcosf(8为参数)y = 0 + rsin 0注：圆的直径方程:已知 a*” 1 *(心,y2) n a

7、 f 1 )。-0)+(y I)(、-，2)=。3 .点和圆的位置关系：给定点M(x(),yo)及圆C:(x-a)2+(y-b)2=/，.M 在圆。内=(刀0-白)2+()，0-)2 Y/二M在圆。上=(工0-4)2+(丫0-犷=/ M 在圆。外= (X0-4)2+()，0-)2“二4 .直线和圆的位置关系：设圆圆 C： (x-a)2+(y-b)=r2(rO); 直线/ : Ax + By + C = 0(A2 +B0);圆心c(a)到直线，的距离d = 丁.d = r时，/与C相切；八广时，/与。相交；，dA/时，/与C相离.5、圆的切线方程：一般方程若点(为 , %)在圆上，则(x - a

8、) U - a) + (y - b)(必-b)=".特别地,过圆！+y2=/2上一点p&o,y0)的切线方程为X(L ="(注: 该点在圆上，则切线方程只有一条)yy（）=k（XL"）若点（X。，%）不在圆上，圆心为（a,b）则0-町）|,联立求出2 =K =-切线方程.（注：过圆外的点引切线必定有两条，若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。）6 .圆系方程：过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：Ci: x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0G: x'+y'+D=x+Eny+FkO则过两圆的交点圆方程可设为：x：+y

9、-+Dix+Eiy+Fi+入（x?+y+D = x+E = y+F?） =0过两圆的交点的直线方程：xyDiX+E-y+Fi- x2+y:+D2x+E2y+F2=0 （两圆的方程相减得到的方程就是直线方程）7 .与圆有关的计算：弦长的计算：AB=2*VR:-d:其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离AB= （ Vl+k:） * | Xx-X2 |其中k是直线的斜率，X1与先是直线与圆的方程联立之后得到的两个根过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线圆内的最长弦是直径8 .圆的一些最值问题圆上的点到直线的最短距离二圆心到直线的距离减去半径 圆上的点到直线的最长距离二圆心到直线的距离加上半径假

10、设P （x, y）是在某个圆上的动点，则（x-a） / （y-b）的最值可以 转化为圆上的点与该点（a, b）的斜率问题，即先求过该 定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。假设P （x, y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化 为：设T=x+y或T=x-y,在圆上找到点（X, Y）使得以y=x+T 或y=x-T在Y轴上的截距最值化。9 .圆的对称问题已知圆关于己知的直线对称，则对称后的圆半径与己知圆半径是相等 的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标圆锥曲线椭圆椭圆：平面

11、内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合1、定义：|西|+|天司="（2|朋|）第二定义：2、标准方程：二 + 二=1（4力0）或二十=1（。0）； lrcr y3、参数方程" = ：c°sf（e为参数）。几何意义：离心角y =hsin04、几何性质：（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质）、顶点（±4 0）,（0,功）、焦点（土c,0）、离心率e = £（0<ev 1） a准线：x = ±（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出） C5、焦点三角形面积：5?=/r.tan-（设/耳尸工=6）（推导过程必须

12、2会）6、椭圆面积:S橇=7t a,b （了解即可）7、直线与椭圆位置关系：相离（V。）；相交（>（）；相切（A = 0）判定方法：直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数8、椭圆切线的求法1）切点（/打）己知时，£ + 4 = 1（4>a>0）切线警+ ¥ = 1lrb->o）切线警+警句cc b-cr lr2）切线斜率k已知时，二+二=13>>0） 切线/ry = kx± ）a2k2 +h222二 十 二=1（。>>0）切线cr ry = kx± Jb2 k2 +（9、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

13、a ± exQ （左加右减） a+ = (a >b>0) cr b-a±eyQ （下加上减）双曲线1、定义：归用|尸母=土为 第二定义：T = e = （e>l）222、标准方程：-二= l（a>0,b>0）（焦点在x轴） cr r22工一匚=1（。>0>0）（焦点在y轴） cr b一参数方程："=（8为参数）用法：可设曲线上任一点y = b- tan03、儿何性质顶点（±4,0）焦点（土c,O）c2=（r+b2离心率e = £ e > 1 a准线x±e c渐近线二-、=1（“>0

14、,>0）y = ±纥或_二=0v. 厂-7 = 1(。> 0,Z? > 0)十y2 x2 八 y = ±一x 或 r =o-I、a tr h4、特殊双曲线、等轴双曲线:-二=1e = 渐近线y = ±x、双曲线£E=i的共桅双曲线工E=_i a- lrtr性质L双曲线与其共腕双曲线有共同渐近线性质2：双曲线与其共枕双曲线的四个焦点在同一圆上5、直线与双曲线的位置关系相离（）；相切（ = （）；相交（）判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起 = 0时可以是相交也可以是相切6、焦半径公式22二-二= 1（。,% 0） 点P在右支上r

15、= ex0 ±a （左加右减） cr点P在左支上r = -（ex0±a）（左加右减）22-1 = 1（点P在上支上r = evo±。（下加上减）cr b点P在上支上r = -（ey0±a）（下加上减）7、双曲线切线的求法切点P（Xo，X）已知二-2=1伍0/0）切线a bv yy _ ia2 b222:一;=1（0力0）切线cr irv = 1a1 b2切线斜率k己知 4-4=1 cr ry = kx±yja2k2 -b- （|A:| >）8、焦点三角形面积：S =b2 - cot （8为N”PA）A ） 22B -抛物线1、定义：平面内

16、与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）2、几何性质:P几何意义:焦准距标准方程：y2 =2/?xp? >0）图像范 围："文»® 4对称轴：X轴顶 点：（0, 0）焦 点：（上,0） 2离心率：e = 准 线：x=- 2标准方程：/ = 2py（ > 0）图质:/范围 Y'） > 01 对称轴：y轴定点：（0,0）焦点：（0,C）2离心率：6 = 1焦点到准线的距离设为Py2 =-2/?%(/? >0) B f J " r1X轴(0, 0)(-乙。)2e = xJ2x2 =-2/?y(/?>0) ? 

17、3; 厂、y轴(0, 0)(0，-§)e = 准 线： y = -），=已223、参数方程'2Pt （t为参数方程）U>=2px（p>0），=2/"4、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦椭圆：双曲线通径长至抛物线通径长2Pa5、直线与抛物线的位置关系1）相交（有两个交点或一个交点）2）相切（有一个交点）；3）相离（没有交点）6、抛物线切线的求法1）切点 PA,打）已知：=2n>0）的切线；yoy = p（x+xo'）2）切线斜率 K 已知：y2 =2px（p >0）:y = kx + 2k此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用

18、附加：弦长公式：y =履+方与曲线交与两点A、B则解题指导：轨迹问题：（一）求轨迹的步骤1、建模：设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点P （x, y）2、立式：写出适条件的p点的集合3、代换：用坐标表示集合列出方程式f （x, y） =04、化简：化成简单形式，并找出限制条件5、证明：以方程的解为坐标的点在曲线上（二）求轨迹的方法1、直接法：求谁设谁，按五步去直接求出轨迹2、定义法：利用已知或儿何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、 抛物线的定义3、转移代入法：适用于一个动点随另一曲线上的动点变化问题4、交轨法：适用于求两条动直线交点的轨迹问题。用一个变量分别 表示两条动直线，然后联立，消去变量

19、即可。5、参数法：用一个变量分别表示所求轨迹上任一点的横坐标和纵坐 标，联立消参。6、同一法：利用两种思维分别求出同一条直线，再参考参数法，找 到轨迹方程。弦长问题：AB ； = 7(l + k2)l0vi+x2)2-4A1x2 o弦的中点问题：中点坐标公式注意应用判别式。I.求曲线的方程1 .曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决。例1 (1994年全国)已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴 ±o若点A (-1, 0)和点B (0, 8)关于L的对称点都在C上，求直线L 和抛物线C的方程。分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。设出它们的方程，L： y=k

20、x (kO), C: y-=2px (p>0).设A、B关于L的对称点分别为A、B，则利用对称性可求得它们的坐 标分别为:, B'(旦、丝上D)。因为A、B均在抛物线上，代公+1 K+lK+1 K+1入，消去P，得：k'-k-lR.解得：k二匕虫，P二口 25所以直线L的方程为：y二上五为抛物线C的方程为y三至x. 252 .曲线的形状未知求轨迹方程例3 (1994年全国)已知直角坐标平面上点Q (2, 0)和圆C： x2+y2=l,动点M到圆C的切线长与|MQ| 的比等于常数X(2>0)，求动点M的轨迹方 程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设MN切圆C于点N,则

21、动点M组成的集合是：P=M| |MN| = 2|MQ ,由平面几何知识可知:MN|2=|M0|2- 0N|2=|M0 2-1, 将 M 点坐标代入，可得：(l2-l)(x2+y2)-422x+(l+422)=0.当4=1时它表示一条直线；当 W1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。口 .研究圆锥曲线有关的问题1 .有关最值问题例6 (1990年全国)设椭圆中心为坐标原点，长轴在X上，离心率，已知点P(0, 1) 2到这个椭圆上的点的最远距离是求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于、方的点的坐标。分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。设椭圆方程为£ + 3 = 1,则由e二三得：a2=4b2,所以4b二-4/ b-2设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则：PQ1 =+(y-|)2 =,加-4>-2 +(y-|)2 = -3y2 -3y + 4b2(-b<y<b).若则-当尸-b时 22PQ 皿二 J 3从 一 3% + 4/ +、= , 2 - 3% + (=.解得：b=近->与矛盾；若则当y=-1时 2 2222PQ ； s= J4b2 +3 =币,解得:b= 1, a=2.2 .有关范围问题例7