2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(

1、333 函数的最大(小)值与导数学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念.(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.(重点)3.能根据函数的最值求参数的值.(难点)自主预习探新知1. 函数f(x)在区间a,b上的最值如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a,b上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.思考：若函数f(x)在区间a, b上只有一个极大值点xo,则f(xo)是函数f(x)在区间a,b上的最大值吗？提示根据极大值和最大值的定义知，f(xo)是函数f(x)在区间a,b上的最

2、大值.2. 求函数y=f(x)在a,b上的最值的步骤(1) 求函数y=f(x)在(a,b)内的极值.(2) 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.A .基础自测1. 思考辨析(1) 函数的最大值一定是函数的极大值.()(2) 开区间上的单调连续函数无最值.()(3) 函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.jf1函数f(x)= -在区间1,1上有最值.()答案X(2)V(3)X(4)x2. 函数f(x) =x3 3x2+ 2 在区间1,1上的最大值是()A. 2B. 0C. 2D. 42C f(

3、x) = 3x 6x,令f(x) = 0 得x= 0 或x= 2.由f( 1) = 2,f(0) = 2,f(1) = 0 得f(x)max=f(0) = 2.nq3. 函数y=x sinx,x忖,n的最大值是()【导学号：97792160】nA.n 1B.1C.nD.n +12一nnC y= 1 cosx0,故函数y=x sinx,x ”刁,n是增函数，因此当x=n时，J函数有最大值，且ymax=n sinn= n.合作探究攻重难32(1)f(x) = 2x 3x 12x+ 5,x 2,1;f(x) = ex(3 x2),x 2,5.2解f(x) = 6x 6x 12,令f(x) = 0 得

4、x= 1 或x= 2,又x 2,1，故x= 1，且f( 1) = 12.又因为f( 2) = 1,f(1) = 8,所以，当x= 1 时，f(x)取最大值 12.当x= 1 时，f(x)取最小值一 8.x x 2(2) /f(x) = 3e ex,-f (x) = 3e (ex+ 2ex)2=ex(x+ 2x 3)x=e (x+ 3)(x 1).在区间2,5 上,f(x) = ex(x+ 3)(x 1) 0,即函数f(x)在区间2,5上单调递减， x= 2 时，函数f(x)取得最大值f(2) = e2;x= 5 时，函数f(x)取得最小值f(5) = 22el规律方法求函数在闭区间上最值的步骤

5、WiV第一步 求f(X)，解方程f(x) = 0第二步确定在闭区间上方程f(x) = 0 的根第三步求极值、端点值，确定最值.跟踪训练1求下列各函数的最值.(1)f(x) =x3+ 3x,x ，3, 3;上254f(x) =x&(x 0).z.解(1)f(x) = 3 3x2= 3(1 x)(1 +x).令f(x) = 0,得x= 1 或x= 1,3当x变化时，f(x) ,f(x)的变化情况如下表：xV3(-也,1(1,1)1(1,3)341)f(X)一0+0一f(x)0极小值/极大值18所以x= 1 和x=- 1 是函数在、:3,3上的两个极值点，且f(1) = 2,f( 1) =

6、- 2. 又因为f(x)在区间端点处的取值为f( 3) = 0,f(3) = 18,所以f(X)max= 2 ,f(X)min= 18.令f(x) = 0,得x= 3.当X变化时，f(x) ,f(x)的变化情况如下表：X(m， 3)3(3,0)f(X)0+f(x)极小值/所以x= 3 时，f(x)取得极小值，也就是最小值,故f(x)的最小值为f( 3) = 27,无最大值.含参数的函数的最值问题84a,0 aW2从而f(X)max=C.0,2 a2 .规律方法1.含参数的函数最值问题的两类情况(1) 能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题.(2) 对于不能求出参数值的问题，则要对

7、参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0,等于 0,小于 0 三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.2.已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围.1跟踪训练Qj322.已知函数f(x) =ax- 6ax+ b,x 1,2的最大值为 3，最小值为一 29,求a,b的值.解由题设知az0,否则f(x) =b为常函数，与题设矛盾.求导得f(x) = 3ax1

8、 2 312ax= 3ax(x 4)，令f(x) = 0，得xi= 0,X2= 4(舍去).(1)当a0 时，且x变化时f(x),f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(X)+0f(x)7a+bb16a+b由表可知，当x= 0 时，f(x)取得极大值b,也就是函数在1,2上的最大值，f(0)=b= 3.又f( 1) = 7a+ 3,f(2) = 16a+ 3f( 1),f(2) = 16a+ 3 = 29，解得a= 2.(2)当af( 1),f(2) = 16a 29= 3,解得a= 2.综上可得，a= 2,b= 3 或a= 2,b= 29.I異童理.与最值有关的恒成立问题探

9、究问题2比较两个函数式的大小，常用什么方法？提示：常用差比较法.3函数最值和“恒成立”问题有什么联系？6提示：解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题如 要f(x)的最小值大于 0 即可.对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数.创设f(x) = Inx,g(x) =f(x) +f(x).(1) 求g(x)的单调区间和最小值；(2) 讨论g(x)与 g ”大小关系；1(3) 求a的取值范围，使g(a) g(x)0 成立.a思路探究(1)求出g(x)的表达式是解题的关键；(2)构造辅助函数，结合单调性求 解；(3)显然g(x)的最值决定了参数a的取值范围。1解由题设知f(x)

10、的定义域为(0,+)，且f(x)=-,x1所以g(x) = Inx+-x一 1所以g(x)= -厂，令g( x) = 0，得x= 1,当 (0,1)时，g(x)0 ,故g(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1 ,+).因此，x= 1 是g(x)的唯极值点，且为极小值点，从而是最小值点,所以g(x)的最小值为g(1) = 1.(2)g1= Inx+x,x设h(x)=g(x)g142ln则h(x)=U(1,+s)时，h(x)0,h(1)=0,因此，h(x)在(0,+)内单调递减.当 0 xh(1) = 0,即卩g(x)g !；当x1 时，h(x)h(1) = 0,即g(x)g? j.

11、1因为g(a) g(x)0 成立,af(x) 0 恒成立，只当=1 时,h(1) = 0，即g(x) =I当(0,1)7即 ina0 成立.由(1)知，g(x)的最小值为 1,所以 ina1，解得 0a0)等价于 inxx0；当x1时，g(x)w0,x= 1 是g(x)的最大值点，所以g(x)wg(1) 一1.综上可知，a的取值范围是1,+).1.函数y= 宁的最大值为JFjta*八12A. eB. eC. einxA 函数y=的定义域为x,1 in x , 1 in x ey=2，由2= 0 得x= e,xx当 0 x0,当xe 时，y 0.inx,亠1!堂达标固10D.y(0，+m).8因

12、此当x= e 时，函数y=x有最大值，且ymax= e= e .e92若函数f(x)=x3 3xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为M N则MN的值为()A. 2B. 4C. 18D. 202D f(x) = 3x 3,令f(x) = 0 得x= 1.当 0wx1 时，f(x)0 ;当 1x0.则f(1)最小，又f(0) = a,f(3) = 18a,f(3)f(0)，所以最大值为f(3)，即M= f(3),N=f(1) ?MNh f(3) f(1)=(18 a) ( 2a) = 20.3._ 函数y=x+ 2cosx在区间|0,今 上的最大值是 _ .-al6 + 3 y = 1 2sin

13、x= 0，解得x=石，比较 0，石，2处的函数值，得ymax=6 +3. 3124. 函数f(x) =x3，x2 2x+ 5， 对任意x 1,2都有f(x)m则实数m的取值范围是f(x)minm即可,由f(x) = 3x2x 2 = 0,2得x= 3(舍去)或x= 1,377易知f(x)min=f(1) = 2，所以mFJ.x,求f(x) 在-12, 2 上的最大值和最小值【导学号：97792163】x(x)= 一由f(x) = 0,得x= 1.在 2 2 上，当x变化时，f(x) ,f(x)的变化情况如下表:1(11 一x5.已知函数f(x)=+ln2由题意知只要10 x21 一 1 1 a1丿1(1,2)211而 e3 16,.f2 f(2) 0. f(x)在 I1, 2 上的最