(全国卷Ⅰ)2020年高考数学压轴卷理(含解析)

1、（全国卷I） 2020年高考数学压轴卷理（含解析）一、选择题：本大题共 只有一项是符合题目要求的.12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中,1.已知集合A x Z x 0 , B x 21 v一x1 2x 4 ,则 AI B ( 4A.x 1 x 2 B,1,0,1,2C.2, 1,0,1,2 D.0,1,22.已知a是实数，a_l是纯虚数，则a等于（）1 iA.2B.1C.2D. 13. “ a 0”是“函数f（x） |（ax 1）x|在区间（0,）内单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线0,b0的右焦点到渐近线

2、的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为（）A.2B.3C.55.若 2m2n1 ,则()D._J2A.B. log 1 m log1n22m nC. ln m n 0 D16.已知平面向量a , b,满足a1,73 , b 3, aA. 2B. 3C. 4D. 67 .执行右边的程序框图，输出的 S ln2018，则m的值 为（）A 2020B 2020C 2020D 20208 .据统计，连续熬夜 48小时诱发心脏病的概率为 0.055, 连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为 0.19,现有一人已连续 熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（）A. 67B.

3、351135D. 0199.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（631 12C.-12 31 D.-4 310.将J2Sin2x J2cos2x 1的图像向左平移个单位，再向下平移41个单位,得到函数y的图像，则下列关于函数y g x的说法错误的是（A.函数的最小正周期是冗B.函数的一条对称轴是xC.函数的一个零点是三8D.函数在区间,52t上单调递减 12 811.焦点为的抛物线C : y2 8x的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线 MA的方程为（MF|A. yx2 或 y x 2B.C. y 2x 2 或 y 2x12 . 定义在R上的2xx224x

4、, 2 x则实数A.C.D.y 2x函数fx满足2f x，且当x2,4 时，ax 1,对 x12,0x22,1 使得 g x2f Xi ,a的取值范围为（0,8U8,B.D.二、填空题:本大题共4小题，每小题14,05分.0,81 8,13.已知 f(x) lg(Jl x2 x) sinx 1 若 f():则 f( ) 14.在 x 1 x31 n的展开式中，各项系数之和为256,则x项的系数是xy x15 .知变量x, y满足条件 x y 2，则目标函数z 普二的最大值为 y 3x 6x y216 .如图，在 ABC中，sin ABC 丑，点D在线段AC上，且AD 2DC , BD 更，23

5、3则 ABC的面积的最大值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .(本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列an和等比数列 bn满足：a b1 3, b2 a4,且备，a4 ,豕成等比数列.(1)求数列 an和bn的通项公式； a,(2)令cn -n-,求数列cn的前n项和Sn . bn18.(本小题满分12分)某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有 800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间30,150内，其频率分布直方图如图.(1)求获得复赛资格的人数；(2)从初赛得分在区间 110,150的参赛者中

6、，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间110,130与130,150各抽取多少人？(3)从(2)抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X表示得分在区间130,150 中参加全市座谈交流的人数，求X的分布列及数学期望 E X .19.(本小题满分12分)如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE 平面ABCD , AF / /DE , DE 3AF , BE与平面ABCD所成角为60 .(1)求证：AC 平面BDE ;(2)求二面角F BE D的余弦值.20.(本小题满分12分)过抛物线x2 2py(p 0)的焦点F的直线与抛物线在第一象限的交点为A,与抛物线uu

7、r uuu_准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为 C ,若AF FB , 4ABC的面积为8。3 .(1)求抛物线的标准方程；(2)过焦点F的直线与抛物线交于 M , N两点，抛物线在 M , N点处的切线分别为1i, L 且1i与l2相交于P点，1i与x轴交于Q点，求证：FQ/l2.21 .(本小题满分12分)设函数f x x ln x 的X2 .(1)探究函数f x的单调性；(2)若x 0时，恒有f x ax3,试求a的取值范围；请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 .(本小题满分10分)【选修4-4 :坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，

8、圆C的普通方程为x2 y2 4x 6y 12 0 ,在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin J24(1)写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；uur uuu(2)设直线l与x轴和y轴的交点分别为 A, B, P为圆C上的任意一点，求 PA PB 的取值范围.23 .(本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】设函数f x 2x 1 .(1)设f x f x 15的解集为A,求集合A;(2)已知m为(1)中集合 A中的最大整数，且 a b c m (其中a , b , c为正实8.数)，求证:2020全国卷I高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题

9、共12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .【答案】Bm = 一八4 x【解析】集合 A x Z 0 x Z 2 x 41,0,1,2,3,4 ,x 2增，只需a 0,即“ a 0”是“函数 f(x) | (ax1）x|在区间（0,）内单调递增”的充要条件.故选C.4 .【答案】C【解析】由题意可设双曲线C的右焦点F c,0,渐进线的方程为可得 dJbc 二 b 2a,a2 b2可得c . a2 b2用，故选C.因为m因为2m2n 1 ,所以由指数函数的单调性可得n 0 ,所以可排除选项A, B ;n 1时，可排除选项C,由指数函数的性质可判断1正确，故

10、选D.【解析】由题意可得:2b 0即 a2 2a ba b 2,由平面向量模的计算公式可得:故选B.【解析】第一次循环In 2,i第二次循环,In 231dx2 xln 2ln xln 3,i第三次循环,5 1S ln 4 dx4 xm=202O,故选 B8.【答案】Aln3In 41dx xIn 21n x4ln 4,iln x54 ln5,i推理可34【解析】设事件A为48 h发病，事件B为72 h发病,由题意可知：P A 0.055 , P B贝U P A 0.945, P B 0.81 ,P由条件概率公式可得： P B | AAB9.【答案】C【解析】观察三视图可知， 几何体是一个圆锥

11、的 与三棱锥的组合体,4其中圆锥的底面三棱锥的底面是两直角边分别为1, 2的直角三角形，高为1.则几何体的体积.2.111 113 21 1 .故本题答案选C.12 310 .【答案】D【解析】由题意可知:,2sin2x,2cos2x 1 2sin 2x1,图像向左平移三个单位，再向下平移 14个单位的函数解析式为:g x 2sin1 2sin2x -4则函数g x的最小正周期为TtA选项说法正确;的一条对称轴是xB选项说法正确;3x 时,8cn2x 一4式,函数y g x的一个零点是C选项说法正确;兀 5兀右 x ,一12 8x在区间-,上不单调,12 8D选项说法错误；故选D.11 .【答

12、案】A【解析】过M作MP与准线垂直，垂足为P ,则吗MFMAMP1cos AMP1，则当卷cos MAF MF取得最大值时，MAF必须取得最大值，此时直线AM与抛物线相切，可设切线方程为 y k x 2 与 y2 8x 联立，消去 y 得 ky2 8y 16k 0 ,所以 64 64k2 0,得 k 1 .则直线方程为y x 2或y x 2 .故本题答案选 A.12.【答案】D【解析】因为f x在2,3上单调递减，在3,4上单调递增,所以f x在2,3上的值域是3,4上的值域是113所以函数在2,4上的值域是3,2 5因为2f x，所以f2fx所以2,0上的值域是0时，g为增函数,2,1上的值

13、域为2a1,a所以349-a82a0时,为减函数,2,1上的值域为a 1, 2a所以3 a4982a0时，gx为常函数,值域为 1,不符合题意,综上,a的范围是1 ，一U -,故选D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.【解析】解析：因为f(x) lg(j1 x2x) sinx 1的定义域为R,关于原点对称,f ( ) f ( ) lg( 1 x2x) sin x1 lg(V1 x2x) sin( x) 1 2一1一3故 f ()2 则f ()2214 .【答案】7【解析】令x 1可得各项系数和:13256 ,据此可得：n 7 ,7展开式的通项公式为:c7 x3r7r 21 _rC?x2

14、 ,令217-r20可得：r 6,令211可得:40 一竺，不是整数解,7据此可得:x项的系数是C6 7 .作出3x z y3x2 ,表示的可行域，如图6目x,y2,x2其中为向量a73, 1与bb x, y在直线y x上时,x, y的夹角，由图可知,2,0时有最小值，有最大值一 64 12512512目标函数z史y的最大值为73,故选c.22x y 16.【答案】372【解析】由sinqBC立可得:cosqBC立, 2323ABC ABC 2 . 2贝U sin ABC 2sincos .223由 sinABC 也 可知：ABC 45 ,则 ABC 90 , 23221由同角二角函数基本关系

15、可知：cos ABC -.3设 AB x, BC y , AC 3z x 0,y 0,z 0 ,在4ABD中由余弦定理可得:cos BDA1622 2z x324132z3在4CBD中由余弦定理可得:cosBDC由于 BDA BDC故cosBDA竺z2cos1622一 2z x即：3_c 4 3 c2 2z316T2 4J z3整理可得:16 6z22y2在 ABC中，由余弦定理可知:1 2xy323z ，则:6z22 2 3y代入式整理计算可得：1x234-xy 16,9由均值不等式的结论可得：16c 124 223X 3y169xy 8xy,故xy 9,当且仅当x 3J2 ,y部时等号成立

16、，据此可知 ABC面积的最大值为:112.2Smax - AB BC max sin ABC - 9 3.2 .2max23三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分)因为b2所以Sn(1)(1)12da4(1)所以2Sn 3an9,3 2 n 1 2n 1 , bn 3n ； (2)an的公差为d ,则由已知得al a13Sn2 a4n 23n3d（舍），所以an 3 2 n所以可知cn5327331 13 32bn的公比2n 13n2n3n3Snbn7322n 13n 1 13n 12n3n311 -31n 1 2n 1 3n2n 43n ，所以Sn2卡

17、18.（本小题满分12分）【答案】（1） 520人；（2） 5人，2人；（3） E X -7【解析】（1）由题意知90,110之间的频率为:20 0.0025 0.005 0.0075 2 0.01250.3 ,0.30.0125 0.0050 20 0.65 ,获得参赛资格的人数为800 0.65520A.(2)在区间 110,130 与 130,150 , 0.0125:0.0050 5:27人,在区间110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取分在区间110,130与130,150各抽取5人,2人.结果是5人,2人.（3） X的可能取值为0, 1,2,则:PX 0 等 2;PX2

18、 11C5C213C7C5C2cT故X的分布列为:X012241P7776719.（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（2）1313（1）证明：DE 平面ABCD , AC 平面 ABCD ,DEAC,又.底面ABCD是正方形, AC. BDI AC平面BDE .(2)解:DA, DC ,DE两两垂直,，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz, BE与平面ABCD所成角为60 ,即 DBE 60EDDB察，C(0,3,0), uuir_ uuu BF (0, 3,76), EF设平面BEF的一个法向量为r uuir e n BF r uuur n EF，二面角F BE, 13D的余弦值为管

19、.由 AD 3,可知 BD 342，DE 376, AF 四.则 A(3,0,0) , F(3,0,何，E(0,0,3 76) , B(3,3,0), (3,0, 2娓).rn (x, y,z),0, 3y 、,6z 0, 即0, 3x 2辰 0,令z 爬，则: （4, 2,的. AC 平面 BDE , uuuCA为平面BDE的一个法向量， uuu CA (3, 3,0),r uuu一r uu Ln CAI 613cos n,CA r Cud-=-= .|n| |CA| 3.2 ,2613二面角F BE D为锐角，20.（本小题满分12分）【答案】（1） x xx y 丁，y一,设 M 为，y

20、1, Nx2,y2,l1：2y 2Vlxx1 ,l2：2y2y2xx2, 2 4y； （2）证明见解析.uuir uuuABC的中位线的长,【解析】（1）因为AF FB ,所以F到准线的距离即为三角形所以|AC 2p,根据抛物线的定义 AC AF ,所以AB 2 AC 4p ,BC|J4P227T273p,Saabc12P273P8 ,解得p 2 ,所以抛物线的标准方程为x2 4y .(2)易知直线 MN的斜率存在，设直线 MN :y kx 1 ,设M x1,y1 , N x2,y2一x2 4 y联立消去y得x 4kx 4 0 ,得x1x24 ,y kx 12 V2yixpX2 Xi2XiX2

21、XiX2Xi1 X1，ypX2Xi得P点坐标P X2 Xi, i ,由2li : 2y 2y XXi ,得 Q ,，kQF ,k|2-一，所以kQFk|2,即 PQ / I2 -X）2Xi 2Xi2i.（本小题满分i2分）【答案】（i）增函数；（2）1,； （3）见解析.6【解析】（i）函数f x的定义域为R .由f x i 10,知f X是实数集R上的增函数.i x2（2）令 g x f x ax3 x In x i_X2 ax3 ,i x2 i 3ax2i.ix2令 h x函X2 i 3ax2i ,则h x3i 6a x 9axJ X22x i 6a 9ax.i x2(i )当a工时，h x60 ,从而h x是0,上的减函数,注意到h 00,贝U x 0时，h x0 ,所以g x 0 ,进而g x是0,上的减函注意到g 00,贝U x 0时，g x0 时，即 f xax3.i 6a 70,-时,9a（ii ）当0 a工时，在0,-6a上，总有h x 69af xax3 ；(iii )当 a 0时，h x 0,同理可知 f x ax3 ,综上，所求a的取值范围是 -,6请考生在 22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第