2020-2021中考数学(直角三角形的边角关系提高练习题)压轴题训练附答案

1、2020-2021中考数学（直角三角形的边角关系提高练习题）压轴题训练附答案一、直角三角形的边角关系1 .如图，某无人机于空中 A处探测到目标B、D的俯角分别是30 60，此时无人机的飞 行高度AC为60m ,随后无人机从 A处继续水平飞行30 J3 m到达A处.（1）求A、B之间的距离（2）求从无人机 A上看目标D的俯角的正切值.【答案】（1） 120米；（2） R3.5(1)(2)解直角三角形即可得到结论；过A作AE BC交BC的延长线于E,连接AD ,于是得到 AE AC 60,CEAA 30在 RABC中，求得DC=Y3AC=20j3 ,然后根据三角函数的定义即可得到结论.【详解】解：

2、（1）由题意得：/ABD=30, /ADC=60,在 RtABC 中，AC=60m,60AB= AC = 1 =120 (m)sin30 一2(2)过A作AE BC交BC的延长线于E,连接AD , 则 A E AC 60, CE AA 30 小,在 RtA ABC 中，AC=60m, / ADC=60 ,DC= -3 AC=20、33DE=50,3tan/AAD= tan/ ADC型=与二DE 50-3 5答：从无人机 A上看目标D的俯角的正切值是 2M.5【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键2 .在矩形ABCD中，ADAB,点P是CD边上的任意一点（不含

3、 C, D两端点），过点 P 作PF/ BC,交对角线BD于点F.（图1）（图2）（图3）（每用图）（1）如图1,将4PDF沿对角线BD翻折得到aDF, QF交AD于点E.求证：4DEF是等 腰三角形；（2）如图2,将4PDF绕点D逆时针方向旋转得到 PDF,连接PC, FB.设旋转角为 a （0 aDB,不符合题意;当/ DF B=90寸，如图所示,.DF， =dF=BD, / DBF =30 .tanZDBF.3AB【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相 似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进

4、行讨论是解题的关键3.在 RtACB和 4AEF 中，/ ACB= / AEF= 90,若点 P 是 BF 的中点，连接 PC, PE.特殊发现：如图1,若点E、F分别落在边AB, AC上，则结论：PC= PE成立(不要求证明).问题探究：把图1中的4AEF绕点A顺时针旋转.(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若 不成立，请说明理由；(2)如图3,若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成 立，请说明理由；(3)记处 =k,当k为何值时，4CPE总是等边三角形？(请直接写出后的值，不必说) BC【答案】1 PC PE成立

5、 2 , PC PE成立 3当k为，3时，VCPE总是等边三 3角形【解析】【分析】(1)过点 P 作 PMLCE 于点 M,由 EF AE, BC AC,得到 EF/ MP/CB,从而有PC=PEPD,先证PD=PE最后根据EM FP,再根据点P是BF的中点，可得EM=MC,据此得到MC PB(2)过点F作FDAC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接 DAF0EAF,即可得出 AD=AE;再证 DA彦 EAP,即可得出FD AC, BC AC, PMAC,可得 FD/ BC/ PM,再根据点 P是 BF 的中点，推得 PC=PR 再根据PD=PE即可得到结论.(3)因为4CPE总是等边三角

6、形，可得 ZCEP=60, / CAB=60 ;由/ ACB=90 ,求出/ CBA=30 最后根据jAC k, -C =tan30 ；求出当 CPE总是等边三角形时，k的值是BC BC多少即可.【详解】解：(1) PC=PE成立，理由如下：如图 2,过点 P 作 PMLCE于点 M ,EF AE, BC AC, . . EF/ MP / CB,EMMCFP一 ,.点 P是 BF的中点，. . EM=MC,又. PMLCE, . . PC=PEPB(2) PC=PEM立，理由如下：如图3,过点F作FD，AC于点D,过点P作PMLAC于点M,连接PD, / Z DAF=Z EAF, / FDA=

7、Z FEA=90在 DAF 和 EAF中, / DAF=Z EAF, / FDA=Z FEA, AF=AF, .DAFAEAF (AA), .AD=AE,在 ADAP和 AEAP 中， . AD=AE, /DAP=/ EAP, AP=AP, .DAPAEAP (SAS , ，PD=PE . FD AC, BC AC, PMXAC, .FD/ BC/ PM,DM FP MC PB 点P是BF的中点，.DM=MC,又 PMXAC,PC=PD,又. PD=PE.PC=PE(3)如图4,CPE总是等边三角形,/ CEP=60,/ CAB=60 , / ACB=90 ,/ CBA=90 - / ACB=

8、90 - 60 =30ACAC k , =tan30 ;BC BCk=tan30.当k为Y3时，CPE总是等边三角形.【点睛】考点：1.几何变换综合题；2.探究型；3.压轴题；4.三角形综合题；5.全等三角形的 判定与性质；6.平行线分线段成比例.4.如图，某公园内有一座古塔AB,在塔的北面有一栋建筑物，某日上午 9时太阳光线与水平面的夹角为32 ,此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD.中午12时太阳光线与地面的夹角为 45,此时塔尖A在地面上的影子 E与墙角C的距离为15米（B、E、C在 一条直线上），求塔 AB的高度.（结果精确到0.01米）参考数据：sin32 =0.5299Cos

9、32 = 0.8480tan32 =0.6249我 1.4142.【答案】塔高 AB约为32.99米.【解析】【分析】过点D作DHLAB,垂足为点H,设AB= x,则AH= x- 3,解直角三角形即可得到结论. 【详解】解：过点D作DHLAB,垂足为点 H.由题意，得 HB = CD = 3, EC= 15, HD = BC, /ABC =Z AHD = 90； / ADH = 32 .设 AB = x,则 AH = x - 3.在RtABE中，由Z AEB = 45 ；得 tan AEBtan45ABEBEB = AB = x.HD = BC = BE + EC= x + 15.在RtAHD

10、中，由Z AHD = 90 ；得 tan ADHAHHD即得tan32x 3x 15解得x15 tan32 31 tan3232.99 .1.塔高AB约为32.99米.【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题 的关键.PD5.如图，AB是圆。的直径，。为圆心，AD、BD是半圆的弦，且 / PDA=/ PBD. 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为。的切线，并说明理由；(2)如果 / BED=60, PD=J3,求 PA 的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段 DF,点F正好在圆。上，如图2,求证:边形DFBE为菱形.【答案】(

11、1)证明见解析；(2) 1; (3)证明见解析【解析】【分析】(1)连接OD,由AB是圆O的直径可得/ADB=90,进而求得/ ADO+/PDA=90 ,即可得 出直线PD为。的切线；(2)根据BE是。的切线，则/EBA=90,即可求得Z P=30 ,再由PD为。的切线，得 /PDO=90 ；根据三角函数的定义求得 OD,由勾股定理得OP,即可得出PA;(3)根据题意可证得 /ADF=/ PDA=/ PBD=/ ABF,由AB是圆O的直径，得/ ADB=90 ,设/ PBD我，则可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x, Z DBF=2x ,由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出4BDE是等

12、边三角形.进而证出四边形DFBE为菱形.【详解】(1)直线PD为。的切线，理由如下：如图1,连接OD,.AB是圆O的直径，/ ADB=90 ； / ADO+Z BDO=90 ；又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ；即 PD OD, 点D在。O上， 直线PD为。的切线；(2) BE是。的切线，/ EBA=90 ； / BED=60 ；/ P=30 , .PD为。的切线,/ PDO=90 ；在 RtA PDO 中,/ P=30, PD=B ,“0 OD tan 30而，解得 OD=1,PO .，PD2 OD2 =

13、2,PA=PO- AO=2- 1=1;(3)如图2,依题意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=Z DAF, / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF,.AB是圆O的直径，/ ADB=90 ,设 / PBD=x ,贝U / DAF=Z PAD=90 +x, / DBF=2x , 四边形AFBD内接于OO, / DAF+Z DBF=180 ,即 90+x+2x=180,解得 x=30,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF=30 ,.BE、ED是。的切线， . DE=BE / EBA=90 ；/ DBE=60 ,4BDE是等边三角形

14、，.BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60, .BDF是等边三角形， .BD=DF=BF.DE=BE=DF=BF本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大.6.如图1,以点M (1, 0)为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点 A、B C、D,直线y= 史型*x *与。M相切于点H,交x轴于点E,交y轴于点F.(1)请直接写出 OE、OM的半径r、CH的长；(2)如图2,弦HQ交x轴于点 巳 且DP:PH= 3:2,求cos/ QHC的值；(3)如图3,点K为线段EC上一动点(不与 E、C

15、重合)，连接BK交。M于点T,弦AT 交x轴于点N.是否存在一个常数 a,始终满足 MIN- MK=a,如果存在，请求出 a的值；如果不存在，请说明理由.CH=2【答案】(1) OE=5, r=2,I3coaQHC =-(2) (3) a=4【解析】【分析】OE的长为5;连接(1)在直线y= X x:中，令y=0,可求得E的坐标，即可得到MH,根据4EMH与EFO相似即可求得半径为 2;再由EC=MC=2，/ EHM=90 ,可知CH是RTA EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上白中线等于斜边的一半即可得出CH的长；(2)连接DQ、CQ.根据相似三角形的判定得到 CHM4QPD,从而求得D

16、Q的长，在直 角三角形CDQ中，即可求得/D的余弦值，即为 cos/ QHC的值；(3)连接AK, AM,延长AM,与圆交于点 G,连接TG,由圆周角定理可知，/GTA=90, Z3=Z4,故 / AKC=Z MAN,再由AMKsNMA 即可得出结论.【详解】(1) OE=5, r=2, CH=2(2)如图 1,连接 QC QD,则/CQD =90, Z QHC =/ QDC,DP易知CH/DQP,故 PHDQCH,得DQ=3,由于CD=4,*，二 coszQDC =QD 3CD 4(3)如图2,连接AK, AM,延长AM, 与圆交于点 G,连接TG,则图2上 Z2 + Z4 = 90 vz3

17、 = Z4 界 2 + f3 = 90 ?由于工林。+上”90故，夕*。= 2；而乙”八。一乙2,故一上2在MM*和卬M%, 1 一2； MKjNM月故 AMKsNMAMN AM； ;即：二 * 二二一； 一故存在常数H始终满足=a常数a=4解法二：连结BM,证明AAST sXUHJ得一 ,二_- 二7 .兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是 31。，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面 7.9米（CD的长），试求出主塔 BD的高.（结果精确到 0.1 米，参考数据：sin31 =0”52DO

18、s31 =0.86tan31 =0.60【答案】主塔BD的高约为86.9米.【解析】 【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+Cg得出.【详解】在 RtABC 中，/ACB=90, BCsinA .BC AB sinA 152 sin31 152 0.52 79.04.BD BC CD 79.04 7.9 86.94 86.9 （米）答：主塔BD的高约为86.9米.【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握是解决本题的关键.一 .一 ,一 3 .8 .如图，在ZXABC中，AC BC 10, cosC ,点P是BC边上一动点（不与点 A,C5重合），以P

19、A长为半径的e P与边AB的另一个交点为 D ,过点D作DE CB于点E .1当e P与边BC相切时，求e P的半径;2联结BP交DE于点F ,设AP的长为x , PF的长为y ,求y关于x的函数解析式,并直接写出x的取值范围;3在2的条件下，当以 PE长为直径的eQ与eP相交于 AC边上的点G时，求相交 所得的公共弦的长.【答案】(1)40；(2)y 5xJx2 8x 80 0 x 10 ； 10 2/9 3x 20【解析】【分析】3 一(1)设。P与边BC相切的切点为 H,圆的半径为 R,连接HP,则HP，BC, cosC，则5sinC=4, sinC=HP 5 CP 104 r一.- =

20、 4,即可求解;R 5一 EB(2) PD/ BE,贝U PD%即:PF2 x5x收 8x 80 y ,即可求解;求解.【详解】(1)设。P与边BC相切的切点为 H,圆的半径为 40R=(3)证明四边形 PDBE为平行四边形，贝U AG=GP=BQ即：AB=DB+AD=AG+AD=4/5 ,即可R,HP R 4 sinC=,斛得:CP 10 R 5(2)在 4ABC 中，AC=BC=1Q cosC=3 ,5设 AP=PD=x, /A=/ABC=3,过点 B 作 BH, AC,贝U BH=ACsinC=8同理可得：CH=6, HA=4, AB=4，贝U: tan / CAB=2BP=，822,

21、2x 4 = x 8x80，DA=5x,则 BD=4V5-25x,如下图所示,PA=PQ/ PAD=/ CAB=/ CBA=3,tan 3 S2 贝U cos 3 7= , sin 3 7=,、.5. 5EB=BDcos 3 =( 4 6 25 x).PD/ BE,，2EB=吟即：上PD PF、.整理得:、,_5x，x2 8x 80y=3x 200 x 10 ；(3)以EP为直径作圆Q如下图所示,两个圆交于点G,则PG=PQ即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D, GD为相交所得的公共弦， 点Q时弧GD的中点， DGXEP,.AG是圆P的直径，/ GDA=90 ； .EP/ BD,由(2)

22、知，PD/ BC,二.四边形PDBE为平行四边形，.AG=EP=BD.AB=DB+AD=AG+AD=4、,5 ,设圆的半径为r,在4ADG中，AD=2rcos 85, DG=-y= , AG=2r,2r 20店+2r=4而，解得：2京 则:DG=%=10-2T5,相交所得的公共弦的长为 10-2 75.【点睛】本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中(3),要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大.9.已知AB是。的直径，弦 CD AB于H,过CD延长线上一点 E作。的切线交 AB的 延长线于F,切点为G,连接AG交CD于K.(1)如

23、图1,求证：KE= GE;1 .一(2)如图 2,连接 CABG 若/FGB= /ACH,求证：CA/ FE;2. .3=(3)如图3,在(2)的条件下，连接 CG交AB于点N,若sinE= - , AK= 而，求CN5的长.【答案】（1）证明见解析；（2） AEAD是等腰三角形.证明见解析；（3） 20、10.13【解析】试题分析：(1)连接 OG,则由已知易得 /OGE=/ AHK=90 ,由OG=OA可得/ AGO=/ OAG,从而可得/ KGE4 AKH=Z EKG 这样即可得至U KE=GE(2)设/FGB形，由AB是直径可得 /AGB=90,从而可得 / KGE=90-a，结合GE

24、=KE可得1ZEKG=90- a,这样在 4GKE中可得/ E=2 ,由/ FGB/ ACH可得/ ACH=2?这样可得2/E=/ACH,由此即可得到 CA/ EF;(3)如下图2,作NP, AC于P,AH 3由(2)可知 /ACH=/ E,由此可得 sinE=sinZ ACH=设 AH=3a,可得 AC=5a,AC 5CH 4,CH=4a,贝U tan Z CAH= 由(2)中结论易得 / CAK之EGK士 EKG之AKC,从而可AH 3AH得 CK=AC=5a 由此可得 HK=a, tan / AKH= 3 AK=V10 a,结合 AK=石0 可得 a=1,HK贝U AC=5;在四边形 B

25、GKH中，由 /BHK=/ BKG=90 ,可得 ZABG+Z HKG=180,结合 ZAKH+Z GKG=180 , / ACG=Z ABG 可得 / ACG之 AKH,在 RtAPN 中，由 tanZ CAH=4 FN ,可设 PN=12b, AP=9b,由3 APtan/ACG=里 tan/AKH=3可得 CP=4b,由此可得 AC=AP+CP13b =5,贝U可得 b=,由 CP13此即可在RtA CPN中由勾股定理解出 CN的长.试题解析：(1)如图1,连接OG.UMI.EF切。于 G, .OGEF, / AGO+/ AGE=90 ； . CDXABT H,/ AHD=90 ；o O

26、 OAG=Z AKH=90 ；,.OA=OG,/ AGO=Z OAG,/ AGE=/AKH,3 / EKG4 AKH,4 / EKG4 AGE,KE=GE(2)设 / FGB形, AB是直径，/ AGB=90 ；/ AGE = Z EKG=90 - a,/ E=180 - / AGE- / EKG=2 415 / FGB=- ZACH,2/ ACH=2 %/ ACH=Z E,6 .CA/ FE.(3)作 NF)AC于 P.7 / ACH=Z E,AH . .sin / E=sinZ ACH= AC3一,设 AH=3a, AC=5a5贝U ch=JaC2 CH2 4a，CHtan / CAH=-

27、AH1. CA/ FE,/ CAK=Z AGE, / AGE=/AKH,/ CAK=Z AKH,=3, ak=JaH2 HK2 而a，AH.AC=CK=5a HK=CK- CH=4a, tan / AKH=HK- AK= ,?0 ,10a10,a=1. AC=5, / BHD=Z AGB=90 ； / BHD+Z AGB=180 ,在四边形 BGKH 中，/ BHD+Z HKG+Z AGB+Z ABG=360 , / ABG+/ HKG=180 , / AKH+Z HKG=180 ,/ AKH=Z ABG, / ACN=Z ABG, / AKH=Z ACNI, .tan/AKH=tan/ACN

28、=3, . NPXACT P,/ APN=Z CPN=90 ；PN 4在 RtAPN 中，tan Z CAH=设 PN=12b,贝U AP=9b,AP 3在 RtA CPN 中，tan / ACN=-PN- =3 CP .CP=4b, .AC=AP+CP=13b,.AC=5, .13b=5,.b=,13 -20 -CN=/pnCP =4/10 b=一V?0 .尸 C10.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60。方向前进实施拦截，红方行驶 1000米到达C处后，因前方 无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西 45。方向前进了相同的距

29、离，刚好在 D处成功 拦截蓝方，求拦截点 D处到公路的距离(结果不取近似值).D【答案】拦截点 D处到公路的距离是(500 + 500V2)米.【解析】试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点 E;过C作AB的垂线,过D作AB的平行线，两线交于点F,则Z E=Z F=90 ,拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF 解 RtA BC 求出 BE= BC= X 1000=50冰；解 RtA CDF,求出CF=CD=500jJ 米，则 DA=BE+CF=( 500+500卢)米.2试题解析：如图，过 B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点 E;过C作AB的 垂线，过D作AB

30、的平行线，两线交于点 F,则Z E=Z F=90,拦截点D处到公路的距离 DA=BE+CE在 RtBCE中,Z E=90 , Z CBE=60,Z BCE=30,1 1BE=- BC=- x 1000=50米;在 RtA CDF 中，ZF=90 , Z DCF=45 , CD=BC=1000米，.CF=CD=500V2 米，.DA=BE+CF=( 500+500 72)米，11 .已知RtABC,/A=90 ；BC=10以BC为边向下作矩形BCDE连 AE交 BC于 F.3(1)如图 1,当 AB=AC且 sin/BEF一时,求5BFCF的值;1(2)如图2,当tan/ABC=一时过D作DHL

31、AE于H,求EH EA的值； 2(3)如图3,连AD交BC于G,当FG2 BF CG时,求矩形BCDE的面积【答案】（1）； ； （2） 80； （3） 100.【解析】【分析】.一3 FK 3一过A作AK BC于K,根据sin / BEF 得出 ,设FK=3a,AK=5a,可求得 BF=a，故5 AK 5BF1_；（2）过 A 作 AK, BC于 K,延长AK交ED于 G,则 AG ED,得 AEGAAEHD,CF 7利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB、ED交于K,延长AC ED交于T,根据相似三角形的性质可求出 BE=ED,故可求出矢I形的面积.【详解】解：（1）过A作AK, BC于K,. sin /