高等工程数学-过关秘籍

1、1. 高等工程数学总体框架2. Nim取子问题：理解：什么是平衡状态，从2堆开始。上面这个图让我们明白，整个游戏中只有两种状态，一种是平衡状态，另一种是非平衡状态。2堆的平衡状态很简单就是。那么k堆的呢？k堆的平衡状态就是上面的。（那平衡状态跟输赢啥关系呢？）如何去理解这个呢？我们从最后结果开始分析，如果游戏人1要赢，最后肯定要在最后一堆取（即取最后一堆所有的，而这个状态时非平衡状态。）由平衡状态的性质可知平衡状态的下一个状态必须是不平衡状态。那么反过来推，如果游戏人1要赢就必须一致保持非平衡状态，让游戏人2保持平衡状态（因为游戏人1具有制造平衡状态的主动权，可以让游戏人2一直处于平衡状态，那

2、么游戏人2就会不得不给游戏人1制造不平衡状态，1就必赢）。因此nim取子的核心在于给对方制造平衡状态，这样对方就不得不给自己制造不平衡状态。不停循环，最后自己必将得到最后一个不平衡状态，获得胜利。例题：4堆硬币7,9,12,15.有了上面的理解，下面要玩游戏就是如何算得平衡状态和制造平衡状态的问题了。步骤：1. 将每堆硬币化为二进制。 2. 变成平衡状态每列和为0.那么问题来了3. 乘法原理数字问题：解题思路：一般分个位十位百位千位，分部去分析。这种题目一般都比较简单，主要分为奇数偶数（个位），几位数，特定数字数，非0数等情况，注意默认条件0123456789.注意：先看个位和千位（先特殊后一

3、般），5*8*8*7=2240解法一：分一位数，二位数，三位数，四位数分别求出其中包含5的情况，加起来。解法二： 4. 鸽巢原理对鸽巢原理的理解：做题：凑鸽巢原理，先判断是否存在整除的，有则得结论，没有就鸽巢。分析：拿什么进行鸽巢原理。根据问题来，采用前n项和。第一步：判断Si，若存在整除得结论。第二步：若无，则每个Si对应m一个余数总共m个，而m的余数除去0就剩m-1个了即1.m-1。则必然存在两个S余数相等。一减就得到m的倍数，即Sl-Sk=(ql-qk)m=得证。分析：1. 容斥原理理解：正方向求取比较难，反其道而行。一般容斥原理分层次，总的减去第一层的多减去了，加上第二层的又多加了，再

4、减去第三层的又多减去了，以此类推，知道最后全部包括。每个层次的系数：例题：求解步骤：1. 定义总体和取反元素2. 求出每层的值3. 套用公式。分析：正着求比较难，容斥原理第二章1. 利用乘法原理得到r-排列全排列例题：分析：碰到不连续出现的问题，一般使用间隔发。首先将剩余的21个字母全排列然后通过插空法在22个间隔中全排5个元音字母。即是2. 循环排列问题：理解：r-排列去除首位的顺序，即是N个物体的n-循环排列：例题：分析： 1）不挨着使用插空法。，现将剩余的8个循环排列，然后在8个空里面2-排列这两个人，即（8！/8）*8*7=7*8！2）书上是使用减法原理，先全部循环排，然后减去两个人挨

5、着坐的情况。3. 组合问题组合的理解：由组合的定义可以知道，组合就是排列除去顺序。例题：分析：题目要求求3,4,5个元音。所以求解分为3个元音的，4个元音的，5个元音的。3个元音的求解：从8个里面选3个位置放元音，有种放法。再是这三个放什么有剩下的5个位置放什么有分步最后都乘起来为做这种题目时要分清球放盒子和从n里面选几个，从而明白什么时候用幂次方，什么时候用集合。4. 多重集合的n-排列1）理解：例题：分析：有相同的怎么办？先拍一个的。8有5种方式3有4种，剩下的三个一就只有一种即是5*4*1=202）定理16理解：从第一个位置开始有k种，第二个由于不会减少还是k种，以此类推，K*k*k*.

6、= 3）上面是无限次的，若是对于种有有限个数呢？还是分步去做，排列的都是分步去做的依次类推最后得到4）由上面的两种情况，找到一个很普遍的问题：的全排列问题，其中书上说这是从n个里面取p个的另一种解释。（上一种是通过排列得到的。）5. 多重集合的组合1）贯穿课程的核心问题等价于即上面三个式子同一个概念。又等价于的（全）排列数目。2）没有实质性限制的多重集同上见书上p92例题：分析：1. 定义系数Xi得到多重集组合表达式2. 约束条件3. 转换成多重集组合的约束条件。4. 若满足无限多或无实质性限制，套用公式。5. 不满足则使用转换，或者填补法，或者分解求解，或者容斥原理。经典例题分析：1. 已经

7、是多重集合表达式，且约束条件符合。直接进入第三步2. 无法套用公式3. 转换，可以。转换不行再思考如何使用容斥原理求解。分析：1. 定义全集和取反元素2. 求全集和各取反元素第一层第二层第三层：3. 根据容斥原理得到答案：分析：1. 化为多重集标准约束的多重集表达式2. 转换为求标准多重集3.分析：1. 是否可转换，不可以，但有希望2. 使用分解方式（分解了第一个a类）第三章：1）排列的生成算法如何根据该算法得到之前的或者之后的排列。分析：1. 最大的活动整数是什么？2. 交换箭头指向的数3. 遇到大的改变大的箭头（激活大的）2）排列的逆序对（逆序列与排列一一对应）得到逆序列3）排列的字典生成

8、法分析：1. 明确数列最大和最小2. 明确带前缀的最大和最小3. 从尾部找最长的单调降子段4. 交换5. 倒置2）组合的生成1）gray码分析：1. 明确开始于与结束2. 和为偶数简单，变换最后一位。3. 为奇数，找最后一个1，变换其左边的值。（理解隔1变换）2）分析：1. 明确开始12342. 从最后一位开始根据集合种数不断变大到最大12363. 变换倒数第二位为124,后面继续从第二位开始变大4. 依次类推到最大。3）1）杨辉三角由下面推导上图即2）一些常见的公式(由二项式定理推导) 也是数列f(n)=1,即1,1,1,1,1,1.的母函数核心公式理解：1. 设定k次幂的系数得到的方式，由

9、每一个因子提供2. 得到经典多重集组合标准形式3. 这个数目为思考：这个数目代表了什么？ 每一个组合都是一个Xk，最后有个，即是Xk的系数。4）数列求值1. 分析：1）汉诺塔是个什么样的问题这里使用的是凑幂次方法2. 介绍了斐波那契数列3. 齐次方程组理解：1. 写出特征方程2. 求出特征解2. 写出通解表达式3. 带入边界值求出通解。1）基本类型分析：1. 特征方程2. 求解，写出表达式3. 带入边界值，求出答案自己做2）重根情况的处理分析：处理方式其他的同上1. 写出特征方程2. 求出解3. 写出表达式（重根的不断乘以n）4. 带入边界值求解4. 非齐次方程组分析：1）根据齐次特征方程求解

10、得齐次通解2）求特解（根据条件设置特解性质）得通解3）带入边界值求得答案1）求齐次通解2）求特解3）带入边界值求解分析：1. 求其次通解2）求特解3）带入边界值（将通解的得到放到这了）注意求特解经验该题直接更具上面求解方式简单。该题涉及到特解与特征根重复，使用乘以n区别。该题跟上面一样，在求特解的时候与特征根重复，乘以n区别。5）母函数也是求递归的序列的一种方式。理解：原数列对应为母函数次幂的系数。对应关系分析：之前我们求了n等于某一个数的情况。现在要求n从1到5+2+4=11的所有情况。他们组成的一个数列就是gn。怎么求呢？一个一个求。当然根据组合的性质对应关系可以只求一半。使用母函数表示出来。这个是定理，记住。用法分析：如何写出其母函数表达式1）转换为组合表达方式T=<偶数>苹果，<奇数>香蕉，<0,1,2,3,4>橘子，<1,2,3,.>梨2）根据定理66得到母函数同理写出下面例子这题怎么做，先转换为多重集组合表达式递归关系与母函数分析：根据表达式