重庆大学齿轮啮合原理研究生考核试卷及答案

1、 研究生课程考核试卷（适用于课程论文、提交报告）科 目： 教 师： 姓 名： 学 号： 专 业： 类 别： 上课时间： 考 生 成 绩：卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语： 阅卷教师 (签名) 重庆大学研究生院制一、 基本概念（每题3分，共计24分）1 解释齿轮的瞬心线？ 答：瞬心线是瞬时回转中心在坐标系中的轨迹。如图所示来解释齿轮瞬心线。设有两个直齿齿轮，它们的轴线平行，在垂直于轴线的一个截面内，齿轮的中心为及（图1.1），齿轮的瞬时角速度为及，从起始位置开始的转角为及，则，瞬时传动比为，。如果齿轮副不是以等比传动，则是个变数，它可以表示为齿轮1的转角的函数，即；当传动比是常值时，。设平面

2、随同齿轮1绕旋转，平面随同齿轮2绕旋转。在任意一点M处，齿轮1对齿轮2的相对运动速度矢量，M点随着转动时的线速度矢量为，M点随着转动时的线速度矢量为。M点的位置不同，该点处的相对运动速度也不同。对于的点，其相对运动速度为零。由于这点的与方向相同，模也相等，它必定在中心联线上（否则与的方向不可能相同），设它为图1.1中的P点，而，则从与的模相等的条件可知，。所以瞬时传动比成为 。P点处的相对运动速度为零，所以P点就是两齿轮的瞬时相对运动中心（瞬心）。由于P点在联心线上，且，当传动比是变数时，在齿轮传动过程中，P点的位置也是在上变动的。P点在平面及上的轨迹就称为齿轮1及齿轮2的瞬心线（图1.2）。

3、由于两瞬心线在任意瞬时都只接触在一点（瞬心），而在接触点处他们的相对运动速度又等于零，所以它们作相对的纯滚动。如果把两瞬心线做成摩擦轮并且让它们作纯滚动，那么它们的运动规律和两个齿轮的运动规律是一样的。 图1.1 两齿轮的相对运动 图1.2 瞬心线2 解释平面曲线的曲率？ 答：如图所示，用表示曲线的弧长。考察曲线上分别与和对应的两个相邻的点和，图1.3(a)。点和之间的弧长，而是点和处的两条切线之间的夹角。当点趋近于点时，比值的极限称为曲线在点处的曲率（标记为），即。在存在的条件下，。比值称为曲线在点处的曲率半径（标记为），即，且。这里的是极限（密切）圆的半径，极限圆是当两个相邻点和趋近于点时

4、通过点和该两个相邻点画出的，图1.3(b)。圆心称为曲率中心。图1.3 齿轮的瞬时回转轴3 解释齿廓渐屈线？ 答：一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（图1.4）。齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此，齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。 图1.4 齿廓的渐屈线4 解释不产生根切条件？ 答：假定曲面1是用来加工齿轮齿面2的刀具齿面。曲面2上出现奇异点是齿面在加工过程中可能产生根切的一种警告。在加工过程中所出现的曲面2上的奇异性的数学解释，可以用方程来说明，从该式可导出方程 和啮合方程的微分式 从而使我们在曲面1上确定出这样一条曲线L，该线将形成曲

5、面2上的奇异点。我们用曲线L限定曲面1，可以避免在曲面2上出现奇异点，从而不产生根切。5 解释曲面族的包络存在的必要条件？ 答：用下列方程 给出包络面2存在的必要条件。 该方程将曲面1的曲线坐标和广义运动参数加以联系。该方程是曲面族包络存在的必要条件。如果这个方程得到满足，并且包络确实存在的话，则包络在中可以用联立方程和方程来表示。这两个方程用三个相关的曲面参数来表示包络。6 解释啮合面？ 答：配对曲面和（图1.5）在每一个瞬时彼此沿着一条线相接触，该线称作瞬时接触线或者特征线。齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数。而啮合面是表示在与机架刚性固定坐标系中的瞬时接触线族。啮合面用如下方程表示

6、：。式中，这里，矩阵描述到的坐标变换。图1.5 齿面上的瞬时接触线7 解释共轭齿形？ 答： 图1.6中、是两齿轮的瞬心线，1、2则是相应的一对齿形。齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或共轭齿形。 共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P。P点在联心线上，而。当传动比是常值时，P点在联心线上的位置是固定的，因此，共轭齿形在接触点的公法线是通过一个定点（节点）P的。图1.6 共轭齿形 8 写出Euler的方程式？ 答：Euler方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，并且表示为。 式中是由矢量和

7、单位矢量构成的夹角（图1.7）。矢量表示在曲面的切面上选取的方向，而是曲面在这个方向上的法曲率。单位矢量和沿着两个主方向，而和是主曲率。图1.7 矢量的分解二、 分析曲线和曲面（20分）要求：自选曲线及曲面方程，采用微分几何理论，结合数学软件的方法；1） 自选曲线方程，并对曲线进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。答：运用matlab软件绘制曲线方程。 正弦方程为，余弦方程为。 程序如下：x=linspace(0,10);z1=cos(x);z2=sin(x);y1=linspace(0,1);y2=linspace(2,3);X,Y1=meshgrid(x,y1);X,Y2=

8、meshgrid(x,y2);Z1=repmat(z1,100,1);Z2=repmat(z2,100,1);h1=mesh(X,Y1,Z1)hold onh2=mesh(X,Y2,Z2)set(h1,'cdata',ones(size(Z1)*0.1)set(h2,'cdata',ones(size(Z1)*0.2)axis(-inf,inf,0,10,-inf,inf)view(41,50)图形如下：2）自选曲面方程，并对曲面进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。答：运用matlab软件绘制一球面。球面方程为其中R=1:1:4。程序如下：cl

9、ear,clcx,y,z=sphere(30);for R=1:1:4 xx=R*x; yy=R*y; zz=R*z;zz(z<0)=nan;mesh(xx,yy,zz)hold onendaxis equal图形如下：三、 推导方程（1题8分，2题12分，共计20分）1. 假定两齿轮绕两个平行轴线以相同的方向传递回转运动下图（图1）。坐标系和刚性固接到两齿轮1和2；和是固定坐标系；E是最短距离；和是齿轮两瞬心线的半径。图1推导：1) 确定矩阵。2) 从S2到S1的坐标变换方程。3) 从S1到S2的坐标变换方程。解：1) 从到的坐标系变换是基于如下的矩阵方程： (1) 式中和是转动矩阵，

10、而是移动矩阵。这里 (2) (3) (4) 从方程（2）、（3）、（4）可导出 (5) 从到的坐标系变换是基于如下的矩阵方程： （6） 式中和是转动矩阵，而是移动矩阵。这里 （7） （8） （9） 从方程（7）、（8）、（9）可导出 (10) 则， 2）利用方程(5)，我们得到从S2到S1的坐标变换方程： （11） 3）利用方程(10)，我们得到从S1到S2的坐标变换方程： （12）2. 坐标系 , 和 分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接（图2）。齿条刀具的齿形是直线，该直线用方程 （ ）表示在 中。这里，a 是齿形角（压力角）；u 是变参数，该参数用来确定齿条刀具齿形上的流动点

11、位置（对于点M， ；对于点，）。瞬时回转中心为 。齿轮的瞬心线是半径为r的圆，而齿条刀具的瞬心线与 轴重合（图2）。齿条刀具的位移 和齿轮的转角 有如下关系式 图2求： 1）推导啮合方程。2）导出齿条刀具和被加工齿轮在啮合中的啮合线方程。3）导出被加工齿轮的齿形方程。4）确定齿条刀具的极限安装位置，这种安装位置将使齿轮的被加工齿形避免根切，并作图说明。解：1) 啮合方程可写成如下形式： 这里，是表示在中的I的坐标。 式中和是产生齿形的切线矢量和法线矢量，是轴的单位矢量。 从上述方程可以导出啮合方程的下列表达式 2) 啮合线方程可以表示为：于是， 从而可以得到啮合线方程如下， 3) 被加工齿轮的

12、齿形用下列方程表示S1到S2的坐标变化： (1)啮合方程： (2) 式中 (3) 方程(1)(3)可以导出被加工齿轮齿形的下列表达式： (4) 方程(4)用有联系的参数和以双参数形式表示被加工齿形（它是平面曲线）。 在这种特殊情况下，因为啮合方程对参数是线性的，所以能够从方程(4)中消去，并且以单参数形式将被加工齿形表示如下： (5) 方程(5)表示一条渐开线，它对应半径为的基圆。 4) 齿条刀具齿形的界限点是这样的点，它在齿轮的齿形上形成奇异点。齿条刀具的界限点可以用啮合方程和根切方程确定，后一方程可以用下面的方程求出 联系和 式中 可以导出 这样，我们得到的界限值为，进而我们得到 考虑到啮合方程，我们得到与由方程给出的相同的界限值。图 齿条刀具的极限安装位置四、 综述及分析？（20分）采用齿轮啮合原理的基本理论和方法，结合工程实际及