平面向量基本定理与坐标表示c

1、 2.3.1平面向量基本定理平面向量基本定理知识回顾a b / (0)ab a 应用：应用：证明向量共线；证明向量共线；证明三点共线；证明三点共线；证明两直线平行证明两直线平行,ABACA 有有公公共共想一想？想一想？学生活动：学生活动：已知已知是同一平面内的两个是同一平面内的两个是这一平面内的任一向量是这一平面内的任一向量,1e,2e不共线向量，不共线向量，a 探究：探究：a与与,1e,2e的关系的关系 zxxk1e2ea学生活动：学生活动：1e2ea2e1eA A1eA AO O1eA AB BM MN NC CONOMOCOBOA21即即2211eea1.平面向量基本定理平面向量基本定理

2、存在性存在性唯一性唯一性如果如果是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，向量，那么对于这一平面的任意向量那么对于这一平面的任意向量一对实数，一对实数，使使,1e,2e, a存在存在,2,12211eea有且只有有且只有思考：思考：上述表达式中的上述表达式中的2,1是否唯一是否唯一？1）平面向量基本定理的）平面向量基本定理的理解理解有且只有有且只有,021使使22110ee若若a与与)(21ee共线，则共线，则),0(012使使2211eea若若, 0a向量的分解：向量的分解： 一个平面向量用一组基底一个平面向量用一组基底,1e,2e表示成：表示成：2211eea称它为向量的分解称

3、它为向量的分解基底：基底：把把不共线不共线的向量的向量叫做这一平面内叫做这一平面内,1e,2e所有向量的所有向量的一组一组基底基底当当互相垂直时，称为向量的正交分解互相垂直时，称为向量的正交分解,1e,2e2）平面向量基本定理的）平面向量基本定理的拓展拓展 探究：探究： 一组平面向量的基底有多少对？一组平面向量的基底有多少对？无数对无数对 探究：探究：若基底选择不同，则表示同一向量的若基底选择不同，则表示同一向量的实数实数,2,1是否相同？是否相同？可以相同可以相同,也可不同也可不同O OF FC CE EaA AE EB BN NOEOFOCOEOAOC 2ONOBOC 2例例1：,2e）已

4、知向量）已知向量求作向量求作向量,1e2132ee 则下面的四组向量中不能作为一组基底的是则下面的四组向量中不能作为一组基底的是是平面内所有向量的一组基底，是平面内所有向量的一组基底，）若）若,1e,2e2121,.eeeeA12, 216423 .eeeeB12,2133.eeeeC212,.eeeD（B）2.向量的夹角与垂直向量的夹角与垂直:OABba两个非零向量两个非零向量 和和 ,作作 ， ,则则abAOB叫做向量叫做向量 和和 的的夹角夹角OAa OBb ab夹角的范围：夹角的范围：00180,0180 与与 反向反向abOABab记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab

5、注意注意:两向量必须两向量必须是是同起点同起点的的 zxx、k0 与与 同向同向abOABab特别的：特别的：例例2.在等边三角形中，求在等边三角形中，求 (1)AB与与AC的夹角；的夹角； (2)AB与与BC的夹角。的夹角。ABC60C01203 3、平面向量的正交分解、平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。叫做把向量正交分解。Oxy显然：显然：i =（ ， ）j =（ ， ）0 =（ ， ）1 00 10 0ijba记作记作 a =（x， y）使得使得 a = x i + y j任一向量任一向量 a ，有且只有一对实数

6、，有且只有一对实数 x、y，我们把有序数对（我们把有序数对（x，y）叫做向量）叫做向量 a 的坐标，的坐标，4 4、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标表示问题问题：分别与：分别与x 轴轴y 轴正方向相同的两单位向量轴正方向相同的两单位向量i 、j 能否作为基底？能否作为基底？A两者相同两者相同一一 一一 对对 应应EFMNOxyijaaa相等的等价条件是：相等的等价条件是：向量向量a2以原点以原点O为起点的向量为起点的向量OA = a ，则则(x, y)2121yyxxba 且且3向量向量 a =（x1 ，y1），b =（x2 ，y2）向量向量 a 的坐标（的坐标（x ，y）点点A的坐标与向量的坐标与向量 a 的坐标的关系？的坐标的关系？1向量向量 a 在坐标平面内平移，其坐标不变。在坐标平面内平移，其坐标不变。几点说明：几点说明：)yxAOAayxajyi xa，（，），的坐标（例例3.如图，分别用基底如图，分别用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出，并求出 它们