2019-2020学年山东省青岛市胶州市高一上学期期末数学试题(解析版)

1、2019-2020 学年山东省青岛市胶州市高一上学期期末数学试题、单选题1 .已知扇形的圆心角为 30。，半径为6,则该扇形的弧长为（）A.B . C. -D .-【答案】A【解析】利用弧长公式l r即可求解.【详解】扇形的圆心角为30 一,半径为r 6, 6所以扇形的弧长为l r 6.6故选：A【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，注意在运用公式时,圆心角需用弧度制表示， 属于基础题.2 .大西洋鞋鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鞋鱼的科学家发现鞋鱼的游速V第19页共18页1 . Q（单位：m/s）可以表本为v log3* ,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.当一条 2100鞋鱼的防I速为 3

2、 m/s时，则它的耗氧量的单位数为（）2A. 900B. 1600C. 2700D. 8100【答案】C3【解析】 将v m/s代入式子，利用指数式与对数式的互化即可求解2【详解】210g31003，当v 一时,2 Q 33,解得 33 27,100,31Qr Q则一一10g3，即10g3 2 2100100所以Q 2700.故选：C本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题3.函数f(x)3A-（ 2,2）【答案】A1，, 一 一I lg( x 2)的定义域是().3 2x3B. ( 2,-C. ( 2,)2D- (2,【解析】要使函数有意义，则需x 2>0,且3 2x >0,即

3、可得到定义域.要使函数有意义，则需x 2 >0,且 3 2x>0,即有x >-2且xv 3 ,2则-2 vxv 3 ,2-3即定义域为2,-.故选：A.【点睛】本题考查函数的定义域的求法，注意对数真数大于0,偶次根式被开方式非负，分式分母不为0,属于基础题.4.角的终边上一点（1,6）,则cos（C.【解析】 首先利用三角函数的定义求出sin,再利用诱导公式即可求解根据题意可得sin,312 3,32cos(-)cos 一2故选：A本题考查了三角函数的定义以及诱导公式，需熟记公式，属于基础题5 .已知(0,)，则“一”的必要不充分条件是( 6)A - cos、3BB.c&qu

4、ot;1小，,3sinC . tanD. sin 鹤2232【答案】B【解析】根据角与三角函数值以及必要不充分条件的定义即可求解由(0,)对于A,时，cos 6Y3,反之也成立，故 A不正确;2.115对于B,当 一时，sin 一,反之当sin 一时， 一或-6 ,一” .1.,故 的必要不充分条件是 sin 2 ,故B正确；、3对于C, g时，tan ，反之也成乂，故 B不正确；对于D,显然不成立, 故选：B本题考查了必要不充分条件的定义，同时考查了特殊角的三角函数值，属于基础题6 .函数f(x) lgx与g(x) cosx的图象的交点个数为()A. 1B. 2C . 3D .不确定【答案】

5、C【解析】 在同一坐标系中，作出函数 f(x) lgx与g(x) cosx的图象，即可求解【详解】在在同一坐标系中，作出函数f(x) lgx与g(x) cosx的图象，如图:由图可知，两函数的交点个数为3.故选：C【点睛】本题考查了余弦函数与对数函数的图像，属于基础题7 .函数f(x) cos 一 5所以当sin x 时，f x . max 4故选：D【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及正弦型三角函数的最值，属于基础题8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x) f (x 4),且f (1) 1,则f (2019) f (2020)()A.1B . 0C. 1D. 2【答案】A

6、x sinx(x R)的最大值为()C. 1A.1【解析】利用同角三角函数的基本关系将函数化为2f (x) sin x sinx 1(xR),配方即可求解.【详解】2 2f (x) cos x sinx sin x sin x 121 5sin x-，又 1 sin x 1 ,2 4【解析】利用函数的周期性可得 f(2019) f (2020) f 1 f 0 ,再结合函数为奇函数的性质即可求解.【详解】由f(x) f(x 4),所以函数的周期为 T 4，即 f (2019) f (2020) f 1 f 0 ,Q函数f(x)是定义在R上的奇函数，f (1) 1,f 1 f 11, f 00,

7、f (2019) f (2020)1 01.故选：A【点睛】本题考查了函数的周期性与奇偶性的应用，需熟记奇函数的性质，属于基础题 二、多选题9 .下列函数是偶函数的是()A. f (x) tanx b. f (x) sin x C. f (x) cosx d. f (x) lg|x|【答案】CD【解析】利用偶函数的定义即可判断 .【详解】对于A, f (x) tanx,定义域为 x Rx k ,k Z关于原点对称， 2且f x tan x tanx f x ,即函数为奇函数，故 A不选；对于 B, f (x) sin x,定义域为 R, f ( x) sin x sinx f x ,即函数为奇

8、函数，故 B不选；对于 C, f (x) cosx,定义域为 R, f( x) cos x cosx f x ,即函数为偶函数，故 C选；对于D, f (x) lg|x|,定义域为 x R x 0关于原点对称，f( x) lg | x | lg x f x ,即函数为偶函数，故 D选；故选：CD【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，需熟记奇偶性定义以及判断函数奇偶性的方法，属于基础题.10 .已知 a 30.1,b logo.9 3,c sin(cosl),则下述正确的是()A.abB.acC. bcD. b 0【答案】AB【解析】利用指数函数、对数函数以及正弦函数的单调性即可求解【详解】Q y

9、 3x为增函数，则30.1 30 1 ,即a 1,Q y 10g0.9 x为减函数，贝U logo.9 3 log。/ 0,即 b 0,Q y sinx 在 0,为增函数，0 cos1 1,则 0 sin cos1 1,即 0 c 1, 2故选：AB【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数以及正弦函数的单调性比较大小，属于基础题.2x ,x (,0)11 .已知函数f(x) 1n x, x (0,1),若函数g(x) f (x) m恰有2个零2x 4x 3,x1,点，则实数m可以是()A.1B . 0C. 1D. 2【答案】ABC【解析】令g(x) f (x) m 0,可得f x m,在同一直

10、角坐标系中作出y f x与y m,利用数形结合即可得出选项.【详解】令 g(x) f (x) m 0 ,则 f x m ,在同一直角坐标系中作出y f x与y m,只需两函数有两个交点即可.由图可知当 m 1,0,1时，两函数均有两个交点,故选：ABC【点睛】本题考查了根据函数的零点个数求参数值,考查了数形结合的思想，属于基础题12 .已知0tan 是方程x2kx2 0的两不等实根，则下列结论正确的是（A. tan tanB.tan(D.k tan【答案】BCD【解析】根据题意可得tan tantan2 ,再利用两角和的正切公式可判断B ,利用基本不等式可判断C、D由tantan是方程x2 k

11、x0的两不等实根,所以tantan k, tantan2,tan(tan tan1 tan tan,tan , tan 均为正数, 2贝U tantan k 2jiOntan_ 272 ,当且仅当 tan tan 取等号,成立tan 取等号k tan 2tan tan 2 J2tan tan 4,当且仅当 2tan故选：BCD【点睛】本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.三、填空题13 .若 tan 2,则 cossin1 tan1231故答案为：- 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了齐次式，属于基础题14 .已知哥函数y f

12、(x)的图像过点(2, J2),则f (4) .【答案】2【解析】设备函数f xxa,将点2,J2代入函数y f x的解析式，即可求得f(x)的解析式，进而求得f (4).【详解】设 f x xaQ 哥函数y f(x)的图像过点(2,J2),f 22aV2可彳导:a 21f xx28ssin .cos sin1【答案】-3 3cossin【解析】利用同角三角函数的基本关系，将型s-sn一分子、分母同除cos即可cos sin求解.【详解】3cossin3 tan3211f (4)42 2故答案为：2.【点睛】本题考查募函数的基本性质 ，求出哥函数的解析式是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能

13、力，属于基础题.15 .求值：sin220 (tan104).【答案】1【解析】利用诱导公式以及两角差的正切公式可得sin 40o tan 50o1 tan10otan 60o ,再利用同角三角函数的基本关系以及辅助角公式即可化简求值.【详解】sin220 (tan10 、3) sin40 tan10 tan60oo ooocos10o 3 sin10osin 40otan50osin 40 tan 10 601 tan10 tan 60ocos10=sin50o2cos 60o 10ocos1C°sin50o2cos50osin80ocos40o2cos50o2sin 400 co

14、s40o1.故答案为：1【点睛】 本题考查了诱导公式、两角差的正切公式、辅助角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.16 .已知函数 f(x) 10g1x a, g(x)x2 2x,对任意的Xi ：2,总存在x2 1,2,使得f(x1) g(x2),则实数a的取值范围是 【答案】0,1【解析】分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数f x , g x的值域，然后利用函数f x的值域是函数g x值域的子集，列出不等式,求得结果.详解：由条件可知函数 f x的值域是函数g x值域的子集,1 一当 Xi,2 时，f x 1 a,2 a ,当 鹏 1,2 时，

15、g x 1,3 ,41 a 1所以c c ，解得0 a 1,故填：0,1 . 2 a 3点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意为D ,存在加E ,满足fxgx2,即转化为f xming x min ,若是任意xiD ,任意x2E ,满足fxgx2,即转化为f xming x mx ,本题意Himmax在考查转化与化归的能力.四、解答题17 .已知集合 A y|y 2x, 1 x 2,集合 B x R| 1 In x 2,集合2C x R |x2 x 6 0.(1)求 B C ;(2)设全集 U R ,求(CuA)I C ；21(3)若 a |g0.05

16、eln7 273 lg,证明：a AUB.【答案】(1) 3,e2 (2) (, 2U 4,(3)证明见解析【解析】(1)利用指数函数、对数函数的单调性以及一元二次不等式的解法求出集合A、B、C,再利用集合的交运算即可求解(2)由(1)结合集合的交、补运算即可求解.(3)利用对数的运算性质以及集合的并运算即可求解【详解】11 一(1)因为1 x 2,所以一2x 4,集合A -,4 22,1,1212r因为1 In x 2,所以一x e ,集合B (一,e, ee因为 x2 x 6 0 ,所以 xw 2或 x 3,集合 C (, 2 U3,)所以 B I C 3,e2-1(2)由(1)知：CrA

17、 (，2)U(4,)所以(CrA)I C (, 2 U 4,ln7 I 1(3)由题知：a lg0.05 eln7 273 1g - lg0.05 1g 2 7 9 21g0.1 21 2 112因为 AUB B (-,e2, e所以a AUB【点睛】本题考查了集合的交、并、补运算，同时考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题18 .已知函数f (x) 1 loga x(a 0,a 1)的图象恒过点A,点A在直线y mx n(mn 0)上.,、11 ,一(1)求一一的取小值； m n(2)若 a 2,当 x 2, 4时，求 y f (x)2 2f (x)

18、 3的值域.【答案】(1) 4 (2) 3,6【解析】(1)利用对数函数的性质求出点A(1,1),将点A代入直线方程可得 m n 1,再利用基本不等式即可求解.(2)当a 2时，f (x) 1 log2x,利用对数函数的单调性求出f (x) 2,3,令t f (x),利用二次函数配方即可求解.【详解】(1)因为log a1 0,所以函数f(x)的图象恒过点 A(1,1)因为A(1,1)在直线y mx n上，所以m n 1，1111nm所以一一(一一)(mn)一一2,mnmnmn一， , n 八m -因为mn 0,所以一 0,一 0 m n所以、m 2 2n m 2 4 (当且仅当 m n1时等

19、号成立)m n , m n2，111_所以当m n 时，取最小值42 m n(2)当 a 2时，f (x) 1 log2 x因为f(x)在2,4上单调递增，所以当x 2, 4时，f(x) 2,3令 t f(x),则 y t2 2t 3, t 2,3；因为y t2 2t 3 (t 1)2 2在2,3上单调递增所以当t 2时，ymin 3；当t 3时，ymax 6故所求函数的值域为3,6【点睛】本题考查了对数函数的性质、基本不等式求最值以及二次函数配方求最值，属于基础题19 .已知函数 f(x) Qsin2x 2 2cos2 x.(1)求函数f (x)的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f (

20、x)在0,上的最小值.【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间为k ,k -,k Z,(2) 263【解析】(1)利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为2 一 、一，一f x 2sin(2x -) 3,再利用正弦函数的最小正周期公式T 以及正弦函数的单调递减区间整体代入即可.(2)根据题意可得 2x 一,乙,再利用三角函数的单调性即可求解.66 6【详解】(1)因为 f(x) 向sin2x 2 2cos2 x V3sin2x cos2x 32sin(2x -) 3 2所以函数f(x)的最小正周期T 2由 2k 2x 2k -,k Z262L2得：k x k ，k Z 63所以f(x)的单

21、调递减区间为k ,k2,k Z63(2)因为 x 0,所以 2x -, 266 61所以-sin(2x -) 1所以 f (x) 2sin(2x -) 3 2,5所以 f(x)min 2【点睛】本题考查了三角函数的性质，同时考查了二倍角的余弦公式以及辅助角公式，属于基础题.20 .函数 f (x) Asin( x ) (A 0,016,0-)在R上的最大值为J2 ,f(0) 1.(1)若点(一，J2)在f(x)的图象上，求函数 f(x)图象的对称中心;8(2)将函数y f(x)的图象向右平移 个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐4，一，一 1标缩小到原来的一，得函数y g(x)的图象，若y

22、g(x)在0,上为增函数，求 的28最大值.k【答案】(1)对称中心为：( ,0), k Z (2) 2.28【解析】(1)首先根据三角函数的性质求出函数解析式f(x) J2sin( x 一),将点4(g,历代入解析式求出f (x) 拒sin(2x 7),根据正弦函数的中心对称点整体代入即可求解(2)根据三角函数的平移伸缩变换可得g(x) J2sin2 x,由题意可得1 2" j " 一一T 一，解不等式即可求解.2 2【详解】因为函数f (x)在R上的最大值为22 ,所以A 22因为 f(0) 1 ,所以 22nn 1, sin 2因为0，所以 一，所以f(x) V2si

23、n( x )244(1)由题知：f(8) 72,所以 &sin(-8- -) 72, sin( 4) 1所以一2k,k Z,16k 2,k Z842又因为016 ,所以 2因此 f(x) 拒sin(2x)；由 2x k , k Z 得：x , kZ4428k所以函数f(x)图象的对称中心为：( 一,0),k Z 28(2)将函数f (x) J2sin( x )的图象向右平移 丁个单位，得：y 2sin (x 一)= 2sin x.44再将y J2sin x的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12得：g(x) 72sin2 x,又因为g(x)在0,上为增函数，所以g(x)的周期T8解得0

24、2 .所以的最大值为2.本题考查了三角函数的性质以及图像的平移伸缩变换,熟记三角函数的性质是解题的关键,属于基础题21 .如图，长方形ABCD中，AB 2, BCJ3,点E,F,G分别在线段AB,BC,DA(含端点)上， E为AB中点，EF EG ,设 AEGEC(1)求角(2)求出的取值范围;EFG周长l关于角的函数解析式f ()，并求 EFG周长l的取值范围.【答案】(1) -,- (2) f()6 31 sin cossin cos一,一,EFG周长l的取6 3值范围为2( .2 1),2( .3 1)【解析】(1)结合图像可得当点 G位于D点时，角取最大值,点F位于C点时，BEF取最大

25、值，角 取最小值,在直角三角形中求解即可(2)在RtAEAG中，求出-1EG ，在RtAEBF中，求得cosEF1 sin在 RtAGEF中，根据勾股定理得 FG2EF2 EG2,从而可得f (cos1 sin1 ) sin cos通分可得f ()1 sincossin cossin cos借助三角函数的性质即可求解.(1)由题意知,当点 G位于D点时，角取最大值,此时F位于C点时,2BEF取最大值,所以max此时BEF=-,所以3min取最小值,故所求的取值集合为?3(2)在 RtAEAG 中,cosAEEG，AE1,所以EGcos在 RtAEBF 中，cosBEFcos(BEEFBE1,所

26、以EF1 sin在RtAGEF中，有勾股定理得FG2EF2EG211 sin2cos21.2222. 22sin cos sin cos sin cos因为,所以 sin > 0,cos> 0, FG1sin cos所以 f( ) EG EFFG1cos1 sin1sin cos1 sin cos所以 f(),-sin cos6 3令 t sin cos ,贝U sin cost2 1所以l2(1 t)t2 1rr57 r因为 一,6 3412 1262所以 sin(-)-,144所以 t sin cos , 2sin(7)1),2( .3 1)所以EFG周长l的取值范围为2( J2本题考查了三角函数的在平面几何中的应用,主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题22 .设函数f(x)的定义域为I ,对于区间D I ,若X1,X2D(X1X2)满足f(x1)f (X2) 1 ,则称区间D为函数f(x)的V区间.1 .(1)证明：区间(0, 2)是函数f(X) - lgX的V区间；1 V(2)若区间0,a(a 0)是函数f(X)(一户的丫区间，求实数a的取值范围；2 . ,、 sin x ln(1 x)(3)已知函数f (x) 广L在区间0,)上的图象连续不断，且在0,)e上仅有2个零点，证明：区间,)不是函数f(x)的V区间.【答案】(1)证明见解析(