高中数学秒杀型推论

1、高中数学秒杀型推论一.函数1 .抽象函数的周期(1) f (a± x)=f(b ± x) T= |b-a |(2) f (a±x)=-f(b ± x) T=2 |b-a |(3) f(x-a)+f(x+a)=f(x) T=6a(4) f(x-a)=f(x+a)T=2a(5) f(x+a)=-f(x)T=2a2 .奇偶函数概念的推广及其周期：(1)对于函数f (x),若存在常数a,使得f (a-x ) =f (a+x), 则称f (x)为广义(I)型偶函数，且当有两个相异实数a,b同时满足时，f (x)为周期函数T=2|b-a|(2)若 f (a-x) =

2、-f (a+x),则 f (x)是广义(I )型奇 函数，当有两个相异实数 a, b同时满足时，f (x)为周期 函数 T=2|b-a |3 .抽象函数的对称性(1)若 f (x)满足 f (a+x) +f (b-x) =ca + b c则函数关于(2,2)成中心对称(充要)(2)若 f (x)满足 f (a+x) =f (b-x) a + b)则函数关于直线x= 2成轴对称(充要)请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注!4 .洛必达法则，设连续可导函数f(x)和g(x)f(x) F(x) lim -=f (x) -og(x) g'(x) 2 00 Tof(x) F(x) lim

3、-=f (K) T8 g(X)gr(X)、三角1.三角形恒等式4 B B C C A tantan + tantan + tantan = 1 (1)在中，222222cot/cotB + cotBcotC + cotCcotA = 1(2) 正切定理 寐切定理：在非Rt 中，有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot+ cot + cot = co乙乙乙ABC tcotcot- 乙 乙 乙(3)ABC sinA + sinB + sinC = 4coscoscosL 乙 UABC cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin sin-sin-UUb(4)2

4、 .2f 2-e -sin A + sin B + sin C = 2 + 2cosAcosBcosC2 A2n2c.e . c Ccos A + cos B + cos C = 1 - 2cosAcosBcosC(5)'sinAcosBc 口 sC =eyesinAcosBcosC + sinBcosAcosC 十 sinCcosAcos B =sinAsinBsinCcosAsinBsinC = eyecosAsinBsinC + cosBsinAsinC + cosCsinAsinB =cos Acos BcosC - 12 .任意三角形射影定理（又称第一余弦定理） a= bco

5、sC+ ccosB; b= ccosA + acosC; c=acosB+ bcosA2S3 .任意三角形内切圆半径 r=a + b+c （S为面积），abc a b c外接圆半径4S 2sinA 2sinB 2sinC欧拉不等式：R>2r4 .梅涅劳斯定理如下图，E.D.F三点共线的充要条件是CE AF BDEAXFBXDC = 15.塞瓦定理如下图，AD BE CF三线共点的充要条件是AFBDCEV V FB DC EAA6.斯特瓦尔特定理：如下图，设已知 ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB2 x DC+AC x BD-AD2 x BC= BCX DCX BD7、和差化积

6、公式（只记忆第一条）a + p a-psin a +sin B =2sin c cos - a + p a-0sin a -sin B =2cos - sin - a+ P a - Pj7cos a +cos B =2cos COs -口 + 3 a - pcos 民-cos B =-2sin S sin 2 8、积化和差公式cos (a + p) - cos(a - 0)sin a sin B =-cos (a + 巾 + 8s (a - p) cos a cos B =2sin(a + p) + sin (a - p) sin a cos B =2sin(a + p) - sin(a -

7、p)cos a sin B 二9、万能公式标 92tansin 0 =-1 + tan; 一21- tarr 一9cosg =1 + tan-2、e2tan -tan 0 =2_10 .三角混合不等式：若 xS (0, 2),sinx vxvtanx当 x-0 时 sinx 纪 x * tanx11 .海伦公式变式如下图，图中的圆为大三角形的内切圆，大三角形三边长分别为a.b.c ,大三角形面积为S = xyz (x 4- y + ?) =(a 4 b + b - c)(a + c - b)(h + c - a)12.双曲函数定义双曲正弦函数sinhx=,双曲余弦函数coshx=易知(1)奇偶

8、性:sinhx为奇函数，coshx为偶函数(2)导函数:(sinhx) =coshx, (coshx)=sinhx(3)两角和:sinh(x+y) =sinhxcoshy+coshxsinhycosh(x+y) =coshxcoshy+sinhxsinhy(4)复数域:sinh(ix ) =isin (x)cosh(ix ) =icos (x)(5)定义域:xS R(6)值域：sinhx 6R, coshx 6 1 , +°0) ACtan-tan-=13 .三角形三边a.b.c成等差数列，则14 .三角形不等式(1)在锐角中,sinA + sinB + sinC > cosA

9、 + cosB + cosC，anA + tanB + tanC > cotA + cotB + cotC222c.ccc(2)在中，x +y +z > ZyzcosA + ZxzcosB + ZzycosC(3)在中，sinA>sinB 今cos2A>cos2B15 . ASA的面积公式：222a sinBsinC b sin Asin Cc sinAsinB2sin ( B + C) 2sin (A + C) 2sin (A + B)三、复数1 .欧拉公式(泰勒级数推由) 八.一 八 _i ecos 0 +isin 0 =e2 .棣莫弗定理(欧拉公式推由)(cos

10、0 +isin 0 ) n=cos(n 0 )+isin(n 0 )3 .复数模不等式(三角不等式)IZ1+Z2+A +Zn|< |Zi| + |Z2+A +忆n|当且仅当所有复数幅角主值相等时等号成立4 L-z+ a+z = 2 (|小+忆) I .5 .复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)四、数列(所有通过递推关系得由通项后都要检验首项)1 .A n+1=kA n+f(n) ?、两边同除以kn+1,构造数列 " ,通过累加法得由通项公式2 . An+i=kAn+C设一常数 x, An+1+x=k (An+x)An+1 =kA n+ (

11、k-1) xC( + x则(k-1) x=C,求生x=kl,得到等比数列 41-1 + X,公比为k3 .不动点法：b4 J c形如4+1/熊+ ' (d + 0,当d=0时，则是第二种情况), bx + d bx + c设函数f(x尸dx + e, x=dx + e的根称为f(x)的不动点，a一 一, “一一 A -G I(1)若函数f (x)有2个不动点a, B 则数列,P是f4/b-ad n- ():一个等比数列，AnA-Pi-P 6-Pd , An=£T1(2)若函数f (x)只有一个不动点a 则数列4”数一1d+ (n - 1)个等差数列，A* 一°b-d

12、(3)若函数f (x)没有不动点，则数列An是周期数歹U,周期自己找4 .特征方程法：形如A+2=pA+i+qA称为二阶递推数列，我们可以用它的特征方程x2-px-q=0的根来求它的通项公式(1)若方程有两根x1, x2,则4=1版1+2付(U,入可根据题目确定)(2)若只有一个根x0An=(k Jn)x 0n-1 (凡入可根据题目确定)5 .变系数一阶递推数列?二1二一：ofJ =/() 口典=眄+Z畀二】2 1 1/(。四、不等式1 .权方和不等式(赫德尔不等式推由)川 + i pm + l(A + B+ A) m+1771 y(x + y + A ) mF+ 八 >4 B当且仅当一

13、=一=八时，等号成立 x y2 .黎曼和-定积分不等式级数与定积分之间的关系 设可积函数f(x)当f(x)为减时,当f(x)为增时, 3.琴生不等式f + f(x)dxW*f(x)J f(x)dxA£f(x)1 1函数的平均数与平均数的函数之间的关系 当f(x)为凹函数，即f' '(x) >0时f(xj + f(x2) + 八 + f(O) 马 + + A + />fc nn当f(x)为凸函数，即f' '(x) <0时f(xj + f(x2) + 八 + f(x7i) 马 + + A + /当且仅当 xi=x2=A =xn时，等号成立

14、4.卡尔松不等式5.排序不等式当|11 W n £二打后如W y屋W %时, 甘小勺表示x的任意一项以上可概括为 顺序和A乱序和A倒序和5 .切比雪夫总和不等式(排序不等式推由) 当an与bn逆序时(的氏+-+ /&),(的+ *+ %)当an与bn顺序时 不等式反向6 .舒尔不等式(Schur不等式)+z (z-x ) (z-y) > 0xt (x-y ) (x-z ) +yt (y-x ) (y-z )当x=y=z时，等号成立 酉己Schur法(Schur分拆法)三元齐三次对称轮换式f(x,y,z) > 0的充要条件是但= f(OjO,l) 20b = f(0

15、,l/)之0c = f(l,U)>0因为7 x (x - y)(x - z) f(x,y,z尸a乙 ，八 '+b£ (y + z)(x-yXx-z)+cxyz三元齐四次对称轮换式f(x,y,z) > 0的充要条件是a = f(0,0,l) >0b = f(04,l) >0c = -> 0c-f (1, 0, 1)d = a H；> 04因为f(x,y,z尸(x-y) (x - z) + bx(y + z)(x - y)(x - z) + c 2yz(x - y)(x - z) + dxyz(x + y + z)三元齐五次对称轮换式f(x,y

16、,z) > 0的充要条件是a = f(OAl) > 0 f(LLO) b = 2 (1 + i) 0 f(LLO) c = > 0Li)i + 8b + e- 2a d=->07(144)八e => 0因为f(x,y,z)=(y + z) (x-y) (x- z) + ca£x3 (x-y) (x - z) + bXx2£yz(y + z)(x- y)(x -z) + dxyz £ (x-y) (x-z) + exyz(xy +yz + zx)7 .常用对数不等式当x-1时,x1 +x< In (x + 1) < x1 +

17、x工e < x + 1 < e当且仅当x=0时等号成立8 .伯努利不等式当xA-1 , n>0时或n为正偶数，xS R时(1+x) n> 1+nx当n=0或1,或x=0时等号成立9 . uvw法和pqr法(解决三元对称轮换式)uvw法：令 a+b+c=3u,ab+bc+ca=3v 2,abc=w3,得到新不等式 pqr 法：令 a+b+c=p ,ab+bc+ca=q ,abc=r ,得到I新不等式 当a.b.c为非负实数时，用 uvw法；当a,b,c 6 R时，用pqr法10.SOS法(配方法)不解释11.拉格朗日乘数法(解决条件极值问题)已知 f(x,y,z)=0,求

18、 F (x,y,z )的极值构造拉格朗日函数 L=F (x,y,z ) +入f(x,y,z)对F (x,y,z )分别关于x,y,z ,入求偏导，得到四元方程组， 其中对F (x,y,z )关于入求偏导所得方程即f(x,y,z)=0解四元方程组所得解，即 F (x,y,z )的极值点，从而算由极 值。由拉格朗日乘数法可知，所有对称轮换式的极值在x=y=z时取到请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注!12.拉格朗日乘数法推论（拉格朗日乘数法得到）已知x, y, z 6 a,b,对称轮换式F （x,y,z ）的极值在x 二 ay = b/ =孙（%为当' =2,丫 = 1）时/的值）

19、I=和x=y=z时取到13.已知a.b.c为正实数，且a+b+c=k，求证a06 + P，bc工工证明：k=a+b+c=azy Jz 2/7 J? 2k（云）b+ （五） + c>-aVab + vbc整理即得所求不等式14.曷平均不等式（q1 + A + q）a. + A + an >1 nn当且仅当a二A=an时等号成立当n>0时，+一尸 V- - 1当n> 1时.16.11111< <n n + 1 n2 n-1 n17.双绝对值函数图像4丁=卜_4_卜_4口方0)18. a.b为正数6. r-f/ - y-b =jhm + n . m + nm r

20、nn. m当 mn>0时，"+b>a b +a bm + n jm + n. m r nn. m当 mn<0时，"+b<a b +a b五、排列组合1.隔板法IxilTl - 1把n个元素放到m个集合中，所得集合均非空，则有门- 1种- 1X1+X2+A +xm=n的正整数解个数为12 .隔板法II把n个元素放到m个集合中，所得集合可为空，则有Lm +口-1种X1+X2+A +xm=n的非负整数解个数为m + n - 1r m T(aiXl+32X2+A +anXm) n 展开式的项数为“m+n-l3 .圆排列从n个元素中抽取 m个元素，按照一定的顺

21、序排列成一圈,叫做一个圆排列，圆排列的个数 八月一2 一4 .重复组合从n个元素中抽取 m个元素，元素可以重复选取，不管顺序,m m组成一组，叫重复组合，重复组合个数 nh -Lm + n-l5 .组合恒等式(只例举了最简洁的四个)1C卜广k - 1kCn = nCn-l组合数的聚合性：署：；=M十味- nik k n n - m6 .从互不相同的n个非零数字中任取 m个，所得m位数之和松外（10 -1） 为 S, S=,其中万为n个非零数字的算术平均数7 . (ax+by) n展开式中，第k项系数绝对值最大，则r bk = t , iLi（n +1）+1其中口表示高斯函数，即取整函数六、解析

22、几何epp =1.圆锥曲线统一极坐标方程1-ecosH2epL 222 .圆锥曲线统一焦点弦长公式1 i 8S ellxl %SABC= 2 当 1X3 % U3 . A （xi, yi）, B（X2, y2）, C（X3, y3）,当且仅当Saae?c 二 °时，三点共线4 . A （xi, yi）, B（X2, y2）, C（X3, y）D（X4, y4）四点共圆的充要条件x；十y： x* yA 1天口+丫 xk yh 二0Xu+Yc Yc 1“口+丫口Yu15 .A iX+Biy+Ciz=0 A2X+B2y+C2z=0 A 3X+B3y+C3z=0 三线共点的充心 B qi6

23、%7 %，3要条件=06 .过（X0, y0）引圆锥曲线F（X,y ）的弦，弦中点的轨迹方程为 y-y o=F (x,y ) (x-x 0),当(x% yo)为弦中点时，弦中点轨迹方程为y-y 0=F' (x0,y。(x-x 0)7 .定比分点公式：(2)yi+y2L=xi+x2+p2p (1 +1)2 7 k(当一为)= IA ( xa , yA) , B ( xb , yB) , AB的入+1等分点坐标为 xa + Xxb力+入卜Hy2p(5)个10.圆锥曲线焦点弦性质(通性)：焦点弦长为L,(1)已知X1+X2时，椭圆：L=2a-e(X1+X2)双曲线：L=et+”22a抛物线：

24、L="i + '/+p (2)已知焦点弦倾斜角°时，2epL" -(3)椭圆、抛物线、双曲线(焦点弦端点在同支)焦点弦 的两个焦半径倒数之和为常数1 12AFa IbfJ ep双曲线(焦点弦端点在异支)焦点弦的两个焦半径倒数之差 为常数扃-赢号(4)圆锥曲线正交焦点弦倒数之和为常数11|2 - e2|丽+正可二 2ep(5)圆锥曲线焦点弦 AB的中垂线于对称轴(标准方程中为e小、丁 |DF|与|月8|之比为万x轴)于D,2DF e|AB| = 2(6)圆锥曲线内，最长的焦点弦为通径b2有心圆锥曲线：通径长=29无心圆锥曲线:通径长=2p11 .圆锥曲线的焦

25、半径(通性)(1)极点为焦点，极轴为 x轴的圆锥曲线极坐标方程 式中的p为极径，即焦半径，e为极角_ 叩P 1 - e * cos0(2)已知焦半径端点的横坐标x时眄网:P = a - ex双曲练p = e|x| -a抛物线:Pp - 2+Ixl12 .双焦点三角形面积:F1.F2为有心圆锥曲线两焦点P为椭圆上一个点，P为双曲线上一个点,29APF、F? =人 tano i£a2 e= b cot213 .圆锥曲线哥定理:22圆锥曲线 F (x,y )三Ax+By+Dx+Ey+F=0与一条过 M(X0, yo),且倾斜角为。的直线L交于P1.P2两点，则f(。，y0) 西 MP2=A

26、cos7Acos 0 + Bsin 66 + Bsin%22Ax) + Bz0 + Dx0 + Ey0 + F14.点P (xo, y。)对圆锥曲线 C引两条切线，连结切点所得线为切点弦(极线),或点P (x。，y。)为切点，则极线方程(1)若C为椭圆，4(2)若C为双曲线，(3)若C为抛物线，或切线方程为F+TT=1 bxox yQy= 1a b,0y = p (x + x0)15.已知有心圆锥曲线F (x,y ),直线 l : f(x,y) , p 是 l 上一点，射线OP交圆锥曲线于点 R,又点Q在OB上，且满足 2OQOP = OR，当p在上移动时，Q的轨迹方程即为F (x,y ) =

27、f(x,y)16 .曲线族F (x,y,t )的包络为F (x,y,t ) =/(x,y,t)=o17 . A(xi,yi), B(X2, y2),以AB为直径的圆的方程为 (x-x。(x-x 2) + (y-y i) (y-y 2) =018 .关于双曲线渐近线：(1)共辗双曲线：实轴与虚轴对换，有相同渐近线，四焦点共圆，1 1 +=1离心率的倒数平方和为1: ；-(2)焦点到渐近线距离为虚半轴长b1 a=sec-a 2 cos-CS) 若两渐近线夹角为 则双曲线离心率 e= 22f 2a b22(4)双曲线上任意一点到两渐近线距离之积为常数。+b(5)过双曲线上任意一点M作平行于实轴的直线

28、交两渐近2线于 P.Q,则= q19 .过有心圆锥曲线上一定点P (x。，y。)作倾斜角互补的两直线与有心圆锥曲线的另两交点A.B的连线的斜率为定值过无心圆锥曲线上上一定点P（X0, y0）作倾斜角互补的两直线与无心圆锥曲线的另两交点A.B的连线的斜率为定值以上情况中，/ APB的角平分线x=xo平行于y轴，A APB的 内切圆圆心恒过直线 X=X0.20 .圆锥曲线光学性质：椭圆：由一焦点生发的光线经椭圆反射后必过另一焦点双曲线：由一焦点生发的光线经双曲线反射后的反向延长线必过另一焦点抛物线：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点；过 焦点的光线经抛物线反射后必平行于对称轴21 .有心圆锥

29、曲线的两焦点到任一切线的距离积为定值，且 定值为b222 .椭圆上动点对直径端点连线的斜率积=椭圆切线的斜率x切点与中心连线的斜率=椭圆弦斜率x弦中点与中心连线 b2的斜率=J双曲线上动点对直径端点连线的斜率积=双曲线切线的斜率X切点与中心连线的斜率 =双曲线弦斜率X弦中点与中心 b2连线的斜率=23 .抛物线y2=2px内接RtAOAE3（以O为直角顶点），A （xi, 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！yi) B(X2, y2)(1) xiX2=4p2, yiy2=-4p 2(2) AB恒过顶点(2p,0)(3) AB中点轨迹方程 y2=p (x-2p)(4) AB边上高的垂足

30、轨迹方程(x-p ) 2+y2=p212(5) ( SaOAE3) min=(乙)min=4P24.对于极坐标方程|p = f(8),从e i到e 2,曲线所围成的面1为 2- F(6)d9积S=八对于极坐标方程p=f(O)，从e 1至U e 2,曲线所积生的长度f#7 (6) d0L=储25.圆锥曲线上一弦 AB,其中点M(X0, y0), AB的斜率为(1)(2)请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注!(3)对于抛物线,f P kAB = Vo26.圆锥曲线上定点：圆锥曲线上有一定点P(X。，y。)，另有一直线L于圆锥曲线交于与P相异两点A.B.第一组:kp/kpB=入(入+第二组:1)2)3)1)2)3)恒过定点恒过定点恒过定点对于椭圆，22Aa + b(220*Aa-b22Aa -b(2 72XOtAa + b2P（/一1-' _y。）kpA+kpB=入(入+0)时恒过定点恒过定点恒过定点22Aa + b2Aa - bL对于双曲线,22Aa - b2Aa + b对于抛物线,对于椭圆，22y。 2b z0(/丁，一Tf)