(专题精选)初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案解析

1、（专题精选）初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案解析一、选择题1 .如图，RtAAOB中，/AOB=90°, AO=3BO, OB在x轴上，将 RtAAOB绕点。顺时针旋转至小饮'08',其中点B'落在反比例函数y=- 2的图象上，OA'交反比例函数y=E的图象xx于点C,且OC=2CA；则k的值为（）7A. 4B.-2【答案】C【解析】C. 8D. 7% OB=a,贝U OA=3a,解：设将RtAAOB绕点O顺时针旋转至 RtAA'OB'的旋转角为由题意可得，点B'的坐标为（acos % - asin 8，点C的坐标为（2a

2、sinq2acos a）, ，一 ,一一，2 , 一，点B'在反比仞函数y=- 2的图象上，x . 一 asin 5=-,得 a2sin a cos a=2 acosak又.点C在反比仞函数y=的图象上，xk,2acosa=,得 k=4a2sin a cos a =8.2asin a故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为“，利用旋转的性质和三角函数设出点B与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.C 45 , AD BC ,垂足为 D ,2.如图，在 ABC中，AC 4, ABC 60 ，ABC的平分线交 AD于点E ,则AE的长为

3、（2332【答案】C【解析】【分析】在RtAADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt区DB中，由AD的长度及/ ABD的度数可求出 BD的长度，在 RtAEBD中，由BD的长度及/ EBD的度数可求出 DE的长度，再利用 AE=AD-DE即可求出AE的长度.【详解】.ADXBC/ ADC=Z ADB=90在 RtAADC 中，AC=4, / C=451 . AD=CD=2 . 2在 RtAADB 中，AD=272, / ABD=602 .BD=21aD=立6. 33. BE 平分 / ABC, / EBD=30° .在 RtAEBDBD="3,/ EBD=

4、30°,，DE=BD=2i33AE=AD- DE=2. 2 - 22 = 4-233故选：C【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形.3.如图，那BC内接于半径为 5的。O,圆心。到弦BC的距离等于3,则/ A的正切值等 于（）A.5【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点B.C.D.O作OD，BC,垂足为D,连接 OB, OC,. OB=5, OD=3, 根据勾股定理得 BD=4. /A=1/BOC,/A=/BOD.2“r BD 4/. tanA=tan Z BOD= OD 3故选D.匚4.锐角三角函数定义.考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3

5、.勾股定理;D作DE AB于点4 .如图，四边形 ABCD内接于eO, AB为直径，AD CD ,过点E ,连接AC交DE于点F若sinCABDF 5 ,则AB的长为（B. 12A. 10【答案】D【解析】【分析】C.16D. 20连接BD ,如图，先利用圆周角定理证明 弦的定义计算出 EF 3 ,则AE 4, 到 BE 16 ,所以 AB 20.ADEDE8,DAC 得到 FD FA 接着证明 ADEs DBE ,5 ,再根据正利用相似比得【详解】解：连接BD ,如图,Q AB为直径,ADB ACB 90 , Q AD CD,DAC DCA , 而 DCA ABD ,DAC ABD ,DE

6、± AB ,ABD BDE 90 ,而 ADE BDE 90 ,ABD ADE,ADE DAC ,FD FA 5 ,EF 3在 Rt AEF 中，Qsin CAB -AF 5 'EF 3,AE 需F 4，DE 5 3 8,Q ADE DBE , AEDADEs DBE ,DE : BE AE : DE ,即 8： BEBE 16 , AB 4 16 20故选：D.本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧90的圆周角所对的所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角, 弦是直径.也考查了解直角三角形.5 .如图，在 GABC中

7、，AC± BC, Z ABC= 30°,点D是CB延长线上的一点，且 AB=BD,则tanD的值为（）A. 243B. 3/3C. 2 73D. 2 V3【答案】D【解析】【分析】设AC= m,解直角三角形求出 AB, BC, BD即可解决问题. 【详解】设 AC= m,在 RtAABC中，/ C= 90°, Z ABC= 30°, .AB=2AC= 2m, BC=用AC= Qm,-.BD = AB= 2m, DC= 2m+ 73m,.tan / ADC= =广 =2 - 3 .CD 2m 、3m故选：D.【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角

8、的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.6.如图，点。为3BC边AC的中点，连接 BO并延长到点 D,连接AD、CD,若BD=12, AC=8, /AOD= 120 °,则四边形 ABCD的面积为（）A. 2 石B, 2&C. VTqD. 2473【答案】D【解析】【分析】分别过点A、C作BD的垂线，垂足分别为 M、N,通过题意可求出 AM、CN的长度，可计 算三角形ABD和三角形CBD的面积，相加即为四边形 ABCD的面积.【详解】解：分别过点 A、C作BD的垂线，垂足分别为 M、N,点。为AABC边AC的中点，AC=8, .AO=CO=4, . /

9、AOD= 120°, . / AOB=60 , / COD=60 ,32，AM AM sin/AOB AO 4sin/CODCN CNCO 4 AM=2B CN=2小.BDgAM-S*A ABD212c BDgCN> BCD2SI边形 ABCD =S*A ABD1222 .32SZ BCD2-3 12.3,12 3 12 3 24/3故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键7.如图，那BC的外接圆是。O,半径AO=5, sinB=2,则线段AC的长为()5A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO并延长交。于

10、点D,连接AD,由CD是。的直径，可得/ CAD=90,又由2。的半径是5, sinB=2,即可求得答案.5解：连接CO并延长交。于点D,连接AD,由CD是。O的直径，可得/ CAD=90 ,/ B和/ D所对的弧都为弧 AC,Z B=/D,即 sinB=sinD=,5半径 AO=5,.CD=10,.-AC AC2一sin D ,CD105 .AC=4,故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直 角是解题的关键.8 .奔跑吧，兄弟！ ”节目组，预设计一个新的游戏：奔跑”路线需经A、B、C、D四地.如图，其中 A、B、C三地在同一直线上， D

11、地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西 45方向.C地在A地北偏东75 °方向.且BD=BC=30m.从A地到D地的距离是（A. 30 73mB. 20 75mC. 30>/2 mD. 15 76 m分析：过点D作DH垂直于AC,垂足为H,求出/ DAC的度数，判断出 4BCD是等边三角 形，再利用三角函数求出 AB的长，从而得到 AB+BC+CD的长.详解：过点 D作DH垂直于AC,垂足为H,由题意可知/ DAC=75 - 30 =45°.;BCD是等边三角形，/ DBC=60°, BD=BC=CD=30m, DH= x 30=15/3 , AD

12、=72DH=15而 m.故从A地到D地的距离是15 J6 m.故选D.点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直 角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.9 .如图，某地修建高速公路，要从 A地向B地修一条隧道（点 A, B在同一水平面上）.为了测量 A, B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为,则AB两地之间的距离约为（A. 1000sin 米B. 1000tan米C.侬米tanD.幽米sin在 RtAABC 中，/ CAB=90 , / B=a,AC=1000 米,根据tanACAB

13、,即可解决问题.解：在RtABC 中，: CAB 900, B ，AC 1000 米,.tanACAB ' AB故选：1【点睛】AC 1000 ,米.tan tanC.本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识, 常考题型.属于中考10.如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD是菱形，点B的坐标是（0, 4）,点D的 坐标是（8瓜 4）,点M和点N是两个动点，其中点 M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点 N从点B出发，沿折线BCD以每连接BD, AC,交于点O',连接NM,过点C作CP，AB垂足为点 巳CPB

14、=90, .BO =473，CO =4bc=AB=Jo B2_OC28，,.AC=8,.ABC是等边三角形,. / ABC=60 ,BN=4x, BM=2x,秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设象大致是（）D.【答案】D【解析】【分析】根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时ABMN的面积，再写出当点 N在CD上运动时ABMN的面积，即可得出本题的答案;【详解】解：当0<x?2时，如图1 ：四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（0, 4）,点D的坐标是（8 J3 , 4）,.CP=BC： sin60 =8X =4 33，BP=4,M, N两

15、点的运动时间为 x, ABMN的面积为V,卜列图象中能表示y与x的函数关系的图A.B.C.BM 2x x BN xBP4 2 ' BC 2BM BN = 5BP BC又. / NBM=/CBP, . NBMA CBP, ./ NMB=Z CPB=90,11Svcbp- BP CP 2. S/NBMSVCBP即 y= SVNBM22BNBCSVCBP4 473 8 遍；BC 832x =23x22当2<x?4时，作 NEL AB,垂足为 E,图J四边形ABCD是菱形,.AB/ CD,.NE=CP=4.,3，BM=2x, .y=- BM NE = -g2xg4s/3 4技；22故选D

16、.【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键11.如图，平面直角坐标系中， A (8, 0) , B (0, 6) , / BAO, / ABO的平分线相交于 点C,过点C作CD/ x轴交AB于点D,则点D的坐标为()1)【答案】A【解析】【分析】延长DC交y轴于c.(3,2)F,过C作CG± OA于G, CH AB于E,根据角平分线的性质得到FC=CG= CE,求得DH= CG= CF,设DH = 3x, AH=4x,根据勾股定理得到 AD=5x,根据平行 线的性质得到/ DCA= / CAG,求彳导/ DCA= / DAC,得到CD= HG= A

17、D=5x,列方程即可 得到结论.【详解】解：延长DC交y轴于F,过C作CG, OA于G, CE± AB于E,. CD/ x 轴,DFXOB, / BAO, / ABO的平分线相交于点 C,FC= CG= CE, ,-.DH=CG= CF,- A (8, 0) , B (0, 6),.-.tanZ OAB= DHAHOBOA.OA=8, OB= 6,设 DH=3x, AH=4x, .AD=5x,1. CD/ OA,/ DCA= / CAG, / DAC= / GAC,/ DCA= / DAC, .-.CD= HG= AD=5x, 3x+5x+4x= 8,.DH=2, OH= 16 ,3

18、本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅 助线构造矩形和直角三角形是解题的关键.12.如图，有一个边长为 2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸【解析】【分析】根据题意画出图形,D. 4cm再根据正多边形圆心角的求法求出/AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可.【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm, OGi± BC, 六边形 ABCDE跳正六边形，BOC=360 + 6=60； . OB=OC, OGi± BC,/ BOG=/ COG=- / BOC =30 , 2 . OGXBC, OB=

19、OC, BC=2cm,“ 11BG= BC= X 2=1cm22 .OB=-BG-=2cm, sin30o og=Job2 bg2 J22 12 后，圆形纸片的半径为 J3cm, 故选：A.B G C【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性 质解答是解答此题的关键.sadA,()13.定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作即 sadA 底边:腰.如图，在 ABC 中，AB AC , A 2 B .则 sin B sadAA. 1B. V2C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】证明祥BC是等腰直角三角形即可解决问题.【

20、详解】解：AB=AC,.B=/C, / A=2/ B,.B=/C=45 , / A=90° ,在 RtAABC 中，BC= AC =72 AC,sin Bsin / B?sadA= -AC-gBC- 1BC AC ,故选：C.【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.14.如图，基灯塔 AB建在陡峭的山坡上，该山坡的坡度 i=1: 0.75.小明为了测得灯塔的 高度，他首先测得 Bk20m,然后在C处水平向前走了 34m到达一建筑物底部 E处，他在 该建筑物顶端F处测得灯塔顶端 A的仰角为

21、43°.若该建筑物E320m,则灯塔AB的高度 约为(精确到 0.1m ,参考数据：sin43 = 0.68, cos43 =0.73, tan43 °=0.93)()DCEA. 46.7mB. 46.8mC. 53.5mD. 67.8m【答案】B【解析】【分析】根据山坡的坡度i=1： 0.75,可得"旦=4,设BD= 4x, CD= 3x,然后利用勾股定理求得 CD 3BD= 4x= 16m, CD=3x=12m；再利用矩形的性质求出FG= DE=46m, BG= DG - DB= 4m,最后利用三角函数解直角三角形即可.【详解】 解：如图，ADC= 90

22、76;, i=1: 0.75,即 BD =设 BD= 4x, CD= 3x,贝U BC= J(4x)2(3x)2 =5x=20m ,解得：x=4,-.BD = 4x= 16m, CD= 3x= 12m,易得四边形DEFG是矩形，则 EF= DG= 20m, FG= DE= DC+CE= 12+34=46 (m), .BG=DG- DB= 4m ,在 RtAAFG 中，AG= FGtan / AFG= 46 - tan43 ° =46X=0.412.78 ( m), .AB=AG+BG= 42.78+4 = 46.8(m),故选：B.【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用 一仰角和俯角

23、问题、坡度坡比问题，灵活运用三角函数是 解答本题的关键.15.如图，等边VABC边长为a，点。是VABC的内心，FOG 120 ,绕点。旋转FOG ,分别交线段 AB、BC于D、E两点，连接DE ,给出下列四个结论：VODE形状不变；VODE的面积最小不会小于四边形 ODBE的面积的四分之一；四边形ODBE的面积始终不变； VBDE周长的最小值为1.5a .上述结论中正确的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】连接OB、OC,利用SAS证出ODBZ OEQ从而得出ODE是顶角为120。的等腰三角形，即可判断；过点O作OHLDE,则DH=EH,利用锐角三角函数可得

24、OHOE和2DE=J3oE,然后三角形的面积公式可得SODE=OE2,从而得出OE最小时，SODE最4小，根据垂线段最短即可求出SAODE的最小值，然后证出 S四边形ODBE=SAOBC= Y3 a2即可判断12和；求出VBDE的周长=a+ DE,求出DE的最小值即可判断.【详解】解：连接OB、OCVABC是等边三角形，点 O是VABC的内心，/ABC=/ ACB=60 , BO=CO, BO、CO 平分 / ABC 和 / ACB_1_ 4-1_ 4 . / OBA=Z OBC= / ABC=30 , / OCA=Z OCB= / ACB=3022 ./ OBA=Z OCB, / BOC=1

25、80 -Z OBC / OCB=120. FOG 120FOG /BOC ./ FOG- / BOE之 BOC- / BOE . / BOD=Z COE在AODB和OEC中BOD COEBO COOBD OCE . ODB0 AOEC.OD=OE .ODE是顶角为120°的等腰三角形，VODE形状不变，故正确；过点O作OHLDE,则DH=EH.ODE是顶角为120°的等腰三角形，/ODE=/ OED=1 (180 - 120°) =30°2,1 . OH=OEsin/ OED=-OE, EH= OEcos/ OED=2 .DE=2EH= 3OE-1 S

26、aode= DE OH= 3oE2 OE最小时，SxODE最小，OE即为OE的最小值过点O作OE，BC于E',根据垂线段最短,11一 BE = BC= a22在RSBE中OE =BE，/(EOBE =|ax3= aS.ODE的最小值为 叵oe'2= B a2 448ODB0 AOEC13 2odbe=Saodb+ Saobe= Soec+ SaobE=Saobc=BC - OE a12 3 2 _1- 3 248 a 4 12 a1 0 SaoDE S 四边形 ODBE正确;即VODE的面积最小不会小于四边形ODBE的面积的四分之一，故3 2 S四边形ODB二a12.四边形OD

27、BE的面积始终不变，故正确；ODB0 AOEC .DB=ECVBDE 的周长=DB+ BE+ DE= ECF BE+ DE=BJ DE=a+ DEDE最小时VBDE的周长最小- DE= . 3 OEOE最小时，DE最小而OE的最小值为OE «3 a.DE的最小值为1VBDE的周长的最小值为 a+ a = 1.5a ,故正确;2综上：4个结论都正确， 故选A.此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面 积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三 角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键.16.如图，在

28、VABC 中，DE/BC,AF则DF的长为（）BC, ADE 30 , 2DE BC,BF 3乃A. 4C. 3,3 【答案】D 【解析】 【分析】先利用相似三角形的相似比证明点角三角形斜边中线性质求出 DF.【详解】解：DE / BC ,VADE VABC , 2DE BC , .点D是AB的中点， AF BC, ADE 30 , BF 3石, ./ B= 30°,B. 273D. 3D是AB的中点，再解直角三角形求得 AB,最后利用直ABBFcos306,，DF=3,故选：D.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形和直角三角形斜边中线性质，熟练 掌握性质的运用是

29、解题关键.A.3D.23317.如图，AB是。的直径，弦 CD± AB于E点，若AD CD 2底.则？C的长为（2B.3根据垂径定理得到 CE DE B ?C BD，/ A=30°,再利用三角函数求出 OD=2,即可利用弧长公式计算解答【详解】如图：连接OD,. AB是。的直径，弦 CD± AB于E点，AD CD 2忌,c CE DE 73, ?C BD , / A=30 ,. / DOE=60 ,.OD=DEsin60o2,'Be的长=?D的长=6V故选：B.【点睛】此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题18.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60 nmile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船 B与小岛A的距离是（A. 30 J3 n mileB. 60 n mileC. 120 n mileD. (30 30.3) n mil