2020-2021九年级中考数学圆与相似解答题压轴题提高专题练习及详细答案

1、2020-2021九年级中考数学圆与相似解答题压轴题提高专题练习及详细答案一、相似1 .如图，已知直线li / 12 ,线段AB在直线li上，BC垂直于li交12于点C,且AB=BC, P是线段BC上异于两端点的一点，过点 P的直线分别交12 , li于点D, E(点A, E位 于点B的两侧，满足 BP= BE,连接AP, CE(1)求证：ABPCBE(2)连接AD、BD, BD与AP相交于点F,如图.BC当"时，求证：API BD;BC受当即 ”(n>1)时，设 PAD的面积为Si , PCE的面积为a ,求我的值.【答案】(1)证明：BC1直线11 ,/ ABP= /CBE

2、在 ABP和4CBE中，AB - CR.f-ABP = ZCBErBP =阻(2)证明：如图，延长 AP交CE于点H.ABPACBE,/ PAB= / ECR / PAB+ / AEH= / ECB / AEH= 90 °,/ AHE= 90 ；APXCE.BCBP ,即P为BC的中点，直线11 /直线12 , .,.CPDABPE,DP CP|一加一/.DP= EP.四边形BDCE是平行四边形，CE/ BD.APXCE, /.API BD.解：/F , . BC= nBP, .CP= (n-1)BP.1. CD/ BE,.,.CPDABPE,PD PC-n 1FE 加 I 令 Sa

3、bpee= S,则 S2= (n- 1)S,Sapaej= Sbce= nS, Spae= (n+ 1)S.S zi为由 PD二 一 -n - I. 5 F舱连,.Si= (n+ 1)(n- 1)S, S/ (n -i- 1) (n - 1)S g a ”5【解析】【分析】(1)由已知条件用边角边即可证得 ABPCBE；(2)、延长 AP交CE于点H,由(1)知ABPCBE,所以可得/ PAB= / ECB而/ / ECB吆BEC=",所以可得/ PAB+Z BEC亢,即 /AHE=",所以APLCE;已知BC团=2,则点P为BC的中点，所以易证得BE=CD由有一组对边平行

4、且相等的四边形是平行CE/ BD,再根据平行线四边形可得四边形 BDCE是平行四边形，由平行四边形的性质可得的性质即可求得 API BD;方法与 类似，由已知条件易证得 CP24BPE,则可得对应线段的比相等，然后可 将 PAD的面积和 PCE的面积用三角形 BPE的面积表示出来，则这两个三角形的比值即可求解。2.已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于点A (-1, 0)和点B (3, 0),顶点为D,点C是直线l: y=x+5与x轴的交点.(1)求该二次函数的表达式；(2)点E是直线l在第三象限上的点，连接 EA、EB,当ECABCE时，求 E点的坐 标；(3)在(2)的条件下，连接

5、 AD、BD,在直线 DE上是否存在点 巳使得/ APD=/ ADB? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 .【答案】(1)解：将 A (-1,0), B (3, 0)代入 y=ax2+bx-3,<a - b - J = 0得：以# a m d,解得：修 -，该二次函数的表达式为 y=x2-2x-3（2）解：当 y=0 时，x+5=0,解得：x=-5, 点C的坐标为（-5, 0）. 点A的坐标为（-1, 0）,点B的坐标为（3, 0）, .AC=4, BC=8. .EC/ABCEAC EC 4 EC/ ECA=Z BCE EC =*C ,即 EC = S ,EC=4 工或 EC

6、=-4 %二（舍去）,过点E作EFL x轴于点F,如图1所示， 直线l的函数表达式为y=x+5, .CEF为等腰三角形，CE=EF=4.OF=5+4=9, EF=4, 点E的坐标为（-9, -4）;（3）解：y=x2-2x-3= （x-1） 2-4, 点D的坐标为（1, -4）,AD=BD= Qii 7 -+ 8-。尸=2 6,由（2）可知：点E的坐标为（-9, -4）, 直线DE的函数表达式为 y=-4,过点A作AMLBD于点M,过点A作AN,直线DE于点N,如图2所示, 点D的坐标为（1, -4）,点A的坐标为（-1, 0）,点B的坐标为（3, 0）, 1 1 Saabd=二'X

7、3（-1） X 4=8AM= L-：=二 = J , / APD=/ ADB, AN AM . tan / APD=tan/ADB,即=,.PN=3,又点N的坐标为（-1, -4）,.点P的坐标为（-4, -4）或（2, -4）.综上所述：在直线 DE上存在点 P （-4, -4）或（2, -4）,使得/APD=/ADB.【解析】 【分析】（1）根据点 A, B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点 A, B的坐标利用相似三角形的性质可求出EC的值，过点E作EF1 x轴于点F,则4CEF为等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质

8、可求出CE, EF的值，进而可得出点 E的坐标；（3）利用配方法可求出点D的坐标，进而可得出 BD的长度，结合点 E的坐标可得出直线 DE的函数表达式 为y=-4,过点A作AM，BD于点M,过点A作AN，直线DE于点N,利用面积法可求出 AM的值，由ZAPD=Z ADB结合正切的定义可求出 PN的值，再结合点 N的坐标可得出点 P 的坐标，此题得解.3.已知在 ABC中，/ABC=90°, AB=3, BC=4.点Q是线段 AC上的一个动点，过点 Q作 AC的垂线交线段 AB （如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P(1)当点P在线段AB上时，求证： APQsABC；(2)当4P

9、QB为等腰三角形时，求 AP的长.【答案】(1)证明：. / A+/APQ=90 , /A+/C=90, . . / APQ=/ C.在4APQ与ABC中，. /APQ=/ C, / A=/A, .APQsMBC.（2）解：在 RtABC中，AB=3, BC=4,由勾股定理得： AC=5./BPQ为钝角，当APQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ.（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，由（1）可知， APQABC,PA M 3 - PB PB443AP - AB - PB - 3 - 3 3 .(II)当点P在线段AB的延长线上时，如题图 2所示， BP=BQ,/ BQP=Z P. /

10、BQP+Z AQB=90 ； / A+Z P=90 ； ：. / AQB=Z A。. BQ=AR.AB=BP,点B为线段 AB中点。.AP=2AB=2 X 3=6.4综上所述，当 PQB为等腰三角形时，AP的长为3或6.【解析】 【分析】(1)由两对角相等(/APQ=/ C, /A=/A),证明APQ>ABC。(2)当PaB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论 .(I)当点P在线段 AB上 时，如题图1所示.由三角形相似(APQsABQ关系计算 AP的长；(II)当点P在线 段AB的延长线上时，如题图 2所示.利用角之间的关系，证明点 B为线段AP的中点，从 而可以求出AP.3f -

11、下+b4.如图1,直线l:f与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,点C是线16段OA上一动点(0VACV方)，以点A为圆心，AC长为半径作OA交x轴于另一点 D, 交线段AB于点E,连结OE并延长交OA于点F.(1)求直线l的函数表达式和tan / BAO的值;(2)如图2,连结CE,当CE=EFM,求证：OCa4OEA;求点E的坐标；(3)当点C在线段OA上运动时，求 OEEF的最大值.3【答案】(1)解：把A (4, 0)代入1 广解得b=3,3 直线l的函数表达式为1， B (0,3), . AOXBO, OA=4, BO=3, gtan / BAO=4.X4+b=0(2)证明：

12、如图，连结 AF,.CE=EFZ CAE之 EAF, 又 AC=AE=AF / ACE玄 AEF, / OCE4 OEA, 又 / COEN EOA,.,.OCEAOEA.解：如图，过点 E作EHx轴于点H, 耳tan / BAO=, ,设 EH=3x, AH=4x, ，AE=AC=5x OH=4-4x, .OC=4-5x, .OCEOEA,OB oc.a=文即 OE2=OA OC,(4-4x) 2+ (3x) 2=4 (4-5x), 图解得x1=:芍，x2=0 (不合题意，舍去)52 36E (司,再).(3)解：如图，过点 A作AM, OF于点M,过点O作ONLAB于点N, . tanZ

13、BAO=cos/ BAO=16 - AN=OA cosZ BAO= 5设 AC=AE=r,0EN= -r,. ON LAB, AM LOF, I / ONE=Z AME=90 ； EM=工 EF, 又 / OEN=Z AEM,.OENAAEM, OE E AL =&I -I , 1即 OE- EF=AEEN, 16 .OEEF=2AEEN=2r ( 5 -r), 典 |61纠 16.OEEF=-2i2+ 5 r-2 (r- 5) 2+ 25 (0<r< j), 812当r= 5时，OEEF有最大值，最大值为 二%.【解析】【分析】(1)将点A坐标代入直线l解析式即可求出b值

14、从而彳#直线l的函数表 达式，根据锐角三角函数正切定义即可求得答案.(2)如图，连结 AF,根据等腰三角形性质等边对等角可得两组对应角相等，根据相似三角形的判定即可得证如图，过点 E作EHI±x轴于点H,根据锐角三角函数正切值即可设EH=3x, AH=4x,从而得出AE、OH、OC,由中相似三角形的性质可得OE2=OAOC,代入数值即可得一个关于x的方程，解之即可求出E点坐标.(3)如图，过点 A作AM, OF于点M,过点。作ONLAB于点N,根据锐角三角函数定义16160E可求得 AN=OAcosZ BAO= 5，设AC=AE=r,U EN=6-r根据相似三角形判定和性质可知 AE

15、 = 期16斑，即OEEF=-2i2+ 5 r= (0vrv 5 ),由二次函数的性质即可求此最大值.5.如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A(2,-4)、点B (3, -3),与x轴交于点C,直线AB交x轴于点D,交y轴于点E.(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；(2)直线 AFL x轴，垂足为点 F, AF上取一点 G,使GBAAOD,求此时点 G的坐标；(3)过直线 AF左侧的抛物线上点 M作直线AB的垂线，垂足为点 N,若/BMN=/OAF,求直线BM的函数表达式.【答案】(1)解：将原点O (0,0)、点 A(2, - 4)、点 B (3, - 3),分别代入a = 1b

16、 = - 4,解得 e 0y=ax2+bx+c, c = 04a + 2b 小心=-得 比十cy=x2-4x= 行 办 -顶点为(2, -4).(2)解：设直线 人8为丫=h+32k + b = - 4,1=1由点 A (2, -4) , B (3, -3),得 3 - b = - 3 解得;b 心，. .直线 AB 为 y=x-6.当 y=0 时，x=6, 点 D (6, 0).点 A (2, -4) , D (6,0) , B (3, -3),.OA=入口，OD=6, AD=心，AF=4, OF=2, DF=4, AB=X -,AG =-解得(3)解：如图1, / BMN=Z OAF, I

17、上如徵:/UFA =为',/ MBN=Z AOF,设直线BM与AF交于点H, / ABH=Z AOD, / HAB=Z ADO, aaod-a HBA,叫竹AB Ah )y=，点 G (2,)6则Q 钮,解得AH=直线BM的解析式为如图2,FG=AF-AG=4?H (2,)设直线 BM为y=kx+b,将点B、G的坐标代入得BD=AD-AB= ,心 V1-. / BMN=/OAF, /GDB=/ ODA, .HBDAAOD.必加，即6 人匕解得DH=4. 点H的坐标为（2, 0）.设直线BM的解析式为y=kx+b. r 2k b = 0 将点B和点G的坐标代入得：3小小b - 3 ,解得

18、k=-3, b=6.，直线BM的解析式为y=-3x+6.1综上所述，直线 MB的解析式为y= ' 或y=-3x+6.【解析】【分析】（1）将原点O （0,0）、点A （2, - 4）、点B （3, - 3）,分别代入 y=ax2+bx+c,联立方程组解答即可a,b,c的值，得到二次函数解析式；将解析式配成顶点ag aA式，可得顶点；（2）由GBAAOD,可得AD 一 0b ,分别求出 AD, AB, OD的长即可 求出AG,由点A的坐标，即可求出点 G; （ 3）点M在直线AF的左侧，可发出垂足 N可 以在线段AB上，也可以在 AB的延长线上，故有如图 1和如图2两种可能；设直线 BM

19、与 直线AF的交点为H,由（2）可知，参加（2）的方法可求出点 H的坐标，从而求出直线 BM的解析式.6.如图，AB是。的直径，弦 CD±AB于H, G为。上一点，连接 AG交CD于K,在 CD的延长线上取一点 E,使EG=EK EG的延长线交 AB的延长线于F.(1)求证：EF是。的切线；(2)连接 DG,若 AC/ EF时.求证：AKGDAKEG;4COSr - -r1若以，AK= i，,求BF的长.【答案】(1)证明：如图，连接 OGEG=EKC / KGE4 GKE=Z AKH,又 OA=OG,，乙 OGA=Z OAG, . CDXAB,/ AKH+Z OAG=90 ; /

20、KGE+Z OGA=90 ； .EF是。O的切线.(2)解：.AC/ EF,/ E=Z C,又 / C=Z AGD,/ E=Z AGD,又 / DKG=Z CKE.KGDAKGE.cost* 二 I j连接OG,如图所示.6 , AK=V'"，4 CHcosf - - - - - A 设 5 AC ,|纽普| , AC 双，则AH 刘KE=GE AC/ EF,，CK=AC=5K，HK=CK- CH=k.在RtAHK中，根据勾股定理得 AH2+HK2=AK2 ,即(3k)2 m M nk CH 4 ,-，则阳- J ,设。O 半径为 R,在 RtOCH 中，OC=R OH=R-

21、3k, CH=4k,由勾股定理得：OH2+CH2=OC2 ,在 RtOGF 中,4 例cosC - cos/GOF -125 25 25BF = OF -246214 cost1 -45【解析】【分析】（1）连接OG根据切线的判定，证出 /KGE+/ OGA=90,故EF是。的切线.(2)证/E=/ AGD,又/DKG=/ CKE 故KGDKGE连接 OGcosf -ACCff 泅，K ，则命熊，在RtAAHK中，根据勾股定理得 ah2+hk2=ak2即（3k） k-工&/正尸；由勾股定理得：OH2+CH2=Od06在 RtA OGF 中，123OF =24125 2515),动点 P

22、7.如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20, 0）和（0从点A出发在线段 AO上以每秒2cm的速度向原点 。运动，动直线 EF从x轴开始以每秒 1cm的速度向上平行移动（即 EF/ x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F,连接EP、 FP,设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为 t秒.（1）求t=9时，4PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得4PEF的面积等于40cm2?若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时， AEOP与4BOA相似.【答案】（1）解：. EF/ OA,/ BEF=Z BOA又 : / B=Z B,

23、 .BED BOA,EF BE "二：； )当 t=9 时，OE=9, OA=20, OB=15,20 X 6EF=8,/.Sa peF=归 EF?OE= X8X9=36m2)(2)解：.BEFBOA,BE ' OA (15 - t) 2G dEF= BO =15= j ( 15-t),y 二 X' (15-t) x t=40整理，得 t2-15t+60=0, =152-4 X 1 X<60, .方程没有实数根.，不存在使得4PEF的面积等于40cm2的t值(3)解：当 /EPO=Z BAO 时，EO/BOA,OP 0E 因二刿 |t|.赢=OB ,即DO =

24、T,解得t=6;当 / EPO=Z ABO 时, EOF AOB,OP OE 幽-刈 111OB = OA ,即15 = 26 ,86解得t=".86当 t=6 或 t= 11 时， EOP与 BOA相似【解析】【分析】(1)由于EF/ x轴，则Spef= - ?EF?OE t=9时，OE=9,关键是求 EF BEEF.易证BEDBOA,则OA =认，从而求出EF的长度，得出 4PEF的面积；(2)假设 存在这样的t,使得4PEF的面积等于40cm2 ,则根据面积公式列出方程，由根的判别式 进行判断，得出结论；(3)如果4EOP与4BOA相似，由于/ EOP=/ BOA=90 ,则只

25、能点 O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：点P与点A对应；点P与点B对应.8.【问题】如图1,在RtABC中，/ACB=90, AC=BC过点 C作直线l平行于 AB.Z EDF=90 ,点 D 在直线l上移动，角的一边 DE始终经过点B,另一边DF与AC交于点P,研究DP和DB的 数量关系.（1）【探究发现】如图 2,某数学兴趣小组运用 从特殊到一般”的数学思想，发现当点 D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB,请写出证明过程；（2）【数学思考】如图 3,若点P是AC上的任意一点（不含端点 A、C）,受（1）的启 发，这个小组过点 D作DGLCD交BC于点G,就可以证明

26、 DP=DB,请完成证明过程；（3）【拓展引申】如图 4,在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B） , N是射线BD上一点，且 AM=BN,连接MN与BC交于点Q,这个数学兴趣小组经过 多次取M点反复进行实验，发现点 M在某一位置时 BQ的值最大.若AC=BC=4请你直接 写出BQ的最大值.【答案】 （1）解：Z ACB=90 , AC=BC/ CAB=Z CBA=45 °1. CD/ AB/ CBA=Z DCB=45 ,° 且 BD± CD/ DCB=Z DBC=45 °DB=DC即 DB=DP(2)解：- DG± CD, Z

27、 DCB=45/ DCG=Z DGC=45 °DC=DG, / DCP=/ DGB=135 ； / BDP=/ CDG=90 °/CDP之 BDG,且 DC=DG / DCP=/DGB=135 , .,.CDFAGDB (ASA) .DB=DP（3）解：如图4,过点M作MHMN交AC于点H,连接CM, HQ,尸 %jJ EA图 4 " e-. MH ±MN , / AMH+Z NMB=90 °1. CD/ AB, Z CDB=90 °/ DBM=90 ° / NMB+Z MNB=90 °Z HMA=Z MNB,且

28、AM=BN, / CAB=/CBN=45 ° .AMHABNQ (ASQ .AH=BQ / ACB=90 ； AC=BC=4.AB=4, AC-AH=BC-BQ .CH=CQ/ CHQ=Z CQH=45 =/ CABHQ / AB/ HQM= Z QMB / ACB=Z HMQ=90 °.点H,点M,点Q,点C四点共圆，/ HCM=Z HQMZ HCM=Z QMB,且/A=/CBA=45 ° .ACMABMQ.,正一瓦I 4对I-(AM - 他PBQ=+2 .AM=2 时，BQ有最大值为2.【解析】【分析】(1) DB=DP, 理由如下：根据等腰直角三角形的性质得

29、出 /CAB=/ CBA=45 °,根据二直线平行，内错角相等得出/ CBA=/ DCB=45 °,根据三角形的内角和得出/ DCB=Z DBC=45 ,最后根据等角对等边得出DB=DC ,即DB=DP;(2)利用ASA判断出CDPGDB,再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DR(3) 如图4,过点 M 作 MHXMN交 AC于点 H,连接 CM, HQ, 利用 ASA判断出 AMHABNQ根据全等三角形的对应边相等得出 AH=BQ,进而判断出 点H,点M,点 Q,点C四点共圆， 根据圆周角定理得出 /HCM=/HQM ,然后判断出 ACMsBMQ ,根据相似三角形的对应

30、边成比例得出即 2£,根据比例式及偶数次塞的非负性即可得出求出答案.二、圆的综合9.如图，在 4ABP中,C是BP边上一点，/PAO/PBA。是4ABC的外接圆，AD是。的 直径，且交BP于点E.（1）求证：PA是。的切线；（2）过点C作C。AD,垂足为点 F,延长CF交AB于点G,若AG?AB=12,求AC的长.【答案】（1）证明见解析（2） 2 J3【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出 /ACD=90以及利用/PAC=/ PBA得出/ CAD+/ PAC=90进而得出答案；（2）首先得出CA84BAC,进而得出AC2=AGAB,求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图，

31、2 .AD是。O的直径，/ ACD=90 ;3 / CAD+Z D=90 ;4 / PAG / PBA, / D=Z PBA,5 / CAD+Z PAC=90 ;即 / PAD=90°,6 PAX AD,7 .PA是。O的切线；(2) - CF± AD, / ACF+Z CAF=90 : Z CAD+Z D=90 ； / ACF=Z D,/ ACF=Z B,而 / CAG=Z BAC, .,.ACGAABC,.AC： AB=AG： AC,.AC2=AG?AB=12, ，AC=2B10.如图，在直角坐标系中，已知点A(-8, 0), B(0, 6),点M在线段AB上。(1)如

32、图1,如果点M是线段AB的中点，且OM的半径等于4,试判断直线 OB与。M 的位置关系，并说明理由；(2)如图2, OM与x轴，y轴都相切，切点分别为 E, F,试求出点M的坐标；3G二E(3)如图3, OM与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为 坐标(直接写出答案)E, F,G,试求出点M的2)MD,根据直线和把 x=a, y= 一 a 代【答案】(1) OB与。M相切；(2) M ( 24，今)；(3)【解析】分析：(1)设线段OB的中点为D,连结MD,根据三角形的中位线求出 圆的位置关系得出即可；(2)求出过点A、B的一次函数关系式是 y= x+6,设M (a, - a)4入y=3x+

33、6得出关于a的方程，求出即可.4(3)连接 ME、MF、MG、MA、MB、MO,设 ME=MF=MG=r,根据S>A ABC=-AO?ME+ -BO?MF + -AB?MG=1AO?BO求得r=2,据此可得答案.2详解：(1)直线OB与。M相切.理由如下：设线段OB的中点为D,如图1,连结MD,点M是线段AB的中点，所以 MD / AO, MD=4, ，/AOB=/ MDB=90 ；，MD，OB,点 D 在。M 上.又.点D在直线OB上，直线OB与。M相切;(2)如图2,连接ME, MF,8k b.A (-8, 0) , B (0, 6),，设直线 AB 的解析式是 y=kx+b,，b

34、6得:k=3, b=6,即直线AB的函数关系式是y=-x+6.44(a, a) ( - 8< a< 0)OM与x轴、y轴都相切，点M到x轴、y轴的距离都相等，即 ME=MF,把 x=a, y=a 代入 y= x+6,得：a= a+6,得:4424，点M的坐标为(-7(3)如图3,连接ME、24 24, )77MF、MG、MA、MB、MO,OM 与 x 轴，y 轴，线段 AB 都相切，MEXAO. MF±BO> MGXAB,设ME=MF=MG=r,贝U Saabc= 1 AO?ME+1 BO?MF+1 AB?MG= 1 AO?BO.2222. A (-8, 0) ,

35、B (0, 6) ,AO=8> BO=6, AB= 6OB0r=10,1？8+1？6+厂?10=1X6内8解彳导:r=2,即 ME=MF=2, 点 M 的坐标为(2, 2222点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知 。的半径为r,圆心O到直线l的距离是d,当d=r时，直线l和。O 相切.11.如图AB是4ABC的外接圆。的直径，过点 C作。的切线CM,延长BC到点D,使CD=BC连接AD交CM于点E,若。OD半径为3, AE=5,(1)求证：CMXAD;

36、(2)求线段CE的长.【答案】（1）见解析；（2） J5【解析】分析：（1）连接OC,根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD,然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.CM切。O于点C,/ OCE=90,°.AB是。的直径，/ ACB=90 ,° .CD=BC.AC垂直平分BD,.AB=AD,/ B=/D/ B=/OCB/ D=Z OCB .OC/ AD / CED土 OCE=90 ° CMXAD.(2) OA=OB, BC=CD.OC=1AD2.AD=6DE=AD-AE=1Mffi ACDE-AACECE DEAE

37、 CE.CE2=AEX DE.CE= .5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间 的关系是解题关键，是中档题.12.如图，。是4ABC的内心，BO的延长线和4ABC的外接圆相交于 D,连结DC DA、OA、OC,四边形OADC为平行四边形.(1)求证：BOCCDA.(2)若AB=2,求阴影部分的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)-一尸X.【解析】分析：(1)根据内心性质得 /1 = /2, /3=/4,则AD=CD,于是可判断四边形 OADC为菱 形，则BD垂直平分 AC, /4=/5=/6,易得 OA=OG /2=/3,所以OB=OC,可判断点 O

38、 为4ABC的外心，则可判断 4ABC为等边三角形，所以 / AOB=/ BOC=Z AOC=12 0 ,BC=AC再根据平行四边形的性质得 /ADC=/ AOC=120°, AD=OC, CD=OA=OB，则根据 “SASE明BOXACDA;(2)作OH, AB于H,如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到1Z BOH=30 根据垂径定理得到 BH=AH=-AB=1,再利用含30度的直角三角形三边的关系2得到OH=Y3BH=Y3, OB=2OH=RI,然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用333S阴影部分=S扇形 AOB-SX AOB进行计算即可 详解：(1)证明：:。

39、是4ABC的内心,，/2=/3, Z5=Z6, / 1 = Z 2,/ 1 = Z3,由 AD/ CO,AD=CQ/ 4=/ 6,.,.BOCACDA (AAS)(2)由(1)得，BC=ACSZ3=Z4=Z6, / ABO/ACB .AB=AC .ABC是等边三角形 .O是4ABC的内心也是外心.OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC 在 RtOCE中，CE=-AC=-AB=1, Z OCE=30°22OA=OB=OC=2.3 / AOC=120 ,°SK 影=S扇 AOBSVAOB120/2 3、21c3=()-2360323=43百9点睛：本题考查了三

40、角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，： 角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心 就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计13.如图所示，以 RtABC的直角边AB为直径作圆O,与斜边交于点 D, E为BC边上的 中点，连接DE.(1)求证：DE是。的切线；(2) ,连接OE, AE,当/CAB为何值时，四边形 AOED是平行四边形？并在此条件下求 sin/CAE 的值.【答案】 见解析；（2）0.10【解析】分析：（1）要证 DE是。的切线，必须证 ED± OD,即/EDB+/ OD

41、B=90（2）要证AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点，又BD± AC,所以 ABC为等 腰直角三角形，所以 /CAB=45,再由正弦的概念求解即可.详解：（1）证明：连接O、D与B、D两点，.BDC是RtA ,且E为BC中点，/ EDB=Z EBD. （ 2 分）又 OD=OB且/ EBD+Z DBO=90 , / EDB+Z ODB=90 : .DE是。O的切线.（2）解： / EDO=Z B=90°,若要四边形AOED是平行四边形，则 DE/ AB, D为AC中点，又 ; BD± AC, .ABC为等腰直角三角形./ CAB=45 :过E作

42、EHI±AC于H,、一 一 2-设 BC=2k,则 EH=2k, AE=V5k,EH .10 sin / CAE.点睛：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心 和这点（即为半径），再证垂直即可.14.定义: 数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一 半，那么称三角形为 智慧三角形” .理解：如图1,已知是。上两点，请在圆上找出满足条件的点 C，使445。为智慧三 角形”（画出点1c的位置，保留作图痕迹）；如图2 ,在正方形ABCD中，石是的中点，F是CQ上一点，且CF = CD，试 判断Q4EF是否为 智慧三角形”

43、，并说明理由； 运用：如图3 ,在平面直角坐标系 工。中，O0的半径为1，点。是直线1y = 3上的一点，若 在。上存在一点P ,使得盘。尸。为智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此 时点尸的坐标.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3） P的坐标（22 ,1），（逋，333-）.3【解析】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于 C1,连结BO并且延长交圆于 C2,即可求解；（2）设正方形的边长为 4a,表示出DF=CF以及EG BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根据勾股定理逆定理判定AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得4AEF为智慧三角形”；（

44、3）根据 智慧三角形”的定义可得4OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边为 1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为 3,根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可 求斜边的高，即点 P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解.试题解析：(1)如图1所示：图1(2) 4AEF是否为智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a, .E是DC的中点， . DE=CE=2a,. BC: FC=4: 1,FC=a, BF=4a- a=3a,在 RtADE中，AE2= (4a) 2+ (2a) 2=20a2,在 RtECF中，E卢=(2a) 2+a2=5a2,在 RtMBF 中,AF2= (4a) 2+ (3a) 2=25a2,，AE2+E*=AF2, .AEF是直角三角形，:斜边AF上的中线等于 AF的一半， .AEF为 智慧三角形”；(3)如图3所示：由智慧三角形”的定义可得4OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为3,由勾股定理可得 PQ=Jm=才 二工五,1PM=1X2 g + 3=3由勾股定理可求得 OM二故