直线与椭圆的位置关系导学案

1、直线与椭圆的位置关系导学案教学目标：（1）会判断直线与椭圆的位置关系 , 理解直线与椭圆相 交所得的弦长公式 ;（ 2）通过求弦长具体实例，发现求弦长的一般规律， 体验从特殊到一般的认识规律；（ 3）通过几何关系与代数运算的不断转化，感悟解析 几何基本思想，培养学生逻辑推理能力和运算能力 .教学重点：直线与椭圆的弦长公式探究 教学难点：从特殊到一般规律的发现， “数”和“形” 之间的相互转化 .教学过程： 教师：直线与圆有哪些位置关系？如何判断？ 学生：直线与圆的位置关系及其判定： 几何方法：相离、相切、相交 .代数方法：方程组无解相离、有唯一解相切、有两组解 相交 .教师：由于圆的特殊性，几

2、何方法显得简单，而代数方 法具有一般性 . 自然引出下面问题 . 类比直线和圆，直线与椭 圆有哪些位置关系？（板书：:,E:）学生：直线与椭圆有三种位置关系： 相离、相切、相交 .或直线与椭圆的公共点个数可能是零个、一个、两个 . 教师：当直线与椭圆没有公共点时， 称直线与椭圆相离； 当有一个公共点时，称直线与椭圆相切，这条直线叫椭圆的 一条切线；当直线与椭圆有两个公共点时，称直线与椭圆相 交. （板书：相离、相切、相交） 板书课题：直线椭圆位置关系 教师：请大家研究下面问题如何解决判断出直线与椭圆 E:的位置关系是学生 1：画图，直线与 y 的交点（ 0,1 ）在椭圆内部，所以直线与椭圆相交

3、 .学生 2:由（板书），得 ,，直线与椭圆相交 .教师:（学生思考解答时，教师画出椭圆）学生 1 的方 法简捷明了，使得我们对问题有了直观的认识，为什么多数 同学没有这样解答呢？从“数形结合”是思考问题的首选。但我们的认识不能停留在此，要进一步深入；如果将直 线改为，在化草图的情况下方法1就不适合了，而方法 2 具有一般性 . （板书消去 y 得， .时相离、时相切、时相交。教师:上述问题中，设直线与椭圆交于 A,B 两点，你如 何求线段AB的长|AB|呢？（学生独立解答教师巡视）运算过程中想一想能否优化 运算过程，简化运算。教师提示 .发现下面三种运算，请该生板书学生 1：，；A（，），

4、B（，） .|AB|=学生 2：，；A（，）， B（，） .|AB|=学生 3：，；|AB|=教师：运算是一件既容易又困难的工作，容易是指谁都 会算，困难是指算得既简洁又准确。学生 2 注意到提取公因 数，比学生 1 的算法要简单； 学生 3（如果没有学生这样做， 老师从学生 2 中引导出来）注意到与之间关系，使得要研究 4 个未知量的问题转化为两个未知量的问题。同过大家的实践，可以发现对于直线上两点，结论。这是由于直线上点的横纵坐标是线性变化的。大家再仔细观察解题过程，还能发现那些结论？学生：在 |AB|= 中，；（）教师：上述结论是偶然还是必然？能否推广到一般情况 使得我们连两个未知数都可

5、以不求了？学生：当直线与椭圆相交时 |AB|=成立。教师：小结一下我们上面的探究，计算不是一味地算， 要观察数式之间的联系， 比如提取公因式、 配方等如学生 2； （2）在解析几何中利用数式的几何意义如学生3；（ 3）从具体过程中发现一般规律，如弦长公式。教师：解析几何思想方法告诉我们，代数结论要翻译成 几何结论，那么 |AB|= 在图形中的有怎样几何的意义呢？ 教师：（如果前面没有得到）|Ac|=|,|Bc|= ，由勾股定理可得|AB|=，比较|AB|=,得到。（如果前面得到了）由，可求得，那么。 教师：这说明弦长公式我们可以从代数和几何两个角度 去理解。练习：已知直线直线与椭圆E:交于A,B两点，求AoB的面积。 小结：请同学总结回顾本节课你学到了什么知识？有什么体会？ 直线与椭圆的位置关系及判定方法、弦长公式 |AB|= ； 弦在 x 轴上的投影 | ，或，以及用代数法解决几何问题的方 法.解题要反思，从解题过程和结论中能否发现规律；做解 析几何题目不是程序化操作，要思考运算背后的几何意义 .检测题：. 直线被椭圆截得的弦长为 . ；2. 直线y=k (x+1)与椭圆的位置关系为 ;3. 直线被椭圆截得的弦长为 ;4. 已知直线直线与椭圆 E:交于A,B两点，若三角形AoB 的面积 1，求直线的斜率的值 .5. 已知直线直线与被椭圆E:截