2019年高考数学一轮复习第7章立体几何第2节空间图形的基本关系与公理学案理北师大版

1、第二节 空间图形的基本关系与公理考纲传真（教师用书独具）1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2. 了解可以作为推理依据的公理和定理 3 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.双基自主测评I梳理自测巩固基础知识梳理自测巩固基础知识（对应学生用书第 108 页）基础知识填充1.空间图形的公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这I（即直线在平面内）.（5）等角定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.2空间点、直线、平面之间的位置关系（1）公理个平面内公理2:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（即可以确定一个

2、平公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.（4）公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行.推论推论推理1:经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.2:经过两条相交直线，有且只有一个平面.3:经过两条平行直线，有且只有一个平面.233.异面直线所成的角（1）定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点0作直线a/a,b/b,把a与b所成的锐角（或直角）叫作异面直线a与b所成的角.1.唯一性定理过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.2.异面直线的判定定

3、理线.相交的三条直线最多可以确定三个平面.答案（1）X2.（教材改编）如图 7-2-1 所示，在正方体ABCDABCD中，E F分别是AB AD的中点, 则异面直线BC与EF所成的角的大小为（ftA.30B.45C.60D.90C 连接BD,DC图略），则BD/EF,故/DBC为所求的角，又BD=BC= DC,系语言直线（2）范围:知识拓展(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.91.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“”两个平面a,3有一个公共点 A,就说(1)基本能力自测相交于过A点的任意一条直如果两个平面有三个公

4、共点，则这两个平面重合.若直线a不平行于平面a,且a7a,则a、）V（3）X（4）X内的所有直线与a异面.（0,)C1图 7-2-14:丄DBC= 60.3.在下列命题中，不是公理的是（）A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A A 不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B, C, D 是平面的基本性质公理.4.已知直线a和平面a,3,aQB=l, a?a,a?B,且a在a, 3内的射影分别为直线

5、b和c,则直线b和c的位置关系是（）A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面D 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面. 5.（2016 山东高考）已知直线a,b分别在两个不同的平面a,3内，则“直线a和直线b相交”是“平面a和平面3相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A 由题意知 a-a,b三二3,若a, b相交，则a,b有公共点，从而a,3有 公共点，可得出a,3相交；反之，若a,3相交，则a,b的位置关系可能为 平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面a和平面3相交”的充分不必要条件.故选 A.

6、题型分类突破I典例剖析探求规律方法典例剖析探求规律方法（对应学生用书第 109 页）las il平面的基本性质及应用卜例！1如图 7-2-2，正方体ABCEAiBiCD中，E, F分别是AB和AA的中点.求证:5图 7-2-2（1）E,C, D,F四点共面；（2）CE DF,DA三线共点.证明（1）如图，连接EF, CD, AB. E, F分别是AB AA的中点，6 EF/ BA.又 AB/ DC,：EF/ CD,E, C, D,F四点共面.(2)TEF/CD,EFCD,2.证明点共线问题的常用方法1 基本性质法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质 这些点都在这两个平面的

7、交线上.2 纳入直线法：选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上.3.证明三线共点问题常用的方法： 先证其中两条直线交于一点， 再证交点在第三条直线上跟踪训练如图 7-2-3 ,空间四边形ABCD中 ,E, F分别是AB AD的中点，G H分别在CE与DF必相交，设交点为P,则由P直线CE CE平面ABCD得P平面同理P平面ADDAi.又平面ABCD平面ADDAi=DAP直线DA - CE DF,DA三线共点.规律方法1.证明线共面或点共面的常用方法1 直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面N 气2 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法：先证明有关的

8、点、线确定平面a,再证明其余元素确定平面3,最后证明平面a,3重合.3 证明7BC CD上 ,且BG：GC= DH：HC=1 : 2.(1)求证：E,F,G H四面共面；设EG与FH交于点P,求证：P, A, C三点共线.8证明因为E, F分别为AB, AD的中点,所以EF/ BD亠 一BG DH1心BCD中,GC HC=2,所以GH/ BD,所以EF/ GH所以E, F,G H四点共面.(2)因为EGn FH= P, PEG EG平面ABC所以P平面ABC同理P平面ADC所以P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABCH平面ADC= AC所以PAC所以P, A, C三点共线.SAC的重心

9、，则直线GG与BC的位置关系是(1) D (2)B (1)由于Am,Aa ,n?a ,则有m与a相交，而n亠a ,那么空间两直线的位置关系(1)(2018a ,n土a-东北三省三校二联)a是一个平面，m n是两条直线,A是一个点.若,且AmAa，则m n的位置关系不可能是(【导学号：79140224】A.垂直B.相交C. 异面D.平行(2)(2017河北邯郸调研)如图7-2-4，在三棱锥S-ABC中,G,G分别是SAB和A.相交B. 平行C. 异面D. 以上都有可能图 7-2-49m n的位置关系只可能是相交（包括垂直）或异面，不可能平行，故选 D.（2）连接SG并延长交AB于M连接SG并延长

10、交AC于N,连接MN图略）由题意知2 2SMSAB的中线，且SG= 3SM SN为ASAC的中线，且SG=3SN在SMN中 ,易知M是ABC的中位线，MN/ BC因此可得GG/BC,即直线GG与BC的位置关系是平行故选B.跟踪训练 如图 7-2-5 ,在正方休ABCDABCD中,M N分别为棱CD,CC的中点, 以下四个结论：1直线AM与CC是相交直线;2直线AM与BN是平行直线;3直线BN与MB是异面直线;4直线AM与DD是异面直线.其中正确的结论的序号为直线AM与CC是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,所以错误.点B,B,N在平面BBC C中，点M在此平面外，所以BN MB是异面直线同

11、理AMDD也是异面直线.异面直线所成的角SG SGSM=丽GG/MN规律方法判定方法异面直集：直接法或反证法平行直线：可利用中位线性 质、公理4、线面、面面平行 找性废定趁垂直关系：利用兹面垂直性 质判定技巧可构造几何模型（长方体或正方体）10法二：以B为坐标原点,x轴，垂直于BQ的直线为y轴，BB所卜例 H (1)(2017 全国卷H)已知直三棱柱ABCABC中，/ABC=120=1，则异面直线AB与BC所成角的余弦值为(1)由题意知/ABC=120,AB=2,BC= CC= 1,所以AD=BC=/,AB=5，/DA= 60.在厶ABD中，由余弦定理知BD= 22+ 12-2X2X1Xcos

12、 60 = 3,所以BD=Q3，所以B D=A/3.又AB与AD所成的角即为AB与BC所成的角0,AB+ADBD5+23 寸 102XABXAD2X：5X. 25故选 C.,AB=2,BC= CGA.B.155C.5D.(2018 南京、钦州第二次适应性考试)已知底面是边长为 2的正方形的四棱锥A.C.P-ABCD中，余弦值为()(1) C (2)A (1)法一：将直三棱柱ABCABG补形为直四棱柱图(1)所示，连接AD,BD,BDAD与CE所成角的ABCDABGD，女口所以 cos0DBC所在的直线为在的直线为11由已知条件知B(0,0,0), 00,0,1),G(1,0,0), A 1 ,

13、3, 1)，则错误! = (1,0 ,1),错误！(1，错误！， 1).所以 cos错误！，错误！=错误！=错误！=错误！.所以异面直线AB与BG所成的角的余弦值为故选 G.因为四边形ABGD是正方形，所以AD/ BG则异面直线AD和CE所成角为BG和CE所成角，即/BCE在厶PBG中,PB= PG=4,BG=2,所以由余弦定理得 cos /PBG4 IPB+BGPG12-22=-,则在BGE中，CE=BE+BG 2BE- BGCos/PBG=4 + 4 2PB* BG4C 故选 A 规律方法求异面直线所成角的两种方法1平移法1作：通过作平行线得到相交直线 2证：证明所作角为异面直线所成的角或其补角I3求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求I出的角是钝角，则它的补角才是要求的角2向量法：利用向量的内积求所成角的余弦值_跟踪训练_如图 7-2-6 ,E、F分别是三棱锥R