积分第一中值定理及其推广证明

1、2.1积分第一中值定理证明积分第一中值定理：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，g(x)在(a,b)上不变号，并且g(x)在闭区间a,b上是可积的，则在a,b上至少存在一点，使得bba f (x)g(x)dx f( ) a g(x)dx, (a b)成立。证明如下：由于g(x)在闭区间a,b上不变号，我们不妨假设g(x) 0，并且记f(x)在闭区 间a,b上的最大值和最小值为M和m，即m f (x) M，我们将不等式两边同 乘以g(x)可以推出，此时对于任意的x a,b都会有mg(x) f (x)g(x) Mg(x)成立。对上式在闭区间a,b上进行积分，可以得到bbbm g(x)dx f (

2、x)g(x)dx M g(x)dx。aaa此时在m, M之间必存在数值，使得mM，即有bbf (x)g(x)dx g(x)dx aa成立。由于f(x)在区间a,b上是连续的，则在a,b上必定存在一点，使f()成立。此时即可得到bbf(x)g(x)dx f( ) g(x)dx，aa命题得证。2.2积分第一中值定理的推广定理：(推广的第一积分中值定理)若函数f(x)是闭区间a,b上为可积函数,g(x)在a,b上可积且不变号，那么在开区间(a, b)上至少存在一点，使得(a,b)bf(x)g(x)dx f ( ) g(x)dx,a成立。推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。证法1:由

3、于函数f(x)在闭区间a,b上是可积的，g(x)在a,b上可积且不变号，令F(x)xxa f(t)g(t)dt，G(x) 。g(t)dt，很显然 F(x),G(x)在a,b上连续。并且F(a)b0, F(b) f(t)g(t)dt， G(a) O,G(b)bg(t)dt，F ( ) f( )g()，aG( ) g(由柯西中值定理即可得到F(b) F(a) F () G(b) G(a) G (a,b)，化简，即bf(t)g(t)dt abag(t)dtf(g()g(根据上式我们很容易得出bf( ) g(t)dt, (a,b)，a命题得证。证法2:由于函数g(x)在a,b上可积且不变号，我们不妨假

4、设g(x) 0。而函数f(x)在闭区间a,b上可积，我们令 m inf f (x) |x a,b，M sup f (x) | x a,b假设F(x)是f(x)在闭区间a,b上的一个原函数，即F (x) f (x), x a,b。我们就可以得到下面等式bm & g(x)dxbbf (x) g(x)dx M g(x)dx (2.2.1 )aa此时由于g(x) 0，贝U会有g(x)dx 0，由于存在两种可能性，那么下面我们a就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论:b(1).如果g(x)dxab0，由等式(2.2.1 )可得出 f(x)g(x)dx 0，那么对a于 (a,b)都有bbf(x)g(x

5、)dx 0 f( ) g(x)dxaa恒成立。bb(2).如果 g(x)dx 0，将(2.2.1 )除以 g(x)dx 可得aaf (x)g(x)dx(2.2.2)g(x)dx我们记f (x)g(x)dx(2.2.3 )g(x)dx此时我们又分两种情形继续进行讨论:(I)如果(2.2.2 )式中的等号不成立，即有mf (x)g(x)dxM成立,g(x)dx则此时一定就存在m M，可以使得mf(G7f (X2)M，我们不妨假设XiX2，这其中xiX a, b。因为F (x) f (x)， x a,b，则会有F (xjf (Xi)f (X2)F (X2)。此时至少存在一点(为，X2)，使得F()f

6、()，即有baf (x)g(x)dxf()ba：x)dx,(X1,X2)a,b成立，从而结论成立。()如果(2.2.2 )式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设M，因时，为bg(x)dx 0，此时一定存在区间a,b, (a,b)(其中a, b,)，使得 a恒有g(x) 0成立,我们可以将(2.2.3 )式进行简化bba g(x)dx a f(x)g(x)dx，aa因为 M，贝U有bM f(x)g(x)dx 0 (2.2.4 )a而且我们已知Mf(x)g(x)0，则Xib0 M f (x)g(x)dx M f (x)dx 0。yia于是M f(x)g(x)dx 0 (2.2.5)y1在式子(2.2.5 )下必定存在a (a,b)，使得f ( ) M。如果不存在一个a (a,b)，使得f ( ) M，则在闭区间洛,上必定有M f(x) 0及g(x) 0成立，从而使得M f(x)g(x)0。q如果a M f (x)g(x)dx 0，由达布定理在印心上有M f (x)g(x)0，