高中数学联赛A卷和B卷试题和答案

1、2017 年全国高中数学联赛 A 卷一试一、填空题1 .设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数 x有f(x 3) f(x 4)1.又当0 x 7时，f (x) log 2 (9 x),贝U f ( 100)的值为.22 .右头数x, y满足x 2cosy 1 ,则x cosy的取值范围是 .223 .在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的方程为 工以 1 , F为C的上焦点， A为C的右顶点， 910P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为 .4 .若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 o5 .正三棱锥P-ABC中，AB=1, A

2、P=2,过AB的平面a将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为.6 .在平面直角坐标系 xOy中，点集K (x, y) x, y 1,0,1 .在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为忑的概率为.7 .在 ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若 A , ABC的面积为,则 3AM AN的最小值为.8 .设两个严格递增的正整数数列an , bn满足：a10 b10 2017,对任意正整数 n,有an 2 an 1 an, bn 1 2bn,则a1 “的所有可能值为 .二、解答题9 .设k,m为实数，不等式 x2 kx m 1对所有x a,b成立.证明：b a 2J2

3、.x2 x310 .设Xi ,x2, x3是非负实数，满足Xix2x31,求(x13x25x3 )(x1二)的最小值和最35大值. 2211.设复数 乙，Z2满足Re(z1) 0, Re(z2) 0,且Re(z1) Re(z2) 2 (其中Re(z)表示复数z的 实部).(1)求Re(Z1Z2)的最小值；(2)求Zi2Z22ZiZ2的最小值.2017年全国高中数学联赛 A卷二试一.如图，在 ABC中，AB AC, I为 ABC的内心，以 A为圆心，AB为半径作圆1,以I为圆心，旧为半径作圆2,过点B,I的圆3与1, 2分别交于点P,Q （不同于点B）.设IP与BQ交于点R.证明：BR CRan

4、 n,ann,2017二 设数列an定义为a11 , an 1n 1,2,.求满足ar r 3 的正整an n,ann,数r的个数.3 .将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值 .4 .设m,n均是大于1的整数， m n, a1,a2, ,an是n个不超过 m的互不相同的正整数，且2a1,a2, ,an互素.证明：对任意实数x ,均存在一个i（1 i n）,使得 归乂 x ,这里ym（m 1）表示实数y到与它最近的整数的距离2017年全国高中数学联赛 A卷一试答案1.解：由条

5、件知，以黑+ 14）=-，所以f住+ 7）尸(-100) = /(-100 4I4x7) = /(-2) =/(5) log,4解：由于 t I二二 L .小 兹7 1 二 jLd讣I yI1由 COS 1 可知 .11 COS V X - " 十 IJ3 -.闪此当 Y 时,*>2'b了号 ""''*4有最小故这时可以取三）：当1一5时一有最大值I71一2.（这时,可以联国L由于:的值域是-1,0 + 1，从而K-cosy的取 信苟序'是一I,琳,+"!解:易知0）, F（0, 1）.设尸的坐标是（久心仇后编目），

6、PW 0,则 31 y 10 sin 0 | I -。(；l H cos sin)= , 223.其中I".当0 = arewnJHi时,四边形fJXFF面积的最大值为 102解*考虑平稳数五.若h = 0,则。=1,有2个平稳数.若卜=1,则0W1,2"W他L2,有2也三6个平模数.若2WBW5则小二三步一1,86+1卜 有73*3 = 63个平卷数.若卜=9,则有2x2 = 4个平稳数.4.综上可知平稳数的个数是2 + 6 + 63 + 4 = 75.解：设才仇户匚的中点分引为K W,则易证平而N8M就是平面门.由中线 长公式知所以 KM = AK2 =LW -(J/y

7、 I JC -/3C1 -(2t I I I T又易知直线尸匚在平面门上的射影是直线1次，而C时= i,at=4,所以5.C0sZA：UC A V ' "( K(Kf 1C故校3平而口所成角的余弦值为咨I , r4_ 4_"5VS 川6.解：书条件知一如一，;一八：_±"1水故 2,'441 .W J.V- - 卜:疝+ ：/一 ：卜寸4 一4,用.1()由于 3 = Si3C = |(?|hsin = 卜可4匚卜所以.目- AC 4 t 进2 ,47.一步可得M 年. 从而解：由条件可知1如外,力均为正整数，且看一由于加17二“，5以故

8、人二"二.苦.反复运用凡的递推关系知/一% + %= 2« + /_3% I 2%-皿 + 工厂X% | 用I%, + 丸人-1 Ij, I .；% 34口、-|- 2 Id1. r|JV，因此2la = a , = bLl = 5l2/>. = 2b (mod34) t而：1 , 2 I X I 11 故有a = 13x214 13 x ”一 26Mli 2d 功.另一方而 注意到1,必有&I-二+与储一”2人 故8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛 A卷二试答案证明：首先iE明以F网个结论:futfc I ：存在空，满足CM + E3 + CjQ

9、, - *芹巾E：区M . ill $,金，"J < "KiSn .由于)=I *由滨蜀定摩* fif左整敷£”(,*" *满足cta, +rq, + -*» + r d , = I *(f)卜面证明.独过调整.存伊一组g.h.工.离足,月绝对假均不端过桁.吧国际啊.E/=£Q*工出工)二| ct &0-附需r产一期现$ J 0 .兀么存it J > E > t . 7 £ " > 1.又凶为R.%_M 口为正数,故由可却存在O<0.令gt* 弓-r, *= * i4 = c(

10、 (I < t < rt * HJh四.则一一；.22017年全国高中数学联合竞赛一试( B卷)一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分.ai a20ii1 .在等比数列an中，a2 无，a 3/3,则的值为 .a7 a20172 .设复数z满足z 9 10z 22i ,则| z |的值为 .3 .设f(x)是定义在R上的函数，若f(x) X2是奇函数，f(x) 2x是偶函数，则f (1)的侑为 .4 .在 ABC中，若sinA 2sinC ,且三条边a,b,c成等比数列，则 cosA的值为.5 .在正四面体 ABCD中，E,F分别在棱AB,AC上，满足BE 3, EF

11、4,且EF与平面BCD平行，则 DEF的面积为.6 .在平面直角坐标系 xOy中，点集K (x, y)|x,y 1,0,1,在K中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为7 .设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2 ay2 a2 0的焦距为4,则a的值为 8 .若正整数a,b,c满足2017 10a 100b 1000c、则数组(a,b,c)的个数为.二、解答题(本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9 .设不等式|2x a| |5 2x|对所有x 1,2成立，求实数a的取值范围. 210 .设数列an是等差数列，数列bn满足bn

12、2口冏2 an , n 1,2,L.(1)证明：数列bn也是等差数列;(2)设数列an、bn的公差均是d 0,并且存在正整数s,t ,使得asbt是整数，求|a1|的最小值.2_,、22_11 .在平面直角坐标系 xOy中，曲线Ci：y4x,曲线C2：(x 4) y 8,经过Ci上一点P作一条倾斜角为45°的直线I,与C2交于两个不同的点 Q,R,求|PQ| |PR|的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试( B卷)一、(本题满分40分)设实数 a,b,c 满足 a b c 0,令 d max a , b , c,证明：(1 a)(1 b)(1 c) 1 d2二、(本题满分40

13、分)给定正整数 m,证明：存在正整数k,使得可将正整数集 N分拆为k个互不相交的子集 A,A2,L，入，每个子集Ai中均不存在4个数a,b,c,d (可以相同)，满足 ab cd m.三、(本题满分50分)如图，点D是锐角 ABC的外接圆 上弧BC的中点，直线 DA与圆 过点B,C的切线分别相交于点P,Q , BQ与AC的交点为X , CP与AB的交点为Y , BQ与CP的交点为T ,求证：AT平分线段XY.四、(本题满分50分)设 a1，a2, L , a201,2,L ,5 , b1,b2,L,b20 1,2,L,10,集合X (i,j)1 i20,(ai aj)(bbj) 0,求X的元素

14、个数的最大值.一试试卷答案1.答案:88解:9数列an的公比为qa33 a1 a2011一 丁，故a?, 2a7 a2017a1a2011q6(a1a2011)2.答案:/5解：设z a bi ,a, bR,由条件得(a 9) bi10a(10b 22)i ,比较两边实虚部可得9 10a,解得：a10b 221,b2 ,故 z 1 2i ,进而 |z|,5.3.答案:解：由条件知，f(1)-2-(f( 1) ( 1) f( 1).11, f (1) 2 f( 1) 31.7两式相加消去f( 1),可知：2f 3,即 “1).242: J2:1 ,从而由余弦定理得:4 .解：由正弦定理知，a s

15、in A 2 ,又b2 ac,于是a :b : cc sinC(,2)2 12 22,22 、2 1222 b c a cosA 2bc5 .解：由条件知， EF平行于BC,因为正四面体 ABCD的各个面是全等的正三角形，故AE AF EF 4, AD AB AE BE 7.由余弦定理得， DE . AD2 AE2 2AD?AE?cos60o .49 16 28.37 ,同理有DF 37 .作等腰 DEF底边EF上的高DH，则EH - EF 2,故DH。正乔 J33, 21于TE S def 2EFgDH 2,33.6.解：注意K中共有9个点，故在 K中随机取出三个点的方式数为 C3 84种，

16、当取出的三点两两之间距离不超过 2时，有如下三种情况:(1)三点在一横线或一纵线上，有6种情况，(2)三点是边长为1,1, J2的等腰直角三角形的顶点，有4 4 16种情况,(3)三点是边长为 2,. 2,2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0), (0, 1)的各有一个，共有8种情况. 一 305综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6 16 8 30,进而所求概率为 84 1422x y7.解：一次曲线万程可与成 1 ,显然必须 a 0,故二次曲线为双曲线，其标准方程为a a2x2, 、2,、2221 ,则c w a) ( a) a

17、a ,注意到焦距 2c 4 ,可知a a 4 ,又 (a)a 0,所以a11720178.解：由条件知C 2,当c 1时，有10 b 20,对于每个这样的正整数b,由100010b a 201知，相应的a的个数为202 10b ,从而这样的正整数组的个数为20(102 2) 11(202 10b)572,b 10220172017当c 2时，由20 b ,知，b 20,进而200 a 201,10010故a 200,201 ,此时共有2组(a, b, c).综上所述，满足条件的正整数组的个数为572 2 574.9.解：设t2x ,则 t 2,4，于是 |ta | |5 11对所有t 2,4成

18、立，由于|t a| |522t| (t a) (5 t),(2t a 5)(5 a) 0,对给定实数a,设 f(t) (2ta 5)(5a),则f (t)是关于t的一次函数或常值函数,注意 t 2,4,f(2) ( 1 a)(5 a) 0因此f(t) 0等价于 ' ' ' 八 ) ，解得3 a 5f(4) (3 a)(5 a) 0所以实数a的取值范围是3 a 5.22 -10.斛：(1)设等差数列an的公差为d ,则bn1bn(an2an3 Hn 1 )空门冏2 an)所以数列bn也是等差数列(2)由已知条件及(bnan 1an 2 an若正整数s,t满足as211)的

19、结果知：3d d ,因为d 0,故d ,这样3222(and)(an 2d) an3dan 2dan-2btZ ,则as 灯 as bt- a1(s1)da1(t 1)d92a1记 l 2alZ.2 ,则l9Z ,且 18al3(31 s t 1) 1是一个非零的整数，故118a1I118. 1 从而1a11 -.1 .又当a1 时，有a1 b318综上所述，|a1|的最小值为表.11.解：设P(t2,2t),则直线l的方程为y x 2t t2,代入曲线C2的方程得,2一 2 2 一(x 4) (x 2t t )8,化简可得：2x2 2(t2 2t 4)x (t2 2t)2 8 0 ,由于l与

20、C2交于两个不同的点，故关于 x的方程的判别式为正，计算得,(t2 2t)2 8(t2 2t) (t2 2t)(t2 2t 8) t(t 2)(t 2)(t 4),因此有 t ( 2,0) U (2,4),21 OO设Q, R的横坐标分力为 x1,x2,由知，xi x2 t 2t 4, xix2 (t2t)8)因此，结合l的倾斜角为45o可知，4222t44t2 8 (t2 2)24,由可知，t2 2 ( 2,2)U(2,14),故(t2 2)2 0, 4)U (4,196),从而由得:注1：利用C2的圆心到l的距离小于 C2的半径，列出不等式同样可以求得中t的范围.半径为注2：更简便的计算|

21、 PQ g PR |的方式是利用圆募定理，事实上，C2的圆心为M (4,0),2222_2_242_r 22,故 |PQgPR| |PM |2r2(t24)2(2t)2(2,2)2t44t28.加试试卷答案一、证明：当d 1时，不等式显然成立以下设0 d 1,不妨设a,b不异号，即ab 0,那么有因此 |(1 a)(1 b)(1 c)| |(1 c)(1 c)| 1 c2 1 |c2 1 d2二、证明：取 k m 1,令 A x x i(modm 1),x N , i 1,2,L ,m 1设 a,b,c,d A ,则 ab cd i ?i i ?i 0(mod m 1),故m 1 ab cd

22、,而m 1m,所以在 Ai中不存在4个数a,b,c,d ,满足ab cd mAX AY证明：首先证明 YX BC，即证XC YBS S连接BD,CD ,因为 ACQ ?S S ABC SABCABPS ACQS ABP1 “1 八八AC?CQsin ACQ AC?BCsin ACB所以21AB?BCsin 2? 2, 1ABC AB?BPsin ABP 21八八AC?AQsin CAQ21 八AB?APsin BAP 2由题设，BP,CQ是圆的切线，所以ACQ ABC , ACB ABP,又CAQDBCDCBBAPAB?AQ CQ -（注意D是弧BC的中点），于是由知 AC ?AP BP因为C

23、AQBAP ,所以BAQ于是S ABQS ACP1-八AB?AQsin2BAQ1 -AC?APsin CAP 2AB?AQ区AC?APBCQBCP1-BC?CQsin BCQ 21 一BC?BPsin CBP 2CQBP由，,得S ABQS ACPS CBQS BCPABQS ACPCBQS _ _ ° BCPABQCBQAX ,XCS ACPS BCPAYYB故AXXCAYYB设边BC的中点为AX 八 CM 八 BY d M ,因为？ 1,XC MB YA所以由塞瓦定理知,AM ,BX ,CY三线共点，交点即为 T ,故由YX / BC可彳# AT平分线段XY四、解：考虑一组满足条件的