关于实数完备性相关定理等价性的的研1

1、关于实数完备性相关定理等价性的研究摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭 区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”。关键词：实数集完备性基本定理等价性证明Research about the equivalence theorems of co

2、mpleteness ofreal numbersAbstract: Complete ness of the set of real nu mbers is its basic character, and it is stable theorybackground of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are con siderable fun dame ntal theorems about it. un dame ntal Theorems of seve n relate

3、d about supremum and form a ideal proof“loop ”.Key words: set of real nu mbers， complete ness， fun dame ntal theorem， equivale nee， proof.引言：我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本 定理从不同的角度描述了实数的基本性质。并且这七个基本定理是相互等价的， 在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。本文的论证结构为确界存在定理证明单调有界定理证明区间套

4、定理证明有限覆盖定理证明 聚点定理证明致密性定理证明柯西收敛准则证明确界存在定理。1实数完备性相关定理的论证且对于任意X，S，只要X-S,就有X：。0/ 10 一般的，考察数集 Sn4中的元素的无限小数表示中第n位小数的数字，令它们中的最大者为.工n ，并记Sh/xxSh并且X的第n位小数为。显然§也不为空集，并且对于任意xS,只要X- Sn，就有X ： >0 0.：*2n。不断的做下去，我们得到一列非空数集S二So二Si；：Sn二，和一列数012,n,，满足0 Z；:kb,1,2, ,9?,k N。令 士0+0.T2,令：=o+O.冷2n，下面我们分两步证明 ：就是S的上确界

5、。(1) 设S,则或者存在整数no_ 0 ,使得X-Sn°,或者对任何整数n _ 0有xSn.若 X Sn0，便有 X :： ： 0 - 0；2n0 -；若xSn - nN，由Sn的定义并逐个比较 X与一：的整数部分及每一位小数，即知x = >，所以对任意的x=匕，有x _ 一：，即是数集S的上界。1对于任意给定的；0，只要将自然数n0取得充分大，便有 n ：；，取x(r S0，则：10 0 01与X)的整数部分及前 n0位的小数是相同的，所以-X0-，即任何小于-的数10 01 - ；不是数集S的上界。即1是数集S的上确界。同理可证非空有下界的数集必有下确界。1.2确界存在定

6、理证明单调有界定理单调有界定理：间调有界实数列必有极限。单调有界定理还可描述为：若禺 R是单调增加的有界数列，则必有极限，且lim Xn 二SUpXn。n_若Xn UR是单调减少的有界数列，则必有极限，且 nm/n =i nf Xn。若Xn R是一单调增加的无界数列，则规定nmXn=；,否则若Xn R是一单调减少的无界数列，则规定limxn= v,证明：设数列Xn是单调增加的，即X$X2 一-X"，且 M，使得< M, i=1,2,。打Xn是非空的有界实数集，由确界存在定理知，Xn有上确界，记为：:-=supxn。由上确界的等价定义1知，-xj，i=1,2,有Xi乞：-成立；并

7、 n 二N '且对- ；0, N，使得- ； : xN，故当n>N时，由xn的单增性知:-；： xN - X，二a E<Xn兰Xn兰“+&，g卩Xn a < E，由极限的定义得：nim：Xn二若Xn是单调下降的，可用上面类似的方法证明且有supan= =infbn , a, _b , n=1,2,即属于所有的闭区间若也属于所有的闭区间an，bn，则同样可得：a_ _bn ,n=1,2,当n 时，由极限的夹逼性得，二=lim bn =lim an =，由此即说明了区间套的公共点是n - -n -哼A惟一的。1.4区间套定理证明有限覆盖定理有限覆盖定理：设H为闭区

8、间 a,b】的一个（无限）开覆盖，则从 H中可选出 有限个开区间来覆盖a,b I证明：（反证法）假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开覆盖a,b将la,bl 等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖，1ai,b1la1,b1 k la, b且d _a<i =_（b _a）记这个子区间为2V1a?二尹- a）"bnbnb，它满足再将a1,b1 1等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用 H中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为a2,b2则la2,bJa1,b且b2 -重复上述步骤并S , bn '二 dn 十，bn*'n =

9、 1,2,3,"""1bn an 二不山-叫：0即 也,6 B是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。由区间套定理，唯一的一点-lan,bn ，门=1,2，由于H是，a,bl的一个开覆盖，故存在开区间a,b H设；:J于是，存在n,当n充分大时，有 an,bJ这表明an,bn只须用H中的一个开区间-'就能覆盖，与挑选n'bn时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾，从而证明必存在 属于H的有限个开区间能覆盖an,bn 11.5有限覆盖定理证明聚点定理聚点定义：设S为数轴上的点集，为定点（它属于S，也可不属于S）,若的任何邻

10、域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点。同时聚点同时具有下述定义：定义1:对于点集S,若点的任何；邻域内都含有S中异于 的点-（厂s= : ：J，则称为S的聚点丨lim xn =定义2：若存在各项互异的收敛数列 人 S ,则其极限n厂 称为S的一个 聚点。聚点定理：实轴上的任一有界无限点集 S至少有一个聚点证：因S为有限点集，故存在M>0，使得S M ,M记SZ-LmnI现将ai，bJ等分为两个区间，因S为无限点集，故两个点集中至少有一个含有 S 中无穷多个点，记此子集为1 a2,b2 则 a1 Q 丨_： a2,b2 且b2 -a2（Q - aj = M 再将 la2,b21

11、2等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有 S中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记 “ &3山3 则 &2山2 I-： &3山31 且b3 -a3 =：（b2 - a?） = M 为22如此下去，得到一区间列：'an,bn 且满足an,bn 1 二乩 1,bn J ,n =1,2, - bn - an 二臭 > 0（ n 一J 即4是区间套，且其中每一个区间都含有 S中无穷多个点又区间套定理 唯一的一点；an,bn , n=1,2,，于是有论：对-；0 N 0当n N时有bn,bj -，；）,从而一，；）内含有S中无穷多个 点，按定义2，为S的一个聚

12、点。1.6聚点定理证明致密性定理 致密性定理：任何有界数列必有收敛的子序列。 证明：不妨设 Xn是有界数列，（1）若:xn，且在 Xn中出现无限次，则由这些项构成的数列就是 Xn 的一个收敛子列，其极限就是:；（2）若任何一个数在 Xn 中至多出次有限次，于是 Xn中无穷多个互不相同的项。从而由这无穷多个互不相同的子项构成了子集就是有界无穷点集，由聚点定理知必存在聚点，由聚点的定义知，其任意邻域内都含有无穷多项，现考察它 的U （:.邻域，首先在（二-1'1）中取一项，记作Xni，又因为在土爲-2）中含Xn中的无穷多项，故可在其中下标大于 m的一项，记作Xn2，,，当Xnk - （_

13、+，*）取定之后中，同样由于在（占，占）中仍含有 Xn 的无穷 多项，故可取下标大于的一项，记作Xik41，从而得,Xnk -口 Cf,k = 1,2，从而 由极限的定义得，kim Xnk ，二Xnk为Xn的收敛子序列。1.7致密性定理证明柯西收敛准则 柯西收敛准则：数列 XnR收敛的充要条件是：-；>0,N N, -n,m>N有 |X n - Xm| <:。柯西收敛准则（必要性部分）：数列 XnR收敛则对- ；>0, N N+, -n,m>N有 |X n Xm| <-。证明：寫数列Xn收敛，不妨设其极限值为a,即nmXn=a，则由数项极限收敛的定义知，-；

14、>0， N, -n,m>N时，有|x n a|<，|x m- a|<，由三角不等 柯西收敛准则(充分性部分)：若实数列xn满足：-；.O,-IN. N ,m . N，有式得,|x n Xnr| |(X n a)-(X mra)|< |x n a|+|xXn Xm| C g 则Xn收敛。证明：寸 E >0,二N匸 N,/n> N，有Xn Xn 卅£ E 二Xp=Xp Xn 屮 + Xn 申Xn Xn 申，+ XN£g+'XN，其中n = N +1,N +2,二xn是有界的，由致密性定理知，必存在收敛的子列Xn ，不妨设lim

15、Xnk二:-onkkkVs >0, n Tvn,k >N (由子列的定义知nk王k 3 N )，有x* -Xnk £名，即Xnk - ； ：: Xn ： Xnk * ；，当k 一；心时，有:-；<X-,由极限夹逼定理知lim Xn二：，从而数列Xj是收敛的。n_a2=ai,b2=ai2b1,否则令a2=-aL2bl ,b2= ai，于是得闭区间 闵，其中b2也是S的上 界，且b2-a2= i(bi-ai)；用同样的方法对区间比,b2处理，得闭区间asbj，其中 b3也是S的上界，且b3-a3= + (bi-ai),上述过程无限进行下去，于是得一闭区间 列an,bn，

16、且满足如下的条件：(1) an i,bn 1 an,bn,n=1,2，； bn -an = 2(b -ai),n=1,2，；-nN ,bn是S的上界且an,bn。由条件(1)(2)知，当m>n时有bm -bn = bn - bm < bn - a* = pbi - d)，由此可见数 列bn是基本列，由柯西收敛准则知实数列bn收敛，不妨设nim_bn =M。下证M即是S的上确界：(I) xS,-nN ，都有xtn,而M是 bn 的极限且bn是单调减少的，.xM,即M是S的一个上界；(II) 对一；0由条件 知im( bn - a.)=计(治(6 -aj) = 0，故n0，使得bn。一a.。：；，而 bn。- M， a.。 0。- ； - M - ；。由条件(3)知 。，0。中有 S 的点(至少ans )，从而由上确界的等价定义2知，M是S的上确界。7同理可证“有下界的非空实数子集必有下确界”o至此我们已经证明了实数的几个重要定理的等价性， 并且得出确界存在定理、 单 调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯 西收敛准则是等价的。这对论证其他一些定理和结论的证明会有很大的帮助。致谢1 陈纪修，於崇