2018年秋高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案新人教A版必修4

1、3.2简单的三角恒等变换学习目标：1能用二倍角公式导出半角公式， 体会其中的三角恒等变换的基本思想方法,以及进行简单的应用.（重点）2. 了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的半角公式sinasin2cos 22_ 2=sinaa1+cosa2COS2atan2cos 2a21cosasina基础自测1思考辨析na n解析(1)x.只有当一+ 2kn w +2kn(kZ)，即一n +4knan +基本思想方法,能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.（难点、易错点）自主预习探新知tana2aaCOScos/aasin sin $aacos72

2、sin=(1)cosa1+cosa.(存在aR,使得 cos12 = 2cosa.(对于任意aR, sina1=-sin22都不成立.若a是第一象限角，贝 Utan1cosa1+cosa.(=2 cosa2，(2)cos(3)tansinV.当 cosa=- .3+ 1 时，上式成立，但一般情况下不成立.X.当a= 2kn（k Z）时，上式成立，但一般情况下不成立.,a4kn(k Z)时，cos 1+cosa2答案xV(3)xVa2.已知 180a V360,贝ycosy 的值等于(aC 180 a 360,.902180，/若a是第一象限角,a则2 是第一、三象限角，此时 tan/1cosa

3、,1+COSa成立.A.C.COS -1+COSa2COSa1+COSa23.已知 2n0 4n,且 Sin300=二，COS0 0,贝 U tan 的值等于523由 Sincos 0 得COS40 =5, 0sin. 02-tan20cos g02sin ci0osysin0201+COS02cos 3.合作探究攻重难化简求值问题例 (1)设710 00 6n, cos2 =a,贝 U sin 等于(A.B.1 a2C.D.已知n0,原式=.aa2sin + cos-aa2 sin + cos 亍(aa2sin cosy.aa2sin cosyaaasin + cos 牙 sin cos 厅

4、2222一a、=-亍规律方法1.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式.变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切.(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幕、降幕、配方、开方等.2利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2 倍关系. 明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备.(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tana21+cosasin1 cosaa涉及半cos2专=1+cosa计算.提醒：已知 cosa的值可求a的正弦、余弦、正切

5、值，要注意确定其符号.跟踪训练0=1cos?0 =125=5，三角恒等式的证明2 .、cosa1求证：=：sin 2a.1a4tan -a2tan 2证明 法一：用正弦、余弦公式.2左边=aacos sin -22. aasin 2cos2思路探究 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明;法二：cos2a不变，直接用二倍角正切公式变形.1 .已知 cos0 =-3,且 180500270,求 tan 三法一:二tan法二:0第二象限角，tan 0,/ sin二tani01cos0sin013、-5:=245卜/ 180 0270,即/ 180 0- 2.【导学号：84352341】_;_ 2n思

6、路探究化为f x=Airi3x+o+bT由T= 求周期T-1 3 1求最小值证明不等式单调性331Tcos 2x+2sin 2x-sin 2x=2sin 2x(2)证明：令t= 2x+号，因为xsin -nn=- 2，得证.规律方法三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin3x+bcos3x+k的形式，借助辅助角公式化为y=A、I1 3x+0+k或y=A3x+0+k的形式，将3x+ $看作一一个整体研究函数的性质跟踪训练xCOS 22X2sinx x2Sin2COS21 + cosxsinx=右边.7t解(1)f(x) = 3

7、cos |2x- 3 - 2sinxcosx=所以T=年71.+2x= sin j2x+才,3.已知函数f(x) = 3sin i2x-； + 2sin2x- $ (x R).求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.(2)当f(x)取得最大值时, sin j2x = 1,冗冗有 2x= 2kn+ ，即x=kn所求x的集合为,x x=kn+ 52,k Z三角函数在实际问题中的应用|炎型4|探究问题1用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域时应注意什么？提示：通常选角作为自变量， 求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影【导学号：84352

8、342】思路探究|设/AOB=建立周长Ia求I的最大值解 设/AOB=a, OAB勺周长为l，贝UAB= Rsina,OB= Rcosa,I=OAF AB+ OB解 f (x) = 3sin2sin 2x-123sin爭 in |2=2sin 2x7t=2sin 2x n +1,. T=年Tt.5n+p(kZ),响2建立三角函数模型后， 通常要将函数解析式化为何种形式? 提示：化成y=Asin(wx+0) +b的形式.卜如图 3-2-1 所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大?1 cos 2xxgeos |2x=R+ FSina+FCosa=Rsina+c

9、osa)+R=j2Rsin ja+4+Rn nn3n a2，二 4a+40, sin 1cosa5-2-=5 .2.（2018全国卷 n ）若f（x） = cosx sinx在0 ,a是减函数，贝 Ua的最大值是（A.7tB.7tC寻D.n25C f(x) = cosx sinx= 2cosx+ .当x 0 ,a时，x+ 才 -4,a+*，所以结合题意可知，汀产n，即木于，故所求a的最大值是寸.故选 C.3.函数f(x) = sin2x的最小正周期为21 cos 2xn因为f(x) = sinx=- ,所以 cos 20= cos20 sin 20= (cos0+ sin0)(cos0 sin0)=所以f(x)的最小正周期T=年n.4.设a=知2 +詐2,b= 1 2sin213,，贝 Ua,b,c的大小关系cvavba=cos 60sin 22b=12sin 13=cos 26 =sin 64 ,+ sin 60 cos 2si n 62 ,c=中=sin 60 ，又y= sinx在 0,专上为增函数, cvavb.5.北京召开的国际数学家大会， 会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.图是由四个全等直角三角形与一个小正