2018年高中数学第一章不等关系与基本不等式阶段质量评估北师大版选修4-5

1、阶段质量评估（一）不等关系与基本不等式A 卷（时间：60 分钟满分：80 分）一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）111 .若a,b为实数，则Ovabv1”是av：或b-”的（）baA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1 111解析：当 0vabv1 时，右b0,则av卞右bv0，则bg 反之，av-?av 0?b（ab11)v0.当b 0 时，abv1；当bv0 时，ab 1.同理，当b时，若a 0,a则ab 1 ；若av0，则abv1.所以“ 0vabv1” 是“avb或bb

2、a答案：A2 .不等式|5xX2|v6 的解集为(A. x|xv2 或x 3C. x|1vxv2 或 3vxv622解析：/ |5xx|v6? 6v5xxv6?x5x6v0，2/1vxv2 或 3vxv6.x5x+60，答案：C3.对任意x，y R，|x1| + |x| + |y 1| + |y+ 1| 的最小值为()A. 1B. 2C. 3解析：|x 1| + |x| + |y 1| + |y+1| |x 1 x| +|y 1 (y+ 1)| = 1+ 2=3.答案：C4.若关于x的不等式|ax+ 2|v6 的解集为(一 1,2)，则实数a=()A. 8B. 2C. 4D. 8解析：|ax+

3、 2|v6? 8vaxv4.84的充分不必要条)B. x|1vxv6D. x|2vxv3D. 4当a0 时，一一xv.aa解集是（一 1,2），a= 8, 解得0 且 3a+ 4b0.所以a0,b0.又 log4(3a+ 4b) = log2ab,4所以 3a+ 4b=ab.所以-+a3= 1.所以a+b= (a+b)b= 7 + 辿+ 单b7a b7+ 2、/坐3a= 7+ 4书，当且仅当4b=曽，即即a= 4+a b wa b2 .3,b= 3+ 2 3 时等号成立.答案：D、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.请把正确答案填在题中的横线上）|4= 2.a两值矛盾.8

4、= 2,得a= 4.）1B.最大值习1D.最大值-27.设a,b R,给出下列条件：a+b 1;a+b= 2；a+b2；a1 2+b22；ab 1.其中能推出“ a,b中至少有一个实数大于 1”的条件是 _.解析：对于，a，b均可小于 1 ;对于，a，b均可等于 1;对于，a，b均可为 负数；对于，若a，b都不大于 1，则a+bw2,与矛盾故若成立，则“a，b中至 少有一个实数大于 1”成立.答案：&函数y= 4sin2x cosx的最大值与最小值的差是 _解析：2 2 2 2 2 2 2/y= 16s inxs inxcosx= 8(sinxsi nx 2cosx)1a2a6aa+

5、1，即卩a：,当且仅当 9x=，即卩x=;时等号成立.5x3答案：占，+丿三、解答题（本大题共 3 小题，共 35 分解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演 算步骤）10.（本小题满分 10 分）已知abz0.|a| + |b| lg|a| + lg|b|22证明：因为abz0, 所以 |a| 0, |b| 0.W8“22小2.sinx+ sinx+ 2cosx3-3-=鹽8276427，2当且仅当 sin2x= 2cos2x，即卩 tanx= 2 时取等号,答案：1/329.设常数a 0,若关于x的不等式 9x+ - a+1 对一切正实数x成立，贝 U 实数a的取x值范围为_.2 2a

6、/ a解析：由题意，可知当x 0 时，f（x） = 9x + 2/9x亍=求证:lg由平均值不等式，得|a| + |b| .|a|b| 0.因为函数y=igx在区间(o,+s)上为增函数,当且仅当 Ia| = |b|时等号成立.所以 igIa| + 丨b|2Ig |a|b| =lg|a| + lg|b|2故 ig|a| + |b|2lg|a| + lg|b|211.(本小题满分 12 分)已知a0,b0,c0,a+bc.求a b ca+ 1 +b+ 1 c+ 1.证明:假设1 1a+1 卜1-bT!三1-R，1 -c+11bT7./ (1 +a)(1 +b)(1 +c) + (1 +a)(1

7、+b) (1 +b)(1+c) + (1 +a)(1 +c),即(c+2)(1+a)(1+b)w(1+c)(a+b+2),二 2ab+abc+a+bc,a0,b0,c 0, a+b+ 2ab+abcc,与矛盾. 假设不成立.a b ca+T b+!市成立.12.(本小题满分 13 分)已知函数f(x) = |ax+ 1|(a R)，关于x的不等式f(x)w3的解集为x| -2wxw1.(1) 求实数a的值；I(2) 若关于x的不等式f x 2f即wk恒成立，求实数k的取值范围.解：(1)由 |ax+1|w3,得一 4waxw2.又关于x的不等式f(x)W3的解集为x| 2wxw1, 所以当aw

8、o时，不合题意.42当a0时，-4wxw2,则a=2.记h(x) =f(x) 2f-1,x 2.所以|h(x)|w1.所以k 1.故实数k的取值范围是1,+R) x由关于x的不等式f x 2f2wk恒成立，可知k 1.所以实数k的取值范围是1,+R) B 卷(时间：60 分钟满分：80 分)一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)1.设a= lg 2 + lg 5 ,b= ex(xv0)，则a与b的大小关系是()A. abB. avbC. a=bD. awb解析：/a= lg 2 + lg 5 = 1,b= exv1(

9、xv0)，二ab.答案：A2.设a,b是互不相等的正数，则下列不等式不恒成立的是()2 2A. (a+3)v2a+6a+11211B.a+ 2a+一aa1C. |ab| +abD. =a+3飞ja+1v a +2._/a解析：(a+ 3)2 (2a2+ 6a+ 11) =a2 2v0，故 A 恒成立.在 B 项中，不等式的两侧i i2434332212x+2|x+ 1|xw1.则h(x)=1,xw1,4x3,11VXV2,=|2x+ 1| 2|x+ 1|冋时乘a，得a+1a+a? (aa) + (1 a)0?a(a 1) (a 1)0?(a 1) (a+a+1) 0.所以 B 项中的不等式恒成

10、立.对C 项中的不等式，当ab时，恒成立；当avb时,2 2-v-恒成立，知a+ 3+a+ 1a+2 + a答案：C3.已知x 0,y0,则下列关系式成立的是()D项中的不等式恒成立.不恒成立.由不等式4解析：y=x+ -2/4 = 4, A 项错；当 Ovxwi时，Igx2的等号取寸x+ 1寸x+ 1不到，C 项错；y= sinx+ 2,当且仅当 sinx= 1,即sinx答案：D221331A.(x+y)2 (x+y)31331B.(x+y)2= (x+y)3c. (x2+y2)1v(x3+y3)1D.(x2+y2)2(x+y為成立，下面给出证明.22213 31 要证明(x+y)2 (x

11、+y)3,22、3 ,33、2只需证(x+y) (x+y),64 22 4663 36即证x+ 3x y+ 3x y+yx+ 2x y+y,2 2Tx0,y0, x y0.4 22 43 3即证 3x y+ 3x y 2x y.只2只222小/ 3x+3yx+y2xy,2 2 3x+3y2 xy成立.- (x2+y2)1 (x3+y3)|答案：A4.F列函数中，当x取正数时，最小值为2 的是(A.B.y= Ig1x+ig-xC.- 1y=+ 1Ix2+ 1D.y= sin1x+(0Vxv n)sinxnx=2 时取等号，D 项正确.号1111121 1 2b，1ba+1 2,与题意中的 1+1

12、=-矛盾.5.若厶ABC的三边长a,b,c的倒数A.C.nB3nD./B-解析:则b最大.有ba,bc.1二al7答案：B2 16.设x,yR, a 1,b 1，若a=b= 2,a+Jb= 4，则j+-y的最大值为()A. 4B. 3C. 2D. 1解析：依题意，得 4=a+b2a *b则a b4,即卩a2b 16,当且仅当b=a2= 4 时2 12x= loga2,y= logb2,所以一 + -= 2log2a+ log2b= log2a b1,2a+1 1a2+ 1 恒成立.解得2waw0.等号可以取到.因为k的取值范围是若x1 时有x 1,i有解,x+1vxk1vk成立.故kv1.若x

13、v1 时xv1,有解，即*x1vxk有解，则2k-1v1,kv1.综上，& 设函数f(x) = |x 1| + |2xa| ,若关于x的不等式f（x） 1a2+ 1 对x R 恒成立,f(x)=则有f(x)min=fa当 2 1, 即卩a2 时,3x+a+1,xv1,Ia3x1-a,x2,x一 1 +a,f(x)=1x寸a2+ 1 恒成立，该不等式无实数解.综上，实数a的取值范围是2,0.答案：2,09.已知a 0,b0,给出下列四个不等式:1a+b+2；2(a+b)a+b4；2 . 2a+b3屈Aa+b;1a+aT42.其中正确的不等式有.(只填序号)解析：由a0,b 0,得1 l

14、1a+b+-2ab+-A21= 2 2.a+ba+b2. a2+b2=(a+b) 2 . 2a+bAa+b.1a+越=(a+4)+14a+ 4(a+b)i+b4ab卜 4.a+1a+ 41当且仅当a+4=市，即(a+4心1时等号成立，a 0,(a+4)2工 1. 等号不能取得.答案：三、解答题(本大题共 3 小题，共 35 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分 10 分)若nN+,求证：1x2+2X3+n n+1n+1证明：/ n n+1n+n+ 12n+ 122=4=2V2 .故原不等式得证.11 .(本小题满分12 分)设 x 1,求函数yx+5x+2的最y=x+1的最小值.解：/x 1, / x+ 1 0.x+5x+2-x+1+4Jx + 1+ 1-y=x+1x+ 1=(x+ 1) + 5 +2x+1+5=9,x+11119+ + a+b b+c c+a4235 + 一 +2n+1n3 +2n+n2+2nn+2所以一 1 me xw1 + m又原不等式的解集为3,1，故mr2.1 1证明： 由，得 m= 2.贝Ua+b+c= 2.所以a+匕+b+c+、f 1 , 1 , 1 、c)a+b+b+c+c+a-(a+b) + (b+c) + (c+a) 4=c= 3 时等号成立.34当且仅当x+1=石，即x=1时等号成