攻克解析几何综合题的几种策略

1、收稿日期： 2012-05-11作者简介 ：郭允远（ 1963 ），男，山东沂南人 ,中学高级教师，临沂市教育局教科研中心 高中数学教研员 ,山东省教学能手，山东省知名高考研究专家，主要从事中学数学教育与高 考研究 .攻克解析几何综合题的几种策略郭允远 （ 山东省临沂市教育科学研究中心 ）摘要： 解析几何综合题， 在高考解答题中一般出现在最后两题之一的位置，以其综合性强、运算量大、区分度高等特点，成为常考常新、经久不衰的热点、难点问题.从破解难点的角度， 以典型高考试题为例， 给出全面审题、 分部转化， 设而不求、 整体处理， 数形结合、 减少运算等一般性策略 ,在关键之处有点评 ,可有效解决

2、这类难题之难点 .关键词： 解析几何；综合题；高考题例；解题策略解析几何综合题表现为题干长，条件多，往往要涉及几种曲线的组合，可能还要与平面 向量、函数、不等式等其他内容综合，有两问或三问，第二问往往是探索性、开放性问题， 如是否存在问题，定点、定值、最值等问题这样的问题设计 ,特别有利于考查学生综合分析 解决问题的能力 ,因而成为高考的主干内容之一 , 而且常以压轴题呈现， 常考常新， 经久不衰 . 可以说 ,这几乎是所有学生的一个难点 , 很多学生对其有惧怕感 , 有的只做第一问 , 第二问干 脆放弃 .对此 ,本文结合部分高考题中有相当难度的解析几何压轴题,分析攻克这类题目第二问、第三问

3、的一般性策略 , 供广大师生参考 .一、全面审题，分部转化 由于解析几何综合题具有信息量大、字母符号多、图形复杂等特点，另一方面学生面对 探索性、存在性等问法，缺少明确的解题目标，难以找到解题方向 . 因此，审清题意、找到解 题的入口是解题的前提 . 全面审题要做好“三审” ：审条件，审结论，审图形，并注意隐含条 件. 弄清题干给出的是哪一种或几种曲线， 它们是怎样的位置关系， 其方程是已知的还是含字 母待求的，等等，要对照图形找到它们之间的关系（若题目没有给出图形，要边读题边画出 图形），通过审结论明确解题目标。 但是， 由于条件和结论距离甚远 ,很可能还找不到解题的方 向 ,那么，就要对条

4、件逐一进行转化 ,向着结论指示的解题目标转化 ,同时也转化结论 ,一旦“对 接” ,就找到了问题解决的入口。例1 (2011年湖南卷理21 )如图1,椭圆C1 :2 x1(a0)的离心率为-2，x轴被曲线c2 : yx2b截得的线段长等于C1的长半轴长.(1)求G、C2的方程;丿£图1(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线I与C2相交于点A、B,MA、MB分 别与G相交于点D、E.证明：MD ME;S 17记 MAB、 MDE的面积分别是 0、S2,问：是否存在直线I，使得?S232请说明理由解析：本题涉及椭圆、抛物线、直线的相关问题，本质是直线I与C2相交问题.第(1)2

5、X22问易得g、C2的方程分别为-4 y 1, y x 1.第问，通过审图形、审条件，抓住问题的本质是直线I与c2相交于点A、B，实施如下转化即可使问题获得解决 ：MD ME MA MBkMA ?kMB1.一 S 17第(2)问为存在性问题，假设存在直线 l满足w，需要分别求出 S1、S?的表S232达式，由MD ME与MA MB，则求出点 A、B与D、E的坐标即可.y k1x 1x 0设直线MA的斜率为k1，则直线的方程为 y kx 1，由2 解得或y x 1y 1x k122 ，则点A的坐标为(k1,k121)y k1111 1又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为(，2 1).k1k1

6、 k12S 2|MA| |MB|KI1®1人2又由y2x&X 14y22 2得(1 4k1 )x 8kx 0, 0” + x解得y8人2 ，则点D的坐标为（11 4K21 4k14K24K2 1)1 4k12 1 4k12又直线的斜率为1，同理可得点E的坐标（k128k14 k1 )4 k2 4 k因此S2!|MD |2|ME|32(1 k12) |k1|(1 4k12)(4 k12)S1S6>21k?17).由题意知,6>217)17，解得 k124 或 k/32又由点A、B的坐标可知,k T出 k1 k11k，所以kki故满足条件的直线I存在,且有两条，其方程

7、分别为3y 3x和y3x.2可以用 k表示出Si，但MD ME与MA MB，转化为【点评】若直接设 AB的方程为y=kx与抛物线C2的方程联立，用k表示的运算就复杂了 所以注意运用的结论，即直线MA（MD）与G、C2的关系，进而把 S1、都用MA的斜率k1表示，通过点 A、B的 坐标完成了与k的“对接”.二、设而不求，整体处理在解析几何解题中，恰当地设某些变量（尽量减少变量个数），如点的坐标、直线方程、 圆锥曲线方程等，是解题的开始，而过程中的运算是解题能否完成的关键要围绕解题的总目标,运用设而不求等运算技巧，实施整体代换、整体化简、整体求出等策略，往往可起到 化繁为简、事半功倍的卓越功效 例

8、2 （2011年浙江卷理21 ）2 2 2已知抛物线C1: x = y，圆C2 : x （y 4）1的圆心为点 M.(1) 求点M到抛物线Ci的准线的距离；(2) 已知点P是抛物线Ci上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线，交抛物线Ci于A、B两点，若过M、P两点的直线I垂足于AB,求直线I的方程.解析：(1)易得圆心M(0,4)到准线的距离为仃4(2)本题涉及三个动点 P、A、B，两条动直线 AB，I两种位置关系：相切、垂直，要求 直线I的方程，需求I的斜率或点P的坐标，离已知条件甚远，所以要实施分部转化，先大胆设 出三个动点的坐标，用坐标表示两种位置关系2 2 2设 P(a,a )，

9、A(ti,ti )、B(t2,t2 )由题意得 a 0，a 1，tit2.2【点评】利用点 P、A、B在抛物线Ci : x = y上,巧设点的坐标，较少了变量个数，使得以下的解法优于试题原答案的解法；注意挖掘题目的隐含条件也是重要的一点所以PA方程为y a2.2 2ti a /(xatia)，即 (tia)x y ati0.因为PA与圆M相切，所以d| 4 ati |22i，即 (ai)ti6atii5 a20.同理(a2i)t226at2 i5a20,所以ti、t2是关于t的方程(a2 i)t2 6at i5 a所以ti6ai5 a2t22,，tit22 ,.aia i2 26a而kABti

10、t2=tit2tit2a i0的两个根.【点评】整体求出、 整体代换的整体策略在这里得到了充分地体现！至此，问题的解决便水到渠成又kMPa24因为AB MP ,所以 kAB k|MP解得a2235所以kMPa2423523' 5诸，所以直线I的方程为y3 ii5xii5三、数形结合，减少运算解析几何的核心方法是“用代数方法研究几何问题”，核心思想是“数形结合”,注意利用图形特点和性质，往往可以减少运算量，使问题获得简捷解决例3(20i0年陕西卷理20)如图，椭圆C:粤 b i的顶点为Ap A2, Bi、B2,焦点为Fi、F2, |AB| I刀,a bSA1B1A2B2 2SB1F1B2

11、F2(1) 求椭圆C的方程；(2) 设n是过原点的直线, 相交于A、B两点的直线，AP PB 1成立？若存在，明理由.I是与n垂直相交于P点且与椭圆|OP| 1.是否存在上述直线I使求出直线I的方程；若不存在，请说22解析：(1)易得L 1.43|m|1 k1，即 m2k21. 由条件 |OP| 1,AP PB 1,则有 | AP| | BP| |0P|2 1 ,| ap | OP |即 |OP| |BP|,可得 Rt AOP Rt OBP,所以OAPBOP，故AOBBOPAOPOAPAOP 90 .当直线l不垂直于x轴时，设l: y=kx+m,由 | OP | 1，得将直线l的方程代入椭圆方

12、程，整理得(3 4k2)x2 8kmx 4m2 12 0.2设点 A、B的坐标分别为(xyj、(x2, y2)，则 x1 x28km2, x1x2 如 ¥ .3 4k3 4k由上得 OA OB x1x20，即(1 k2) nx2 km(x1 x2) m2 0,再把x1 x2、x1x2代人并化简，得7m2 12(1 k2)，将m2 k2 1代入得25(k1)0,矛盾即此时直线l不存在.当I垂直于x轴时，可验证也不存在.【点评】由条件|OP| 1, AP PB 1得到|AP| | BP| |OP|2，再由三角形相似关系推得OA OB，从而得到X1X2 yy 0，这是一个由数到形、又由形到

13、数的推理过程，既为本题的解决找到了突破口，又大大减缩了运算过程.如果单纯从已知的向量等式出发，设出P、A、B的坐标代入 AP PB 1，来寻求坐标间的关系，虽然也能解决问题，但运算过 程较为繁琐.也可用下列向量方法推得 OA OB : TOP l,OA OB (OP PA) (OP PB) 1 PA PB 1 10, OA OB.四、特“形”引路，先知后证 在解析几何的定点、 定值等问题中，常常要先研究图形的特殊情形、临界状态，由此先得到结论，再进行一般情形下的证明例4 （2005年全国卷I 理1 ）x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在椭圆于A、B 两点，

14、OA OB 与 a=（ 3，-1）共线.(1)求椭圆的离心率;(2)设M为椭圆上任意一点，且 0M0AOB（ , R），求证：22 为解析:(2)（1）易得离心率e 身.设出M点的坐标，将条件中的等式用坐标表示M(x,y),OM (x,y)（羽，力）（X2, y2）,X X1x2,y1y2厂r 一尸则由（1）问的结果，得椭圆方程为2 2 2x 3y 3b ,将点M坐标代入即得(X12 2X2)3( y y2)3b2.展开，围绕解题目标：证明22为定值，故要分离出 222(xf 3y；)2(x； 3y|)2 (X1X2 3y°2)3b2，于222 3b 2 (X1X2 彳丫皿)3b2再

15、如何进行呢？面对如此复杂的式子，很多考生往往不知所向 的特殊位置猜出定值，可以为我们的解题指明方向.此时,如果先通过点 M22当点M运动到点A时，则 1,0,1 ,即可发现定值是【点评】抓住问题的特殊性进行猜想是一种哲学方法是，只要证明x1x2 3y1y2 0,这样解答方向明确，问题迎刃而解.过程如下：2X1X23y1 y2X1X23(X1c)(X2c)4x1X23c(x1X2) 3c3c23b d3c 0,丽 1.例5以F1（0, 1） F2（0,1）为焦点的椭圆c过点p（2 J）（1）求椭圆C的方程；(2)过点S( 3,0)的动直线|交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在3一个定

16、点T,使得无论I如何转动，以 AB为直径的圆恒过点 T?若存在，求出点T的坐标; 若不存在，请说明理由2解析：第(1)问易得椭圆C的方程为x21.2第(2)问为定点问题,如果直接设定点T的坐标，转化为恒成立问题去解决，则运算非常繁琐；若研究直线I的两种特殊情况:当直线I与x轴重合时，以 AB为直径的圆是x2 y2 1;1 2 2 16 当直线I垂直于x轴时，以AB为直径的圆是(x -)2 y239x2由(x21,2y16解得两圆相切于点(1,0)。因此所求的点T如果存在，只能是(1,0).9再给出一般情况下的证明:若直线当直线I垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点 T(1,0),!)3I不垂直于

17、x轴，可设直线I的方程为y k(xy由2xk(x3)得(k21,2)x20.x1X2记点 A(x1, yj、B(X2，y2)，则x1x21 2-k 29k22又因为TA (x11,yJ,TB1,y2), TA TB 化1)(X2 1)y“2S2(k2 1)92 Wk2231)1k210k2 29 k 10,所以TA TB，即以AB为直径的圆恒过点 T(1,0).即在坐标平面上存在一个定点T(1,0)满足条件.五、耐心细致，谨防错漏以上介绍的四种策略，分别对应了五道例题作重点说明事实上，解答一道解析几何综合题几乎都要用到以上策略，而且因为题目的长度大、难度大、运算量大，在学生找到入口形成思路的的前提下 ,还会出现因某一步运算出错导致半途而废 , 或沿着错误的结果做下去的 会而不对的现象 , 还会因考虑不周