高等数学偏导数第七节方向导数题库精编

1、【090701】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求z = x+y ,在点沿单位圆22x +y =1外法线方向的方向导数。21-5,5（lnj=ln 2【试题答案及评分标准】cos： = cos ' = 22（4分）所以；:n2,2=+22（10 分）【090702】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求z = 3x+2y在点（1,1）沿单彳圆x2 +y2 =2外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】cos： = cos '2（4分）.：z c -：Z c=3= 2.x：:yz 2 八-25、. 2所

2、以一 二3 一 2 二.:n（10 分）【090703】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数 z = x，ln（1 + y）在点（1,1）沿曲线2x2 -y2 = 1切线（指向 x增大方向）向量的方向导数。【试题答案及评分标准】4xtan a =（1,1） 22ycos =二1cos :5（4分）所以-=ln（1 y）cos 二xcos :不 IL1 y （i,i）（10 分）11.52【090704】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】exx【试题内谷】求函数z = ln 2 :在（0,1 ）点沿曲线y=ex切线正向（指向x增

3、大方向）<1 + y 7的方向导数。【试题答案及评分标准】'x,tan a = y x包=e x=9 = 1cos二2（4分）(0,1)二1;:Z _一(0,1)二-y2y1 y2（0,i）二 一1所以z /- 2二1 .:a 22(-1)=02(10 分)【090705】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数 z = x2 +lnarctany在（1,1）点沿5方向的方向导数，其中 a为曲线y = x2在（1,1）点的切向量，方向为x增大的方向。【试题答案及评分标准】cos：(4分)CZ丁 (1,1) =2x (1,1) =2ex112二

4、42 (1,1)二二arctan y 1 + y 冗所以：Z=2122 =2(二 2):a . 5 二.5 二.5(10 分)【090706】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数 z = y - ex在（1,e ）点沿曲线y = ex切线正向（x增大方向）的方向导数。【试题答案及评分标准】'xtana =y xm =e x=ecos(4分):x(1,e)(1,e)=-e-z-y(1,e)【试题内容】求函数z = x2+2y在（1,1）点沿a方向的方向导数，其中a曲线 ，二z1e所以=-e次 11 x o 0（10分）-a . 1 e（10 分）

5、【090709】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】. 1 e2【090707】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】 设z = （cosx）y, l为曲线y =1+sin2x在 x = 0处的切向量（指向大方向），求.:z:（0,1）°【试题答案及评分标准】tana = y x=s = 2cos2x x=0 = 2（4分）uz/、y -1 /,、（0,1）= y（cosx） （ sinx）（0,1）=0出攵，、y、-一（0,1）=（cosx） n（cos x）（0,1）=0 y（10 分）所以工=0 ;【090708】【计算

6、题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求z = arctanxy在点（1,1 ）沿曲线2x2 + y2 = 3外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】2x切线斜率 tana = y （1,1） = 一一（1,1） = -2y.1法线斜率tan :=-2一 .2.1所以cos = sin中=7（4分）（1,1）1 （xy）2（1,1）（1,1）x1 （xy）2（1,1）所以x2 +y2 =2x在 （1,1原的内法线向量。【试题答案及评分标准】切线斜率tan二.x - 1(1,(1) = 0y内法线向量n0=0, -1 , cos a = 0cosP = 一1(4

7、分):x.:zyz所以；:n(1,1) = 2x一 2y（i,i） 一 2(i,i) = 2In 2(1,1) = 2 ln 2=2 0 21n2 (-1) = -2ln2(10 分)【090710】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数 z= Jy+sinx在11,：点沿a方向的方向导数，其中a为曲线x = 2sint, y = ncos2t在t=三处的切向量（指向6t增大的方向）。【试题答案及评分标准】-2 二 sin 2t叮一 2cost-Hcos：.二2 1sin =二二2 1(4分)cosx:x2% y sinx(1:z-y(1,221 y s

8、in x(1J 2：2所以:a=0 (22（一二一J(10 分)2.2、二2 1【090711】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】2 xy【试题内容】求函数 z =dt1 t4在点（i,-i）处沿a=11方向的方向导数。【试题答案及评分标准】（1,二）1 x4y8（1,）（1,二）cos:=一 z所以-2xy（1, J）（5分）.:a 2【090712】【计算题】【试题内容】求函数向的方向导数。cos -） （-1）1,22 .2（10 分）【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】u = arctan r,r = Jx2+y2十z2在点（1,1,1）处沿5 =

9、 1,0,什方【试题答案及评分标准】cos-1=2（3分）；:u I.（1,1,1）x.:u-y（i,i,i）二 u I（1,1,1）一 z.:u1 r21 r21 r2（1,1,1）（i,i,i）（i,i,i）0-4、34.34、3（6分）（10 分）【090713】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数 u=sinr,r& + y2 +z2 在点（1,2,-2）处沿 a = <1,11方向的方向导数。【试题答案及评分标准】cos =cos : = cos = ；（3分）-：ux（i,2,q =cosr .（1,2,-2）1二一 cos33

10、-uy（i,2,i）= cosr y（1,2,-2）r二 2 cos33.:u（1,2，czz=cosr 一 r2（1,2, 2） = - - cos33（6分）.:u.:a 3. 31 cos3（10 分）【方向导数梯度】【090714】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【试题内容】求函数 r = .x（10 分）【090716】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【试题内容】求函数 u = y(x2 +z3)在点(2,1,1) 【试题答案及评分标准】 y2 - z2在点M0(x0,y0,z0)处沿M0到坐标原点方向M0O的方向导数。【试题答案及评分标准】0y。0cosZ00（

11、3分）其中r0=x2y2z2.:rX0.:ry0.:rZ0.XM0:yM0M0（7分）二 r所以:aYo20（10 分）【090715】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数zu =xy在点（1,2,-1）处沿= 1,2,2方向的方向导数。【试题答案及评分标准】1cos =二一 3cos :（3分）：:u-：x-：u：:y,：u-z（1,2,）（1,2,）（1,2, J）=xyyz 1 x（1,2, 4）.zIn x zy（1,2,4） = 0In x yz In y（1,2,4） = 0（7分）【方向导数梯度】处沿该点向径方向的方向导数ocos y =

12、1L=6 6(3分)一,2-1r = 2,1,1, cos a = = cosP = 76, 6 (2,1,1) = 2xy (2,1,1) = 4ex/、,2Tn一(2,1,1) - (x +z ) (2,1,1) - 5硒CUo 2o小八、(2,1,1) = 3yz (2,1,1) = 3(6 分) cz所以史=4M福十5父工+3父工=%(10分)2r 、,6.6,6,6【090717】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数u=zx y在点(1,2,1)处沿a = 3,32方向的方向导数。【试题答案及评分标准】cos： = 3 cos- 322. 22

13、cos =(3分)旬 (1,2,1) ex自丁 (1,2,1)yx Icyz ln z (1,2,1) 0=z (1,2,1) = 1U Ixj_ (1,2,1) = y ,x z (1,2,1) = 2 cz所以：u 二 32 (一2 )二”,22. 22(6分)(10 分)【090718】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数 U=z ，在点(一3,4,1)处沿5 =，2,1方向的方向导数。x2 y2【试题答案及评分标准】3cos ;：. 14cos(3分)丁(,4,1)= ex(34,1)xz3/2 二一2 3/2(,4,1)- CL(x +y )1

14、25yz_ -4z 2,23/2 (-3,4,1)(x +y )125.:u=("1) zz("1)(6分)所以.:u 33(125.1412526145 , 14125、14(10 分)【090719】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】2【试题内容】求函数 u = z ex N在点（0,1,2）处沿a=m,1,2方向的方向导数。【试题答案及评分标准】cos 二=0cos y = 35(3分).:u改.:u.:u.z所以Fa(0,1, -2)(0,1, 2)(0,1, -2)二 2xzex2 y2=2 yzex2 -y2二 e'2 y2(0

15、,1,-2)(0,1,0(0,1, 2) 二 e-2-4e(6分)= (-4e)> - ：e () = - e , 5.5.5(10 分)【090720】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数 u = x2 y2 - z-xy在点（1,1,2)处沿a=1,1,2方向的方向导数。【试题答案及评分标准】cos： = 1 cos： =1 .6. 6cos(3分)ru.x-：u：:y,：u-Z(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)所以u=(2x - y) (1,1,2) = 1=(2 y - x) (1,1,2) = 1=2z【090721】【计算题】【

16、试题内容】求函数(1,1,2) =410(6分)为(2, 1, 1)。(10 分)【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】u=exyz在点P0（1, 0, 1）处沿BP,方向的方向导数，其中P1的坐标【试题答案及评分标准】=1 cos' =1 ,2. 2cosY = 0 （4 分）.:u.x.:uPoxyz二 yzeP）P0xyz=xze-1-：u IJP0xyz=xyeP)（7分）（10 分）所以jl【090722】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u = x222 ,+ y +2z 在点 P0 （1, 1,1)处沿RO方向的方向导

17、数,其中 O为坐标原点。【试题答案及评分标准】P°O - ：-1,-1,-1：-1 cos =cos - = cos =（3分）ru一 xp0 =2xp。=2GUP）=2y3P0= 2加I会。=4zP0（6分）所以-u =2二1 fl . 3-1（10 分）【方向导数梯度】【090723】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【试题内容】求函数 u = xyz2在点P)(1, 2, 1)处沿PoP1方向的方向导数，其中n（2,-1,3）o【试题答案及评分标准】1:一 3（3分）P0Pl.1,-3,4.',cos,cosl' : ,cos.26. 26-u三xP02

18、=yzp0=2P0_2二xz 1-u-：zFb=2xyzP0 二 一4（6分）所以史=2 M二二十(-4) M 二=-7L(10 分)；1. 26.26. 26.26【090724】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】ar【试题内容】求函数u = j=在点 巳(1, 2, 2)处沿 r0方向的方向导数，其中F=x,y,z,a为常向量，了 = OP0。【试题答案及评分标准】a ".ax,ay,azu =ax x ay y az zr0icos: ,cos l-,cos J =1 -2 2一,一3 3 3(4分)22的 _axy +a*z -ayxy -azxz_

19、8a*+2ay_2az77 P0 =/ 2 二2 二 2、3/2P0 =ZZex(x +y +z )2722cuayx +ayz axxyazyz5ay +2ax+4azP0 =/ 2 二2 °一 2、3/2P0 =ZZcy(x +y +z )27Uaz(y2 +x2) -a*xz-ayyz_5az_2ax+4ay P0 =/ 2 二2 1 2、3/2P)=所以二u 0.rcz(x + y +z )271= (8ax 2ay -2az) -2(5ay 2ax 4az) 81(10 分)2(应 - 2ax 4ay) =0【090725】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导

20、数梯度】x 1 v-2z【试题内容】求函数 u = xy + 3yz-zx在点(1, 2, 0)处沿与直线 =y-=平行2-13方向的方向导数。【试题答案及评分标准】2-13a = ±12, 1,3,cosa = ,cos 口 = ,cos ' =(4 分),1414.14cu (1,2,0) ex，、c的，,=(y -z) (1,2,0) =2 (1,2,0) = (x +3z) (1,2,0) =1电.7T (1,2,0) cz3二 (3y -x) (1,2,0) =518=+,J4(10 分)【090726】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试

21、题内容】求函数2 .u = x ln(y +3z)在点(1,2,2）处沿平面5x - y - z = 1法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】'5, -n - -5, -1, -1; ,cos -二，cos ：=-,271.27(4分).:u:x.:u.z(1,2,2)(1,2,2)= 2xln(y 3z)(1,2,2) = 2 ln 8:u2x(1,2,2)二y 3z(1,2,2)3x2y 3z_ 3(1,2,2) = "8：u所以；:nv127 >(10 分)38【方向导数梯度】51=2ln8 2,；27 827【090727】【计算题】【较易0.3】【方向导数

22、与梯度】【试题内容】求函数 u=x2 xy+8x+z在点（0,1,1）处沿平面3x +5y -4z = 1 法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】n = ±3,5,-4,cosa =±-3=5.2,cos P = ,cos2.二452(4分):u.x(0,1,1)= (2x y +8)(0,1,1) = 7(0,1,1) 二 -x(0,1,1) = 0-:u:z(0,1,1)所以胃31=7 0x 十1IL 5 2. 2-4 =_ 175252(10 分)【090728】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数u = z - arct

23、anxJ在点(1, 1, 2)处沿平面3x + 2yz=3法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】3.2_ 1n = <3,2, -1 ： ,cos ： = ,cos - = ,cos = ' .14.14. 14(5).:u.x(1,1,2)-:y(1,1,2)x222(1,1,2)x + y.:u.:z(1,1,2)二 u所以；:n1 32.1412(一)(2) ,14二二 1214(10)【090729】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数z = ln(x2 +y2)在点M0(x0,y0)沿过该点的等值线的外法线方向的方向导数。【试

24、题答案及评分标准】等值线方程为x2 +y2 =x2 +y：,外法线向量xo,y。,所以x0.y°cos： =,cos -2222x° y°x° y°(5分)工二冬cos 一 nx0 y022y0 2 cosP = ： 2x0V。. x2 - y2(10 分)090730【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数2 -y2在点M 0(x°, y°)沿过该点的等值线外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】等值线方程为x2y=x2 , y：x0 cos =. x0 y0cos!：；=y。(5分

25、)生=e2 2x0 .nX0. ex2 yo 2 y y0x2 - yo° . x2 - y2(10 分)【090731】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】22【试题内容】 求函数z+-y-在点49（2, 3）沿曲线+ = 2切线方向（指向 x增大方向）与外法线方向的方向导数。【试题答案及评分标准】y (2,3)切向量a = ：2,-3）cos： 1. 13sin ： 1法向量n = ：3,2）3 cos、打 二213sin 二 2. 13(5分).:z(2,3)2(2,3)-1.:z2y(2,3)(2,3)3所以.:z 2.:a.13於0.:z 32=十1

26、3-:n. 133一 =1 13133133(10 分)【090732】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数+2y2 在点（2,1）沿曲线x2 +2y2 =6外法线方向的方向导【试题答案及评分标准】法向量 n = tx,2y.'(21)(2,1)二12,2）cos'2=2x0 cos"： -4y0cos： =4.2-:n(10)【090733】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数 u = xy2z3在点（1,1,1）处方向导数的最大值与最小值。【试题答案及评分标准】-U 2 3c 32

27、 2=y z cos二1' 2xyz cos - 3xy z cos： i,：(iii)-:l= cos： ； 2cos： 3cos（4分）设 g - H,2,3J 10 - icos： ,cosF,cos J则更=g F =gcos中，其中中为g与E的夹角。 .:1当0 =L”2,3时，3取最大值g=屈；14：1当0 =二,2,31时，取最小值 _g = _ji4。（10 分）14Fl【090734】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数 u =xyz在点（1, 2, 2）处方向导数的最大值与最小值。【试题答案及评分标准】 =yzcos: - x

28、zcos： xy cos （1 22） .:1（4分）10-icos： ,cos ,cos=-4 cos 二二 2 cos : - 2 cos（5分）二 u则=g '1 = g cos邛,其中中为g与1的夹角。所以 .:1当01,仆时，取最大值,.6二1G = 2®当0 =3乜1,1时，取最小值-g = 26。（10分）,6日【090735】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】一 ，一一o o3x + z = 4 一【试题内谷】求函数 u=z-x2-2y2在点（1, 2, 1）处沿与直线i平行5x y - z = 2的向量a方向的方向导数。【试题答案及

29、评分标准】a = 1-18,3）cos：=-cos :二cos :一二一一,74.:u一 x.:u(1, 21)-2x(1,21) = -2:y.:u(1, 21)4 -4y(1,21) =8(1, 21)=1.:u.:n(1, 21)= ±k2) X (-) +8x8= +1 X|L三 74,74.7469=± ",74（10 分）【090736】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数=x2 +3y 2z2在点(1,0,x + y = 1 _1）处沿与直线平行的向量y z = 1a方向的方向导数。【试题答案及评分标准】a =

30、11-1,1)cos- 13cosP =不 Jcos y = ± J33(5分).：u5= 2cos'： 3cos I- 4 cos : 3(10 分)【090737】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数 z = x2+y2在点Po （3,3<3）处沿曲线P = 4（1+cos）在点p0处切线方向的的方向导数。【试题答案及评分标准】4 I - sin2(1 cosi) cos 二 I(3,3 3)-7i 仃=04 1-sin 9 cos6 +(1 + cos6)( -sin 8)学(5分):z.:x-Z-:l-=2x(3,3v3

31、) 人(3,3.3) =6（3,3、弓）2y(3,3. 3) = 6 3=：6(10 分)【090738】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数 z = x+y在点（1,1）处沿曲线P = 2cos8在该点处切线方向的方向导【试题答案及评分标准】tan =二（i,i）d xcos =二1cos: = 0（5分）（10 分）【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】:z:x2_ x yz（1,1,二）二一z2xy（5分）（1,1,）及a （1,1, ）z c=0.x（10 分）.:z/二1；:1【090739】【计算题】【试题内容】 求由x3 +y

32、3+z3 +3xyz + 2 = 0确定的隐函数在点 （1, 1, 1）处沿 x轴反向的方向导数【试题答案及评分标准】【090740】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求由 x3 +y3 +z33axyz=0确定的隐函数z = z（x, y）在点（0, 4）处沿a = 7,9方向的方向导数。【试题答案及评分标准】（2分）解：当 x =0, y =-4,得 z=4-z.x2_ x - ayz（0,二一 2z -axy=-a（0.z2_ y - axz（0,）一2z - axy（o. ）（6分）7- 9cos ： ,cos 130130；z -7a 9 :a1

33、130（10 分）【090741】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求由ez -xyz = e确定的隐函数z = z（x,y）在点（0, 1）处沿a =3,-5）方向的方向导数。【试题答案及评分标准】解：当 x0 =0,y。=1 时，。=1（2分）czyz 1二一（0.1）=-I=一& e -xy|（o.1） eczxz（0.1）= Fy e -xy（0.1）日 5（6分）3cos 二二 34；z 3- - :二34 e5sin ：-,34（10 分）【090742】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求由z33x

34、yz = a3 （a#0）确定的隐函数 z = z（x,y）在点（0, 0）处沿3=1,2方向的方向导数。【试题答案及评分标准】解：当 x=0, y=0时，zo=a=0（2 分）:z.x.z:y_ yz（0.0） 一 2z - xy（0.0）二=0（0.0）xz2z - xy=0（0.0）（8分）：z c二0 .a【090743】【计算题】（10 分）【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】求函数xey2 t20dt在点（0, 0）处沿a=-1,2方向的方向导数。【试题答案及评分标准】2Xe2ye -,:xd2teX o2yye2-:z:y（6分）-1cos：5:z _1

35、sin 二；-21答_、,5（10 分）【090744】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数z = xy2在点（1,2）沿3= 1,1方向的方向导数是【试题答案及评分标准】8210分【090745】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】【试题内容】函数 z = xsin y在点（2,三）沿33=：2,1）方向的方向导数是, , 、.31【试题答案及评分标准】, 3 110分【090746】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】函数 Z=|n（X+Y）在点（1, 3）沿5 = 1,仆方向的方向导2数是1【试题答案及评分标准】15 210分【090747】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】函数f （x, y） = x + y - Jx2 +y2在点（3, 4）沿 a =：-43 方向的方向导数【试题答案及评分标准】10分5【090748】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】函数z = xy在点（1, 2）沿& = 1,1方向的方向导数是【试题答案及评分标准】210分【090749】【填空题】【较易0.3】【方向导数与梯度】 【方向导数梯度】xey 一 【试题内容】函数z = /在点 y（2, 1）