高中数学平面向量知识点总结

1、中 数 学 必 修 4 之 平 面 向知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 晌量一般用a,b,c来表示，或用有向线段的uuuuur起点与终点的大写字母表示，如:AB ,几何表示法 AB , a ;坐标表示法a xi yj （x,y）.向量的大小即向量的模（长度）,记作| AB |即向量的大小，记作I a | t向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行.零向 rr量a = 0| a I =0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零

2、向量”这个条件.（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量.向量a0为单位向量I a0 | = 1.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以 移到同一直线上.方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a / b.由于向量可 以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上， 故平行向 量也称为共线向量.数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选 取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要 理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.相等向量：长度相等且方向相同的向量，相等向量经过平

3、移后总可以重合，记x x9为a b.大小相等，方向相同（x1,y1） （x2,y2）yi y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuu r uur rr uur uur uur设 AB a,BC b,贝（Ja+b=AB BC =AC（1） 0 a a 0 a； （2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线， 而差向量是另一条对角线，方向是从减向量 指向被减向量(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一 个向量的终点的有向线段就表示这

4、些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被 减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时， 用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：uuruuuruuur uuu uuuuuuABBCCDL PQ QRAR ,但这时必须“首尾相连”.3向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量. 记作a ,零向量的相反向量仍是零向量，关于相反向量有：(i ) ( a)=a； (ii) a+( a)=( a)+a=0;(111) 若a、b是互为相反向量，贝 a= b,b= a, a + b =0>向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与

5、b的差，记作：a b a ( b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积：实数人与向量a的积是一个向量，记作入a,它的长度与方向规定如下：(I ) a a ;(H)当 0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当0时，a 0 ,方向是任意的.数乘向量满足交换律、结合律与分配律.5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数 ,使得b = a.6平面向量的基本定理：如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1, 2使：a 1e12

6、e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意：(1)向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)，而向量平行 则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点， 以数代形，以形观数，用代数的 运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面 向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂 直等由于向量是一新的工具，它往往

7、会与三角函数、数列、不等式、解几等结 合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1给出下列命题：若| 3| = | b | ,则 a = b ;若A, B, 形的充要条件；-4r r a = b ,ulut uultC, D是不共线的四点，则AB DC是四边形ABC师平行四边-r ra = b的充要条件是| a|=| '且2 b；4-r r r r ir r右a/ b , b C ,则 a C ,其中正确的序号是、UUrUULTuuu uult uuuuult解：不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. 正确.; AB DC,|AB|DC| 且 AB/DC ,又A, B, C,

8、D是不共线的四点，一四边形ABC师平行四边形；反之,若四边形ABCM平行四边形，则,LUT UULTUUU UULTAB / DC 且 | AB| |DC |,UUU因此，ABuuurDC .正确.丁rb的长度相等且方向相同;r又b =r a ,C,一. b, C的长度相等且方向相同,c的长度相等且方向相同，故a=c.不正确.当a/ b且方向相反时，即使| 3|=| b| ,也不能得到a=b,故| a|=| b | 且/一一 r rb不是a = b的充要条件，而是必要不充分条件.不正确.考虑b=0这种特殊情况.综上所述，正确命题的序号是.点评：本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因

9、而容易遗 忘.为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活 中的模型进行类比和联想.例2设A、R C D、。是平面上的任意五点，试化简：uuuuuiruuir uuiruuiruuir ABBCCD, DBACBDuuu uuir OA OCuuu uuirOB COuuu uuir uum解：原式=(AB BC) CDuuu uuur uuirAC CD ADuuir uuir uuir原式=(DB BD) ACr uuir0 ACiurACuuu uuu uur uuir原式=(OB OA) ( OC CO)uuuuuruuruurruuuAB(OCCO)AB0AB例

10、3设非零向量ab 不共线，c=ka+b , d =a+kb ( k R),若 C / d ,试求k解：: c / cir r由向量共线的充要条件得：c =入d (入R)即 ka + b =X ( a+kbr). . (k X) a + (1 入 k) b = 0又a、b不共线k 0.由平面向量的基本定理k 11 k 0二.平面向量的坐标表小1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个r rr单包向量i, j作为基底,由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表小 成a Xir yr,由于a与数对(X,y)是一一对应的，因此把(X,y)叫做向量出的坐 标，记作a =

11、(X,y),其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标.(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：r.rrr(1)右a。必，bx2,y2,则 abx1V2uur(2)若 A X1, y1，B X2, y2 ,则 ABX2 为芈 y1r(3)右 a =(x,y),r(4)右a x,必r /、a =( x, y)r rX2, y2 ，则 a bXi y2X2yi0(5)若 ar，b%、V2r r ，则a bX1 X2Vi V2r右 a b ,贝U Xi X2yi y203向量的

12、运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算 的坐标表示和性质运 算 类 型几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法1 平行四边形法则2 .三角形法则r r,、a b (x &,y y)abba(a b) c a (b c)uuuuuuruuurAB BCAC向 量 的 减 法三角形法则r r,、a b (x &,y y)a b a ( b)uuu uuuAB BAuuu uur uurOB OA AB向量的乘法a是一个向量， 满足：>0时，a与a同 向；<0时，a与a异 向；=0时，a=0.a ( x, y)(a) ( )a()aaa(a b)

13、aba / b a b向 量 的 数 量 积a?b个数a 0或b 0时，a?b=0a0且b 0时，a?b |a|b|cos a,ba?bvy2a?b b ?a(a)?b a?( b) (a?b)(a b) ?c a ?c b ?c2|222a | a| , |a| vx y| a?b | |a |b |r r r r r n rrr r例 1 已知向量 a (1,2),b (x,1),u a 2b , v 2a b ,且 u/v ,求实数 x 的r r r r r r r r解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b , v 2abrr所以 u (1,2) 2(x,1) (2x

14、1,4), v 2(1,2) (x,1) (2 x,3) r r又因为u/v 所以 3(2x 1) 4(2 x) 0,即 10x 5解得x例2已知点A(4,0), B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线 AC和OB ( O为坐标原 点)交点P的坐标。uuuuuu解：设 P(x,y),则 OP (x, y),AP (x 4,y) 因为P是AC与OB的交点所以P在直线AC上，也在直线OB上uuu uur uuu uuur即得 OPOB, AP/ACuuuruur由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC ( 2,6), OB (4, 4)得方程组解之得xy6(x 4) 2y 0

15、4x 4y 033 故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3).三.平面向量的数量积1两个向量的数量积：r . rr r , r , r ,已知两个非苓向重a与b ,匕们的夹角为，则ab 二 |a| - | b | cosr , rr r叫做a与b的数量积(或内积).规定0 a 0rr rr2向量的投影：I b | cos =arbCR,称为向量b在a方向上的投影 投影的绝对 |a|值称为射影r r 入 rr , r3数量积的几何意义：a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积.4向量的模与平方的关系：a a a2 |a|25乘法公式成立:r2 ar2 ab2r r2a b22a6平面向量数

16、量积的运算律:r r r交换律成立：a b b ar rr r rcab对实数的结合律成立：a b 分配律成立:rr特别注意：(1)结合律不成立：a b c a b c ;rr(2)消去律不成立abac不能得到b cr rr rr r(3) a b =0 不能得至U a =0 b =0.7两个向量的数量积的坐标运算：r . rr r已知两个向重 a (x1,y1),b (x2,y2),则 a - b =x1x2 y1y28向量的夹角：已知两个非零向量a与b,作OOA=a,器，则/aob=(0°r1800)叫做向量a与b的夹角cos =cosa,ba?b _x1x2a ?b Jx y1

17、2yi y222x2y2rr当且仅当两个非零向量a与b同方向时，8 =0 ,当且仅当a与b反方向时8 =180,r同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9.垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a±t)e 10两个非零向量垂直的充要条件：a X b a b=O x1 x2 y1y2 0.平面向量数量积的性质例1判断下列各命题正确与否：rr r(1) 0 a 0; (2) 0 a 0;rr r r r 一.r r(3)右 a 0, a b a c ,则 b c ；,r r r r 一.r rr，若a b a c,则b c当且仅当a 0时成立；rrr产(5) (a b) c a (b c)对任意a,b,c向量都成立； (6)对任意向量a,有a2 a、解：错；对；错；错；错；对.r , rr rrr rr、，、r,例2已知两单包向量a与b的夹角为1200,若c 2a b,d 3b a ,试求c与rd的夹角rrrr一解：由题意，a b 1,且a与b的夹角为120 ,r b ra r b r a以 所01cos120一,2r r r r c c (2a b)(2 ar b)4a2 4a br同理可得r r r r r 而 c d (2a b) (3ba)7a3b2 2a2设为c与dr的夹角,则cos1727.1317,9118217 91 arccos