一元三次不等式解法

1、学习必备欢迎下载三次方程是未知项次数为 3 的整式方程，一般形式為CLT3+br2+ m + cf = 0,其中，和（：尹）是屬於一個域的數字，通常這個域為 R 或 Co历史波斯数学家欧玛尔海亚姆（1048 年-1123 年）通过用圆锥截面与圆相交的方法构建了三次方程的解法。他说明 了怎样用这种几何方法利用三角法表得到数字式的答案。中国南宋的数学家秦九韶在他 1247 年编写的世界数学名著数书九章一书中提出了数字一元三次方程与任何高 次方程的解法“正负开方术”，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出 统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。这个方法比几百年

2、以后欧洲数学家所提出的计算方法要高明许 多。现在，这种方法被后人称为“秦九韶程序”。世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定 理、定律和解题原则。学习必备欢迎下载在十六世纪早期，意大利数学家费罗找到了只能解一种三次方程的方法，也就是形如 尹皿：二兄的方程。事实上, 如果我们允许，是复数，所有的三次方程都能变成这种形式，但在那个时候人们不知道复数。费罗一直保守着 这个秘密，直到死之前才把它告诉了他的一个学生。塔塔利亚（Tartaglia ）听说了这件事并很快自己找到了一种方法。他把他的方法透露给了 卡尔丹诺，后者把它发表在数学大典（又名大術，1545 年）上。卡尔丹诺注意到塔塔利

3、亚的方法有时需要他给负数开平方。他甚至在数学大典裡包括了这些複數的计算，但他并不真正理解它。拉斐罗邦别利（Rafael Bombelli ）详细地研究了这个问题，并因此被人们认为是複数的发现 者。学习必备欢迎下载三次方程解法耐=-幺+# 寻一為一磊 （寻一磊一诰） + （矗一磊） +廿記_ 辭一beb3学习必备欢迎下载由此可簡化成,呂1=_ +佥9abc-2-27(fid/(9ubc-2-27a2d)2+4(3ac-)3+ 点*0-263 -27a2d- y/idabc-Sb3-27a2d)?+4(3cc-t2)3T 二一加亠 阴-琴2卜1民筋312了辭厲+-鮎亠一2帀如）+4（3oc濮）J+

4、昴&、丿？負说一2誰2帀阳/（9abc2闌一2帀）亠理（3cc驿）打昭=3。亠 閃-琴2卜1缸一邸一（9（如一鮎亠一2帀切+4（3oc濮）J+閃&、丿鸟卜讼一2誰2帀阳/（9abc2闌一2帀如）亠4（3血一驿）*红色字体部分为判别式-,当空厂:二时，方程有一实根和两共轭复根； 当匚=二时，方程有三重实根；当乜，：时，方程有三实根.学习必备欢迎下载三角函数解620axw呂町=_乔+ ,乔-3)遇b 2，gH( -Jcos3a a 9a 3Zbsr3 =+a(93)CSarccos讨加出严）2_ 27*?(澎+27a3d-9afec)aTCCOS则:為3L2俨一 严学习必备欢迎下载

5、卡尔丹诺的方法学习必备欢迎下载令匚為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根，然後把方程 除以，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。解方程步驟:-把原來方程除以首項係數11， 得到:If _. _ r3+ bfjc + c r + df= 0 ,其中 a，yX = Z 代換未知項3， -学习必备欢迎下载的項。故得：以消去二次項。當展開丿，會得到-這項一戸+空-其中和 i 是域中的數字，正好抵消掉出現於学习必备欢迎下载 z = u + vo前一方程化為(u+v)3+P(u + v) + qO

6、展開：u3+3W2V+ 3ur2+ v3+ pu + pv + q Oo重組：(u3+ V3+ q) + (3wr2+ 3u2v +pu + pv) = Oo分解：(? + b +q) + (n + u)(3uu+p) = Oo因為多了一個未知項(“和刃代替了 z),所以可加入一個條件，就是: 3nr+p= 0?由此導出沖+用+? = 0o設毎云和灵我們有卩+= _q 和” 一一 27 因為“二包访=（一訓。所以和是輔助方程T；的根，這方程我們已會解出q =学习必备欢迎下载rPIr_uv = 一J? i 接下來，和是和.的立方根，適合，一=扛-，最後得出 O2,_ ,22hr在域 C 裡，若甌

7、和切是立方根，其他的立方根就是匕 0 和 3 刈，當然還有 Qto 和心 5，其中3 =已$是單位的立方 根。因為乘積固定，所以可能的 是 一，I 和。因此三次方程的其他根是口呦 + 宀-讥QPq + QZ/口 3 和3。判别式最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是圈個。所遺漏的根都在裡，就是屹的代數閉包。其中差異出現於和的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。学习必备欢迎下载可以證明實數根數目依賴於輔助方程的 判別式一，学习必备欢迎下载若亠二，只有一個實根，其他兩個是共軛複根。若丄 ，至少有一對實重根：1:三重實根，或 2: 個二重實

8、根和一個單實根。-/0 br 。2 幵 b.若二打有三個實根：-八.匚？R 1 B = arccos 产其中- I。注意到至少有一實根存在，這是因為非常數多項式在卫和 H 的極值是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號 由於多項式是連續函數，從 介值定理知道它在某點的值為 程第一個例子解以 3 + 6 八+ 12 上+ 10=0。学习必备欢迎下载我們依照上述步驟進行:学习必备欢迎下载（全式除以-）*設 J + I ,故厂一洱，代換：-，再展開三 I :=玮.、：，.。設+一 I 和八八一：1。；和是.7-l-r 的根。t = x - 1 = u + v - 1，二 + V1 + - 1 0 -L3

9、2218535462 V 2该方程的另外两个根：仏 R -0.838907+ 175438（，t3-0.838907 - 175438/学习必备欢迎下载第二个例子这是一个历史上的例子，因为它是邦别尼考虑的方程。方程是一15K 4 = 0。从函数“1厂算出判别式的值几一丄江弟 :i,知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根首两步都不需要做。做第三步：； 杠十厂，一 f，厂。U + V = 4 和 UV= 125。和是 F n二転 匚的根。这方程的判别式已算出是负数，所以没有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根

10、。我们解出:2-11.和匚+ I。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部：现设 - - o学习必备欢迎下载.2111 等价于：；，_ （实部） j i （虚部）旷計（模）得到住一.和I,也就是订丄】,而 是其共轭：厂一。归结得可以立时验证出来。其他根是：和二 I .【i ；。UV=_P当二是负，和共轭，故此 和 也是（要适当选取立方根，记得）；所以我们可确保.是实数，还有，和I .iff I学习必备欢迎下载极值驻点的公式设左- / m，八-r3GX2+ 26T+ c将其微分，可得极值 = 0设 ，可得 在 中的极值（极大或极小值），。+ 2bx + c = 0-2b J4 胪 _ 12a-b 辭 _3M丁一 =- -学习必备欢迎下载3a代入典可得 M 的极值阳畀=。严土叮3乍+方（土空二竺尸+心土奔墜）+3a3tz亡&