突变理论在边坡稳定性综合评价中的应用

1、目 录1234绪论绪论边坡安全评价体系边坡安全评价体系运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡进行综合分析突变基本理论突变基本理论5结论结论1 绪论绪论 边坡工程的稳定性评判是一个十分复杂而又重要的系统问边坡工程的稳定性评判是一个十分复杂而又重要的系统问题，包含的因素很多，涉及到很多不确定性问题。目前研究较题，包含的因素很多，涉及到很多不确定性问题。目前研究较多的方法集中于使用模糊数学对边坡进行安全稳定分析和模糊多的方法集中于使用模糊数学对边坡进行安全稳定分析和模糊综合评判。这些方法从不同的角度对边坡稳定进行了研究，但综合评判。这些方法从不同的角度对边坡稳定进行了研究，但合理的确定参数

2、的隶属函数以及综合评判体系中各层指标权重合理的确定参数的隶属函数以及综合评判体系中各层指标权重的选择十分困难，且主观性较强。的选择十分困难，且主观性较强。 考虑边坡的现场情况，针对评价因素权重确定中的困难，考虑边坡的现场情况，针对评价因素权重确定中的困难，把突变理论运用到边坡的综合评价中，利用突变理论在多准则把突变理论运用到边坡的综合评价中，利用突变理论在多准则评价决策中的优点，避免人为确定权重的主观性。评价决策中的优点，避免人为确定权重的主观性。1 绪论绪论 突变理论为我们提供了研究岩体边坡稳定性的新方法：突变理论为我们提供了研究岩体边坡稳定性的新方法： 根据表层岩体位移观测数据，通过建立势

3、能函数或者通过根据表层岩体位移观测数据，通过建立势能函数或者通过拟合曲线，获得岩体系统是否失稳的判据，确定岩体边坡系统拟合曲线，获得岩体系统是否失稳的判据，确定岩体边坡系统的临界状态，研究系统状态在变化时是否通过分叉集曲线，从的临界状态，研究系统状态在变化时是否通过分叉集曲线，从而预测边坡系统的稳定状态。而预测边坡系统的稳定状态。 利用突变理论进行边坡稳定性研究具有重要的理论和现实利用突变理论进行边坡稳定性研究具有重要的理论和现实意义。意义。2 突变基本理论突变基本理论 法国数学家法国数学家ThomThom于于19721972年以奇点理论、稳定性理论等为基年以奇点理论、稳定性理论等为基础，建立

4、了突变理论，用来研究各种突变（不连续）现象的一础，建立了突变理论，用来研究各种突变（不连续）现象的一个新兴数学分支，其主要方法是将各种突变现象归纳到不同类个新兴数学分支，其主要方法是将各种突变现象归纳到不同类别的拓扑结构中，根据势函数把临界点分类，讨论各类临界点别的拓扑结构中，根据势函数把临界点分类，讨论各类临界点附近的非连续特性，并建立了附近的非连续特性，并建立了7 7种初等突变模型，即：折叠型突种初等突变模型，即：折叠型突变（变（Fold Catastrophe)Fold Catastrophe)、尖点型突变（、尖点型突变（Cusp Catastrophe) Cusp Catastroph

5、e) 、燕尾型突变（燕尾型突变（Swallowtail Catastrophe) Swallowtail Catastrophe) 、蝴蝶型突变（、蝴蝶型突变（ButtButterfly Catastrophe)erfly Catastrophe)、椭圆脐点突变（、椭圆脐点突变（Elliptic Umbilic) Elliptic Umbilic) 、双曲突变（双曲突变（Hyperbolic Umbilic)Hyperbolic Umbilic)及抛物突变（及抛物突变（Parabolic UmbiParabolic Umbilic) lic) 。2.1 突变理论概述突变理论概述2 突变基本理论

6、突变基本理论 对于初等突变理论而言，由于数学基础是根据系统的势函对于初等突变理论而言，由于数学基础是根据系统的势函数而对临界点进行分类，因此突变理论研究的仍是状态的分岔，数而对临界点进行分类，因此突变理论研究的仍是状态的分岔，即平衡点间的相互转换问题。即平衡点间的相互转换问题。 任何一个系统，其状态总要保持平衡，系统由一个平衡状任何一个系统，其状态总要保持平衡，系统由一个平衡状态跃变到另一个平衡状态时，即发生了突变，该过程的全貌可态跃变到另一个平衡状态时，即发生了突变，该过程的全貌可通过一个光滑的平衡曲面（突变流形）来描述。突变理论所研通过一个光滑的平衡曲面（突变流形）来描述。突变理论所研究的

7、就是描述这种突变过程的所有可能的平衡曲面。究的就是描述这种突变过程的所有可能的平衡曲面。 Thom Thom通过数学推导，证明了渐变的控制空间所产生的突变通过数学推导，证明了渐变的控制空间所产生的突变行为（状态空间），在控制空间不超过行为（状态空间），在控制空间不超过4 4维、状态空间不超过维、状态空间不超过2 2维时，各种初等突变可归结为维时，各种初等突变可归结为7 7种基本类型。种基本类型。2.2 初等突变类型初等突变类型2 突变基本理论突变基本理论2.2 初等突变类型初等突变类型 表1 7种基本突变类型2 突变基本理论突变基本理论2.2.1 尖点突变模型（最常见、应用最广泛）尖点突变模型

8、（最常见、应用最广泛）尖点突变模型势函数的一般表达式为：尖点突变模型势函数的一般表达式为：式中，式中，y y为状态变量，为状态变量，a a、b b为控制参数，为控制参数，V(x)V(x)表示一种势，即状态表示一种势，即状态为为x x时，系统贮存的能量。时，系统贮存的能量。当系统处于平衡状态时，有当系统处于平衡状态时，有 即平衡曲面方程为即平衡曲面方程为 此三次方程的实根为一个或三个，其判别式为：此三次方程的实根为一个或三个，其判别式为：当当00时，有一个实根；时，有一个实根；00时，有三个互异的实根；时，有三个互异的实根；=0=0时，时，三个实根中有两个相同（三个实根中有两个相同（a a、b

9、b均不为零）或三个均相同（均不为零）或三个均相同（a=b=0a=b=0）。）。 bxaxxxV24)(0)(xV0243vaxx23278ba2 突变基本理论突变基本理论2.2.1 尖点突变模型（最常见、应用最广泛）尖点突变模型（最常见、应用最广泛）尖点突变模型的一般特征：尖点突变模型的一般特征：突然跳跃性突然跳跃性滞后性滞后性多模态多模态不可到达性不可到达性发散性发散性2 突变基本理论突变基本理论2.2.2 常用初等突变模型常用初等突变模型 ThomThom归纳的归纳的7 7种初等突变模型中较常用的模型有：尖种初等突变模型中较常用的模型有：尖点突变模型、燕尾突变模型和蝴蝶突变模型。设点突变模

10、型、燕尾突变模型和蝴蝶突变模型。设x x为状态为状态变量，变量，a a、b b、c c、d d为控制变量，其归一公式如下所示：为控制变量，其归一公式如下所示：尖点突变模型归一公式：尖点突变模型归一公式：x xa a=a=a1/21/2，x xb b=b=b1/31/3; ;燕尾突变模型归一公式：燕尾突变模型归一公式： x xa a=a=a1/21/2，x xb b=b=b1/31/3 ， x xc c=c=c1/41/4 ; ;蝴蝶突变模型归一公式：蝴蝶突变模型归一公式： x xa a=a=a1/21/2，x xb b=b=b1/31/3 ， x xc c=c=c1/41/4 ， x xd d

11、=d=d1/51/5 ; ;2 突变基本理论突变基本理论2.2.2 常用初等突变模型常用初等突变模型 3 3种模型示意图如图种模型示意图如图2 2所示，其中，图所示，其中，图2 2（a a）为尖点突变模型系）为尖点突变模型系统，图统，图2 2（b b）为燕尾突变模型系统，图）为燕尾突变模型系统，图2 2（c c）为蝴蝶突变模型系统。）为蝴蝶突变模型系统。写在前面的是主要控制变量，后面的是次要控制变量。在确定控制写在前面的是主要控制变量，后面的是次要控制变量。在确定控制变量的个数后就可以采用相应的突变模型，然后根据不同模型的归变量的个数后就可以采用相应的突变模型，然后根据不同模型的归一公式计算出

12、上层状态变量的突变函数值。一公式计算出上层状态变量的突变函数值。xabxacbxcadb（b b）（a a）（c c）图2 3种突变模型示意图3 边坡安全评价体系边坡安全评价体系 这种多项目、多测点的监测可以较全面地反映边坡在不同时这种多项目、多测点的监测可以较全面地反映边坡在不同时期的安全稳定性态，可以及时对边坡的发展趋势进行分析反馈。期的安全稳定性态，可以及时对边坡的发展趋势进行分析反馈。3.1 边坡监测仪器布置边坡监测仪器布置图3 边坡监测仪器布置图3 边坡安全评价体系边坡安全评价体系 由于边坡的稳定控制由于边坡的稳定控制主要是控制变形，监测也主要是控制变形，监测也主要以变形监测为主，所

13、主要以变形监测为主，所以对第以对第1 1层评价指标采用层评价指标采用燕尾突变模型，变形是主燕尾突变模型，变形是主要控制变量，应力其次，要控制变量，应力其次，地下水的观测时间最短，地下水的观测时间最短，所以影响程度最小。所以影响程度最小。3.2 边坡安全综合评价体系边坡安全综合评价体系图4 边坡安全综合评价体系3 边坡安全评价体系边坡安全评价体系 边坡的变形观测又分内观和外观，内部观测能反映岩体中的边坡的变形观测又分内观和外观，内部观测能反映岩体中的深层结构面的演变情况，而岩石边坡中的不利结构面常常是引起深层结构面的演变情况，而岩石边坡中的不利结构面常常是引起边坡破坏的主要内在因素，因此是主要控

14、制变量；外观主要是通边坡破坏的主要内在因素，因此是主要控制变量；外观主要是通过全站仪在外观位移标墩上测量边坡的外表的变化情况，是次要过全站仪在外观位移标墩上测量边坡的外表的变化情况，是次要控制标量，因此对此层采用尖点突变模型。控制标量，因此对此层采用尖点突变模型。 内观又由内观又由3 3种监测项目种监测项目( (测斜、单点位移计、多点位移计测斜、单点位移计、多点位移计) )组成，组成，所以对此层元素采用燕尾突变模型；综合考虑到仪器位置及观测所以对此层元素采用燕尾突变模型；综合考虑到仪器位置及观测的时间长短、数据量的大小，将测斜作为主要控制变量，多点位的时间长短、数据量的大小，将测斜作为主要控制

15、变量，多点位移计其次。移计其次。 各评价层元素的相对重要性用归一公式中的各评价层元素的相对重要性用归一公式中的a a，b b，c c表示，表示，3.2 边坡安全综合评价体系边坡安全综合评价体系4 运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡进行综合分析 设定边坡最危险时的状态为设定边坡最危险时的状态为0 0，最安全时为，最安全时为1 1。为了进行。为了进行综合分析，要将底层指标综合分析，要将底层指标( (控制变量控制变量) )进行标准化处理，得到进行标准化处理，得到其安全数值。其安全数值。 通常底层指标既有定量指标，也有定性指标，两者的规通常底层指标既有定量指标，也有定性指标，两者的规格化

16、的处理方法不同。由于本评价体系是完全基于现场监测格化的处理方法不同。由于本评价体系是完全基于现场监测的基础建立的，因此都是定量指标，只需按照一定的控制标的基础建立的，因此都是定量指标，只需按照一定的控制标准进行转化都可以将其转化到准进行转化都可以将其转化到0 01 1范围内的越大越好型无量范围内的越大越好型无量纲指标值。纲指标值。4.1 底层监测信息标准化底层监测信息标准化4 运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡进行综合分析 根据长期的监测数据以及工程经验，可以将测点的变化根据长期的监测数据以及工程经验，可以将测点的变化速率划分为几个区间，变化速率标准化建议区间见下表。速率划分为几

17、个区间，变化速率标准化建议区间见下表。（参考：侯玉成.土石坝健康诊断理论与方法研究硕士学位论文. 河海大学，2005）4.1 底层监测信息标准化底层监测信息标准化表2 变化速率标准化建议区间4 运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡进行综合分析 设测点的变化速率为设测点的变化速率为v vt t，标准化后的数值为，标准化后的数值为u ut t 。当。当v vt t的数值位于不同的区间时，分别有如下的标准化公式：的数值位于不同的区间时，分别有如下的标准化公式：4.1 底层监测信息标准化底层监测信息标准化4 运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡进行综合分析 当对表当对表1 1中

18、的区间的界线值中的区间的界线值x x1 1，x x2 2，x x3 3取不同的值时，取不同的值时，可以得到不同仪器原始速率可以得到不同仪器原始速率v vt t的标准化后的不同数值。的标准化后的不同数值。 针对测斜仪的监测数据，取针对测斜仪的监测数据，取 x x1 1=0.5mm/d=0.5mm/d，x x2 2=1 mm/d=1 mm/d，x x3 3 =2mm/d=2mm/d。例如测点。例如测点1 1在在20042004年的位移速率年的位移速率v vt t =0.84 mm/d=0.84 mm/d，用上面的标准化公式，用上面的标准化公式，u ut t=0.75-(0.84-0.50)(0.7

19、5-0.50) =0.75-(0.84-0.50)(0.75-0.50) /0.50=0.58/0.50=0.58。同法可算出其余仪器在。同法可算出其余仪器在0 01 1内的指标值。内的指标值。 根据底层指标的标准化数值，按归一公式可以算出各根据底层指标的标准化数值，按归一公式可以算出各控制变量的相应中间值，即突变级数值。然后逐级向上计控制变量的相应中间值，即突变级数值。然后逐级向上计算，可得到边坡安全的总突变级数值。算，可得到边坡安全的总突变级数值。4.1 底层监测信息标准化底层监测信息标准化4 运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡进行综合分析 利用突变理论进行多利用突变理论进行

20、多目标综合分析评价决策时，目标综合分析评价决策时，要考虑两种原则，即要考虑两种原则，即“非非互补互补”评价决策和评价决策和 “ “互补互补”评价决策。（参考：三峡评价决策。（参考：三峡水工建筑物安全监控与反水工建筑物安全监控与反馈设计，左书）馈设计，左书） 4.2 互补原则和非互补原则在评价中的使用互补原则和非互补原则在评价中的使用4 运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡进行综合分析 若一个系统的诸控制变量若一个系统的诸控制变量( (如如a a，b b，c c，d)d)之间不可互之间不可互相替代，即不可相互弥补其不足，因而按归一公式求得系相替代，即不可相互弥补其不足，因而按归一公式

21、求得系统状态变量统状态变量x x的值时，要从诸控制变量相对应的突变级数值的值时，要从诸控制变量相对应的突变级数值中选取一个最小的作为系统的中选取一个最小的作为系统的x x值，即值，即“大中取小大中取小”的的“非非互补互补”原则。原则。 若一个系统的诸控制变量之间存在相互关联作用，则若一个系统的诸控制变量之间存在相互关联作用，则应取控制变量对应的突变级数的平均值来作为系统的应取控制变量对应的突变级数的平均值来作为系统的x x值，值，即即“互补互补”原则。原则。 4.2 互补原则和非互补原则在评价中的使用互补原则和非互补原则在评价中的使用4 运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡进行综合

22、分析 由于在整个综合评判过程中，诸控制变量的底层指由于在整个综合评判过程中，诸控制变量的底层指标和突变级数值均转化为标和突变级数值均转化为00，11区间内的越大越优型，区间内的越大越优型，所以最终的总突变级数值也越大越优。所以最终的总突变级数值也越大越优。 通过分析不同时期的监测数据，可以得出不同时期通过分析不同时期的监测数据，可以得出不同时期的总突变级数值，从而分析边坡安全状态的变化情况。的总突变级数值，从而分析边坡安全状态的变化情况。若突变值随时间的推移而增大或基本稳定，说明该边坡若突变值随时间的推移而增大或基本稳定，说明该边坡的安全状态向好的方向发展；若突变值随时间的推移而的安全状态向好

23、的方向发展；若突变值随时间的推移而明显减小，则应引起注意。明显减小，则应引起注意。4.2 互补原则和非互补原则在评价中的使用互补原则和非互补原则在评价中的使用4 运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡进行综合分析4.3 实例计算实例计算表3 变形指标计算结果 根据突变理论综合分析的步骤，对岩石高边坡进行根据突变理论综合分析的步骤，对岩石高边坡进行了安全评判。按归一公式分别计算各指标的突变级数值，了安全评判。按归一公式分别计算各指标的突变级数值，变形指标的计算结果见表变形指标的计算结果见表3 3所示。所示。4 运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡进行综合分析4.3 实例计算

24、实例计算 表表3 3中内观的中内观的3 3类监测项目类监测项目( (测斜、多点、单测斜、多点、单点点) )，代号分别为，代号分别为A A1 1，A A2 2，A A3 3，采用非互补型蝴蝶，采用非互补型蝴蝶突变模型；外观指标下分突变模型；外观指标下分3 3个子指标个子指标( (断面断面560560，61610 0，560)560)，代号分别为，代号分别为 B B1 1，B B2 2，B B3 3，采用互补型蝴，采用互补型蝴蝶突变模型。蝶突变模型。 求出内观、外观指标值后，采用尖点突变模求出内观、外观指标值后，采用尖点突变模型计算变形评判指标的总突变函数值。型计算变形评判指标的总突变函数值。4 运用突变理论对边坡进行综合分析运用突变理论对边坡