1995全国高考理科数学精彩试题

1、实用文档1995年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分.第I卷（选择题共65分）、选择题（本大题共15小题，第1 10题每小题4分,11 15题每小题65大全分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 .已知I为全集，集合 M , N I,若M AN= N，则(C) M N(D)3 .函数y=4sin(3 x+ )+3cos(3 x+ )的最小正周期是(A) 6 支(B) 2 支(D)4 .正方体的全面积是 a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是(C) 2na25.若图中的直线1i12

2、, 13的斜率分别为k3,则（(A) k1 < k2< k3(B) k3< k1 <k2(C) k3< k2< k1(D) k1 < k3<k26.在（1 x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是(A) 297(B) 252(C) 2977.使arcsin x>arccos x成立的x的取值范围是2(A)0,2.2(B) 一,12小、2(C)1,28.双曲线3x2 y2=3的渐近线方程是(A) y= ±3x(B) y= ±- x3(C) y= ±<3 x9.已知 破！第三象限角，且 sin4 8+co

3、s9=2 . 2(A) T10 .已知直线l,平面出直线m平面其中正确的两个命题是(A)与(B)与 l /m(D) 3 na2(D) 207(D)(D)y= 士.3x35一,那么sin2 0等于92(C) 3(D)有下面四个命题:(C)与(D)与11 .已知y=log a(2 ax)在0, 1上是x的减函数，则a的取值范围是(A)(0, 1)(B) (1 ， 2)(C) (0, 2)(D)2,12 .等差数列anbn的前n项和分别为Sn与Tn,若STn2n3n 1limn包等于 bn(A) 1(B) -63(C) 3(D)13 .用 1 , 23,4, 5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，

4、其中偶数共(A) 24 个(B) 30 个(C) 40(D) 60 个在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2 c, 0),离心率为e,则它的极坐标方程是(A)c 1 e1 ecos(B)d 2c1 e1 ecos(C)c 1 e1 ecos(D)2c 1 ee 1 ecos15.如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，/ BCA=90，点Di的中点，若BC=CA=CC1,BDi与AFi所成的角的余弦值是.30(A) 7T1(B) 2.30.15(C)行(D)而Fi 分别是 A1B1, A1C1(第II卷(非选择题，共85分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线

5、上 )116 .不等式 -3x2 83 2x的解集是17 .已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为 则圆台的体积与球体积之比为函数 y=sin（ x ）cosx的最小值是直线l过抛物线y2=a（x+1）（ a>0）的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为四个不同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共种（用数字作答）.三、解答题（本大题共6小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）21 .（本小题满分7分）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1, Z2, Z3, O （其中O是原点），

6、已知Z2对应复数Z2 1 J3i .求Z1和Z3对应的复数.的值.22 .（本小题满分 10 分）求$所 220 °+8$ 250 +sin20 cos5023 .（本小题满分12分）如图，圆柱的轴截面 ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，IDE, F是垂足.（1）求证：AFXDB;DE（2）如果圆柱与三棱锥 D ABE的体积的比等于 3n，求直线与平面ABCD所成的角.24 .（本小题满分12分）某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克.根据市场调查，当 8wxwi4时，淡水鱼的市场日

7、供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000( x+t8)( x>8, t>0),Q=500 “0x 8 2 (8wxwi4).当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元25 .(本小题满分12分)设an是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.(1)证明 lg Sn lg Sn 22lg Sn 1 ； 八 r lg SnC lg Sn 2 c,(2)是否存在常数 C>0 ,使得叱lg S c成立？并证明你的226.(本小题满分12分)结

8、论.22已知椭圆 1, 直线2416l : - 1 . P是l上点，射线OP交椭圆于点 12 8R,又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=| OR|,当点P在l上移动时，求点 Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1. C 2. B 3. C 4. B5. D6. D 7. B8. C 9 . A10 . D 11 . B 12 . C 13 . A二、填空题（本题考查基本知识和基本运算16 . x| 2<x<47 317 .3220. 144三、解答题21 .本小题主要考查复数基

9、本概念和几何意义，以及运算能力.解：设Z1, Z3对应的复数分别为Z1 , Z3,依题设得解:Z11 Z2cos2、.3i.,31-iZ31 .2z2cos 4i sin 4i sin 一4=1 1= .2 1，3i本小题主要考查三角恒等式和运算能力.1 )原式 一 1 cos40 21-_cos100 cos4021 ,1 cos100 sin 20 cos5021. c . ccsin70 sin3021 sin70 sin30 sin70223.本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力.证明：根据圆柱性质，DA，平面ABE.EB 平面ABE,. DAXEB.AB是

10、圆柱底面的直径，点 E在圆周上，. AELEB,又 AEAAD = A,故得EB，平面DAE.AF 平面 DAE,. EBXAF.又 AFLDE,且 EBADE=E,故得AFL平面DEB.DB 平面 DEB,. AFXDB.(2)解：过点E作EHAB, H是垂足，连结 DH .根据圆柱性质，平面 ABCDL平面 ABE, AB是交线.且 EH匚平面ABE,所以EHL平面ABCD .又DH匚平面ABCD,所以DH是ED在平面ABCD上的射影， 从而/EDH是DE与平面ABCD所成的角.设圆柱的底面半径为 R,则DA=AB=2R,于是V 圆柱=2 tcR3,V D ABE1cAD S ABE 32

11、R2 EHEH .3由V圆柱：Vdabe=3 tt,得EH=R,可知H是圆柱底面的圆心,AH= R,DH=DA2 AH2.5RzEDH=arcctg=arcctg <5 ,EH24.本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法.解：（1）依题设有1000( x+t 8)=50040 x 8 2 ,化简得5x2+(8 t 80)x+(4 t2 64t+280)=0 .当判别式=800 16t2>0时,可得x=8 - 4t ±2,50 t2 .55由斗，tR, 8<x<14 ,得不等式组：0 t . 5

12、042 28 8 -t 50 t2 14550 t , 5042 28 8 t 50 t2 1455解不等式组，得 0wtwJ10 ,不等式组无解.故所求的函数关系式为x 8 4t 2450 t255函数的定义域为0, <W.(2)为使x<10 ,应有实用文档42 28 t -50 t2 <1055化简得t2+4t 5R.解得t/或tw 5 ,由t A0知tm.从而政府补贴至少为每千克1元.25 .本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力.证明：设an的公比为q,由题设ai>0 , q>0 .(i)当 q=1 时，S

13、n= nai,从而Sn Sn+2 Sn i22=nai(n+2)ai - (n+i) 2a1=一 a1 <0nai 1 q(五)当44时，Sn-匚，从而i qSn Sn+2 Sn i2 / n/ n 22 / n 1 2a1 1 q 1 q a1 1 qd 2；,21 q1 q2 naq2由(i)和(ii)得Sn Sn+2 - Sn 1 ,根据对数函数的单调性，知2lg( Sn Sn+2 )<lg Sn i ,lg SnlgSn2_lg Sn 1 -2(2)解:不存在.证明一：要使(Sn C)(Sn 2 C) (Sn i C)2,Sn C 0.分两种情况讨论：(i)当 q=1 时，

14、(Sn c)( Sn+2 c) =( Sn+1 c)2=(nai c)(n+2) ai c (n+1) ai c22=a1 <0 .可知，不满足条件，即不存在常数c>0 ,使结论成立.lg Sn c lg Sn 2 c2lg Sn 1 c ,大全(ii)当qw1时，若条件成立，因为(Sn c)( Sn+2 c) ( Sn+1 C)2a1 1a1 1 qn a1 1 qn 2=c c1 q1 q=a1 qna1 - c(1 - q),且 aqnw0,故只能有 a1一c(1 -q)=0 ,即 c 1 q此时，因为 c>0 , a1>0 ,所以0< q<1 .n但

15、0Vq<1时，Sn -aj旦丑一 0,不满足条件，即不存在常数c>0,使结1 q 1 q论成立.综合(i)、(ii),同时满足条件、的常数c>0不存在，即不存在常数c>0 ,使lg Sn c lg Sn 2 c lg Sn 1 c , 2证法二：用反证法，假设存在常数c>0 ,使实用文档则有Sn c0,Sn 1c0,Sn 2 c0,一 、一、 一、2(SnC)(Sn 2 c)(Sn 1 c) .由得Sn Sn+2 Sn1 = C (Sn + Sn+2 2 Sn +1 ).根据平均值不等式及、知Sn + Sn+2-2 Sn+1=( Sn C)+(Sn+2 C) 2(

16、 Sn+1 C)>2 JSnC_Sn2C- 2(Sn+1C)=0 .因为C>0 ,故式右端非负，而由(1)知，式左端小于零，矛盾.故不存在常数C>0 , 使lg Sn C lg Sn 2 C =lg( Sn+1 C)226.本小题主要考查直线、椭圆的方程和性 质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利 用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想 和综合运用知识的能力.解法由题设知点Q不在原点.设P、R、Q的坐标分别为(xp, yP), (xR, yR), (x,y),其中x, y不同时为零.当点P不在y轴上时，由于点 R在椭圆上及点 O、Q、R共线，得方程组大全2 Xr242

17、yR 16yRyXrX解得2XR2 yR48x22x2 3y248y22x2 3y2由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组xp y p12 8Vp yXp xxp解得Vp24x2x 3y24 y 2x 3y当点P在y轴上时，经验证一式也成立.由题设 |OQ| |OP|=|OR|2,得yx2 y2 VxP2Vp将代入上式，化简整理得_ 222 2242 x2 y248 x:2x 3y222x2 3y2因x与xp同号或y与yp同号，以及、知2x+3 y>0 ,故点Q的轨迹方程为1（其中x, y不同时为零）.所以点Q的轨迹是以（11）为中心，长、短半轴分别为.10.15-和且长轴与x轴平行的椭圆、去掉坐标原点.解法二：由题设知点 Q不在原点.设P, R, Q的坐标分别为(xp, yp), (xr, yR), (x,y),其中x, y不同时为零.设OP与x轴正方向的夹角为a,则有xp=|OP|cos