2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学理

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学理一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.(5分)已知集合A=-1，0，1，B=x|-1x1，则AB=()A.0B.-1，0C.0，1D.-1，0，1解析：A=-1，0，1，B=x|-1x1，AB=-1，0.答案：B2.(5分)在复平面内，复数(2-i)2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：复数(2-i)2=4-4i+i2=3-4i，复数对应的点(3，-4)，所以在复平面内，复数(2-i)2对应的点位于第四象限.答案：D.3.(5分)“=”是“曲线y=s

2、in(2x+)过坐标原点”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：=时，曲线y=sin(2x+)=-sin2x，过坐标原点.但是，曲线y=sin(2x+)过坐标原点，即O(0，0)在图象上，将(0，0)代入解析式整理即得sin=0，=k，kZ，不一定有=.故“=”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的充分而不必要条件.答案：A.4.(5分)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A.1B.C.D.解析：框图首先给变量i和S赋值0和1.执行，i=0+1=1；判断12不成立，执行，i=1+1=2；判断22成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为

3、.答案：C.5.(5分)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f(x)=()A.ex+1B.ex-1C.e-x+1D.e-x-1解析：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e-x，而函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的解析式为y=e-(x+1)=e-x-1.即f(x)=e-x-1.答案：D.6.(5分)若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为()A.y=2xB.C.D.解析：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=x.答案：B.

4、7.(5分)直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.B.2C.D.解析：抛物线x2=4y的焦点坐标为(0，1)，直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，直线l的方程为y=1，由 ，可得交点的横坐标分别为-2，2.直线l与抛物线围成的封闭图形面积为 =( x-)|=.答案：C.8.(5分)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0-2y0=2，求得m的取值范围是()A.B.C.D.解析：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m-2m+1，要求可行域包含直线y=x-1上的点，只要边界点(-m，1-2m)，在直

5、线y=x-1的上方，且(-m，m)在直线y=x-1的下方，故得不等式组，解之得：m-.答案：C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.(5分)在极坐标系中，点(2，)到直线sin=2的距离等于 .解析：在极坐标系中，点化为直角坐标为( ，1)，直线sin=2化为直角坐标方程为y=2，(，1)，到y=2的距离1，即为点到直线sin=2的距离1，答案：1.10.(5分)若等比数列an满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q= ；前n项和Sn= .解析：设等比数列an的公比为q，a2+a4=20，a3+a5=40，解得.=2n+1-2.答案：2，2n+1-2.11.(5分)如图，AB

6、为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD= ，AB= .解析：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x.PA为圆O的切线，PA2=PDPB，32=9x(9x+16x)，化为，.PD=9x=，PB=25x=5.AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，ABPA.=4.答案：，4.12.(5分)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一

7、组，分给4人，共有4=96种.答案：96.13.(5分)向量，在正方形网格中的位置如图所示，若，则=.解析：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得=(-1，1)，=(6，2)，=(-1，-3)，解之得=-2且=-因此，=4答案：414.(5分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .解析：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，CC1EF，又EF平面D1EF，CC1平面D1EF，CC1平面D1EF.直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离.过点C1作C1M

8、D1F，平面D1EF平面A1B1C1D1.C1M平面D1EF.过点M作MPEF交D1E于点P，则MPC1C.取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形.可得NP平面D1EF，在RtD1C1F中，C1MD1F=D1C1C1F，得=.点P到直线CC1的距离的最小值为.答案：三、解答题共6小题，共50分.解答应写出文字说明，演算步骤15.(13分)在ABC中，a=3，b=2，B=2A.()求cosA的值；()求c的值.解析：()由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值.()由条件利用余弦定理，解方程求得c的值.答案：()由条件在ABC中，a=3，B=2A，利用正弦定理可得 ，即=.解得

9、cosA=.()由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA，即 9=+c2-22c，即 c2-8c+15=0.解方程求得 c=5，或 c=3.当c=3时，此时a=c=3，根据B=2A，可得 B=90，A=C=45，ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去.综上，c=5.16.(13分)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.()求此人到达当日空气重度污染的概率；()设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数

10、学期望；()由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解析：()由题意此人随机选择某一天到达该城市且停留2天，因此他必须在3月1日至13日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2天属于重度污染，据此即可得到所求概率；()由题意可知X所有可能取值为0，1，2.由图可以看出在3月1日至14日属于优良天气的共有7天.当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气；当此人在3月3号，6号，7号，11号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天1不是优良天气1天是优良天气；当此人在3月1号，2号，12号，13号，这4天的某一天到达该

11、城市时，停留的2天都是优良天气根据以上分析即可得出P(X=0)，P(X=1)，p(x=2)及分布列与数学期望.()由图判断从3月5天开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大.答案：()设“此人到达当日空气重度污染”为事件A.因为此人随机选择某一天到达该城市且停留2天，因此他必须在3月1日至13日的某一天到达该城市，由图可以看出期间有2天属于重度污染，故P(A)=.()由题意可知X所有可能取值为0，1，2.由图可以看出在3月1日至14日属于优良天气的共有7天.当此人在3月4号，5号，8号，9号，10号这5天的某一天到达该城市时，停留的2天都不是优良天气，故P(X=0)=；当此人在3月3号

12、，6号，7号，11号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天中的1天不是优良天气1天是优良天气，故P(X=1)=；当此人在3月1号，2号，12号，13号，这4天的某一天到达该城市时，停留的2天都是优良天气，故P(X=2)=.故X的分布列如下.E(X)=.()由图判断从3月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，因此方差最大.17.(14分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C，AB=3，BC=5.()求证：AA1平面ABC；()求证二面角A1-BC1-B1的余弦值；()证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值.解析：(I

13、)利用AA1C1C是正方形，可得AA1AC，再利用面面垂直的性质即可证明；(II)利用勾股定理的逆定理可得ABAC.通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；(III)设点D的竖坐标为t，(0t4)，在平面BCC1B1中作DEBC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出.答案：(I)AA1C1C是正方形，AA1AC.又平面ABC平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1C=AC，AA1平面ABC.(II)由AC=4，BC=5，AB=3.AC2+AB2=BC2，ABAC.建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0，0，4)，B(0，3，0)，B1(0，3，4)，C1

14、(4，0，4)，.设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=(x2，y2，z2).则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，.，令x2=3，解得y2=4，z2=0，.=.二面角A1-BC1-B1的余弦值为.(III)设点D的竖坐标为t，(0t4)，在平面BCC1B1中作DEBC于E，可得D，=，=(0，3，-4)，解得t=.18.(13分)设l为曲线C：y=在点(1，0)处的切线.()求l的方程；()证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方.解析：()求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；()利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论.答案：()

15、l的斜率k=y|x=1=1l的方程为y=x-1，()令f(x)=x(x-1)-lnx，(x0)，曲线C在直线l的下方，即f(x)=x(x-1)-lnx0，则f(x)=2x-1-=，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，又f(1)=0，x(0，1)时，f(x)0，即x-1，x(1，+)时，f(x)0，即x-1，即除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方.19.(14分)已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.()当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；()当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.解析：(I)根据B的坐

16、标为(2，0)且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于.再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；(II)若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2-1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数.再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.答案：(I)四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点(2，0)，直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1，设A(1，t)，得，解之得t=(舍负)，A的坐标为(1，)，同理可得C的坐标为(1，-)，

17、因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|B0|=；(II)四边形OABC为菱形，|OA|=|OC|，设|OA|=|OC|=r(r1)，得A、C两点是圆x2+y2=r2，与椭圆的公共点，解之得=r2-1，设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=，或x1=且x2=-，当x1=x2=时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点(2，0)；若x1=且x2=-，则x1+x2=0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.20.(13分)已知an是由非

18、负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2的最小值记为Bn，dn=An-Bn.()若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an+4=an)，写出d1，d2，d3，d4的值；()设d是非负整数，证明：dn=-d(n=1，2，3)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；()证明：若a1=2，dn=1(n=1，2，3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.解析：()根据条件以及dn=An-Bn 的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值.()设d是非负整数，若an是公差为d的等差数列，则an=a1+(n-1)d，从而证得dn=An-Bn=-d，(n=1，2，3，4).若dn=An-Bn=-d，(n=1，2，3，4).可得an是一个不减的数列，求得dn=An-Bn=-d，即 an+1-an=d，即an是公差为d的等差数列，命题得证.()若a1=2，dn=1(n=1，2，3，)，则an的项不能等于零，再用反证法得到an的项不能超过2，从而证得命题.答案：()若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列，d1=A1-B1=