电气新手必知：正弦量的相量表示

1、电气新手必知:正弦量的相量表示回顾上一次的学习，如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦规 律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦的，且一个周期内其平均 值为零,这样的电路称为正眩交流电路。而这些按正弦规律变化的电压或电 流,统称为正弦量。而我们在学习正弦量的时候,基本都是采用瞬时表达式和 波形图的方式进行分析。想象一下,如果两个正弦量相加减，我们是通过它们的波形图进行相加 减，把两个正弦量的波形沿时间轴分为无数个点，一点一点的相加减，这个过 程可根而知是多么的繁琐,另外，如果是把它们的瞬时表达式相加减，这就要 通过三角函数的转换,也不算方便,而相量,就为正弦量的运算带来了极大的

2、便利。相量法是分析正弦交流电路的一种简单易行的方法。它是结合数学理论与 电路理论而建立起来的一种系统方法。正眩量的相量表示法是指:个正弦量 的瞬时值可以用一个旋转矢量在纵轴上的投影值来表示。矢量,简单来说就是 既有大小又有方向的量。设正弦量;u = Z7msin佃/十如JU图 30-1如上图30-1所示，设正弦量u=Umsin（wt屮）具波形图如图右所示，以该 正弦量的幅值5作为旋转矢量的长度（即虚圆的半径）,初相角屮作为旋转 矢量与横轴的夹角并以此作为起点,使旋转矢量以角速度3按逆时针方向在直 角坐标轴上旋转，对于某一时刻该旋转有向线段在纵轴上的投影（虚线 与y轴的交点）显然就是对应时刻正弦

3、量的瞬时值,这就是正弦量的相量表 示。另外，回顾上次我们所学的周期与角速度的关系wT=2n ,以图30-1为例，想象一下，当旋转矢量旋转一周期（2乳）后，我们可以很快发现,它又回到了初始的位置，对应波形图,此时的正弦量的值恰好也是等于其初始时的 值,不同的只不过是时间罢了。如下图30-2所示，正弦量u、i等的相量书写方式是在对应电量的大写字 母U （或Um）. I （或Im ）上加"” （点）符号表示,若正弦量的幅度用大值 表示,则对应电量的大写字母应加下角标"m"。在实际应用中，正弦量的幅 度一般都是采用有效值表示，即没有下角标"m"。相量中

4、的"” （点）号即 是表示与正弦量相关的复数身份，以区别于一般的复数,同时也表示区别于正 弦量的幅值或有效值。相量符号本身就包含幅度和相位信息。描述正弦量的有向线縮为相量phasor）,用对应的带符号的 大写字母（最大值或有效值）表示，在实际应用中，幅度更多采用有效值。相量符号（如U.1）包含幅度和相位信息。图 30-2正弦量的相量表示,实质上就是用复数表示正弦量,即正弦量的对应相量是一个复数。所以,复数及其运算是应用相量法的数学基础,我们要懂得相量，就必须要懂得复数。所谓复数,实质上是由实数和虚数组成的一对数,实 数包括有理数和无理数。个复数有多种表示形式。复数F的代数形式为F二a

5、 jb ,其中j为虚数单 位。虚数理解起来可能t匕较困难，但这并不影响我们学习复数,在此我也不对 虚数展开讲解。另外，j还可以表示为旋转90°因子土j ,即±j=cos90°±sin90°o j作为旋 转90°因子在与有功和无功、电阻和电抗、容抗?口感抗相关正弦交流电路的相 量分析中带来很大的便利。某相量乘以j ,就是将该相量逆时针旋转90。,某相 量乘以寸,就是将该相量顺时针旋转90°。十J复数的代数形式为：式中j = d为虚单位F -a-b匕图 30-3复数F的代数形式F=ajb中，a称为复数F的实部，b称为复数F的虚

6、部。复数在复平面上是一个坐标点,常用原点至该点的向量表示，如图30-3 所示，其中r为复数的模（值），表示为|F | , 6为复数的辐角，即6二argF , 6 可以用弧度或度表示。在这里说明_下，向量和相量是不同的,相量是电子工程学中用以表示正 弦量大小和相位的矢量；而向量是在数学中表示具有大小和方向的量，与之对 应的没有方向的数量叫标量。上文提到,个复数是有多种表示形式的，除了其代数形式,还有三角形 式、指数形式和极坐标形式。如下图30-4所示，根据复数F在复平面上的表示，可以得到复数F的三角 形式。结合复数F的代数形式，|F |和6与a和b之间的关系如图30-4中所 示。在一些书面上，复

7、数F的实部还会表示为ReF ,即a =ReF ;虚部表 示为 ImF , BDb=ImFo复数F的三角形式：F =|F|(cos +jsin 0)= f(cos0 +jsin 0)卩|和&与Q和&之间的关系为:0 - arctai网二 J/+沪:° 二冋COS Z> = |F|sinft图 30-4另外，复数F的指数形式和极坐标形式如下图30-5所示。其中eJe=cos e血6是欧拉公式的表达式,这是属于复变函数的知识，较为复杂，在此就不 展开讲解啦。我们只需知道结论即可。极坐标和直角坐标都是二位坐标系统, 相对于直角坐标系,极坐标系只有一条坐标轴叫极轴,其原点

8、叫极点,如图 30-5所示。复数戸的指数形式：F 二 Fed复数F的极坐标形式:F = FZ3其中：幺讯二cos0 + jsin醍:欧拉公式图 30-5综上,复数 F 的表示形式有 F =a jb =|F I ( cose sin6 )二|F |eJe=|F |zeo这是在数学理论里的复数，而在电路理论中的复数表示的是正弦量的相 量。把数学领域的复数运用到电路领域,其实也很简单,只不过是将复数F符 号用正弦量中各电气量对应的相量符号代替,如下图30-6所示。设正弦量: =久sin(m十0),则相量表示为：U = Ue = 肿=U諾屮其中相量的模卩(1人)为正弦量的有效值(最大值) 相量的辐角0

9、为正弦量的初相角图 30-6关于正弦量与相量，以下几点需要大家注意：(1 )相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。这是因为正弦量是一个变量，它是瞬时变化的，而相量只是一个有方向和大小的量，它代表的是正弦量在某一时刻的值。(2)只有正弦量才能用相量表示,非正弦量不能用相量表示。这是因为相量本身就是为分析正弦交流电路而存在的。(3)只有同频率的正弦量才能画在同一相量圏上。在上一次的学习中提到过,同频的正弦量之间的代数和,其结果仍为同频率的正弦量。也就是因为角频率的不变,所以在讨论研究同频率的正弦量时, 可以不用考虑其角频率,只需研究其幅值和初相角的变化。同理,在相量图上，因为各正弦量的频率相同，我

10、们只需比较它们对应相 量的模与辐角即可。相量图其实就是把相量表示在复平面的图形，类似于图30-3中的复数F。如下图30-7为两个正弦量的相量图表示。从相量图中,我们可以很快的看 出，正弦量5与U2的关系。幅度：相量大小卩2>4 相位：屮&屮A超前山复平面的直角坐标系有四个象限,显然相量在复平面上表示时可以在任一象限中,如下图30-7所示,当相量的实部和虚部取值不同时,其相量图会出 现在不同的象限中。当a、b均大于零时,相量在象限；当a小于零,b大于零时，相量在第二 象限；当a、b均小于零时，相量在第三象限;当a大于零,b小于零时，相量在 第四象限。另外，辐角屮取值范围为180勺屮

11、0。时,相量在、二象限；辐角屮取值范 围为0"屮-180°时，相量在第三、四象限。大家可以尝试画一下几种不同情况的相量图，以加深印象,这也方便大家 在之后以相量图分析电路时能熟练运用。正弦量的运算可以采用相量的加减乘除来实现,其本质就是复数的加减乘 除。所以,关于相量的复数运算规则,其实就是复数的运算规则。如下图30-9所示为相量的加减表示。相量的加减遵循平行四边形法则，即 两个相量的相加，把其中一个相量沿另一个相量平移，使两相量首尾相连，得 到的平行四边形的新相量（对角线）即为两者之和；两个相量的相减如图30-9中的（2 ）所示，以被减数作为平行四边形的对角线,减数作为平行四边形的一条边，两者首尾相连得到平行四边形的另一条 边即为两者之差。4 二 q 十 jb： 6 二 d 十 j2» 则：U、土U = （q + 讷）土（勺 4 j如=（q ±色）巧（b土 爲）a)E+q图309相量的乘除如下图30-9所示z两个相量相乘z即把两者的有效值相乘得到积的有效值,把两者的初相角相加得到积的初相角；两个相量相除，