2020年2月普通高考数学(天津卷)全真模拟卷(1)(解析版)

1、2020年2月普通高考（天津卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4 .测试范围：高中全部内容。、选择题：本题共 9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(Cu N )等于1,设全集 U R,M x|1 x5,N x|x

2、 0，则 MA. x| 1 x 0C. x|0 x 5【答案】CB. x|0 x 5D. x|0 x 5【解析】QN x|x 0, . CuN x|x 0,则 M(cu N ) x|0 x 5,故选 C2 .设a 脸33 , b0.2111一 .，一 .，一 一,C 1,则下列选项中正确的是33B. c a bc. c b aD. b a c0.21【解析】a log05 3 log051 0, 0 b 一30111一一，1，c 31,故 abc,故选 A.3319 / 14A .充分非必要条件C.充分必要条件3.设a,b,c R,则1,a,b,c,16为等比数列是b 4”的B.必要非充分条件

3、【解析】由题意得,1,a,b,c,16为等比数列”，则b2 16,解得b4,又41 0 ,所以b 4 ,但当D.既非充分也非必要条件b 4时，数列1,a,4, c,16不一定为等比数列”，所以1,a,b,c,16为等比数列是b 4”的充分非必要条 件，故选A.4 .从某地区年龄在 2555岁的人员中，随机抽出 100人，了解他们对今年两会的热点问题的看法，绘制 出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是口叶一0.05F*- -0.02 十十1嗔原由.A.抽出的100人中，年龄在B.抽出的100人中，年龄在C.抽出的100人中，年龄在D.抽出的100人中，年龄在【答案】A4045岁的人数大约为

4、 203545岁的人数大约为 304050岁的人数大约为 403550岁的人数大约为 50【解析】根据频率分布直方图的性质得(0.01 0.05 0.06 a 0.02 0.02) 5 1 ,解得a 0.04所以抽出的100人中，年龄在4045岁的人数大约为0.04 5 100 20人，所以A正确；年龄在3545岁的人数大约为(0.06 0.04) 5 100 50人，所以B不正确；年龄在4050岁的人数大约为(0.04 0.02) 5 100 30人，所以C不正确；年龄在3550岁的人数大约为(0.06 0.04 0.02) 5 100 60,所以D不正确；故选A.5 .已知偶函数f x与奇

5、函数g x的定义域都是2,2 ,它们在0,2上的图象如图所示，则使关于x的不等式f x g x 0成立的x的取值范围为C.1,01,2D.1,0 U 0,12, 10,1【解析】由题，当0x1时，fx 0,gx 0,fxgx 0；当1x2时，fx 0是奇函数,g x 0, f x g x 0,故当x 0时，其解集为1,2 , y f x是偶函数,0时，其解集为1,0 ,f x g x是奇函数，由奇函数的对称性可得：当 x综上：不等式f x0的解集是1,0故选C.26.已知抛物线y2 px(p0)上的点A到焦点F距离为4,若在y轴上存点B 0,2uuu使得BAuurBF 0，则该抛物线的方程为A

6、y28xB.y2 6xC.2y 4x2D. y 2x由题意可得:学0,xa解得xa不妨取Va J2P 4 P8PA 4 -2-, J8P p2 ,uuuBA 4,8p p2uurBFuuu uur Q BA BF,P 4 P222 8p p2 20,(8p p24)20，解得P 4 ,经过检验满足条件，当A在x轴下方时不符，舍去该抛物线的方程为 y2 8x ,故选A .的等差数列，把函数f (x)的图像沿27 .己知函数f(x) J3sin x cos x( 0)的零点构成一个公差为x轴向左平移个单位，得到函数 g(x)的图像，关于函数 g(x),下列说法正确的是 6A.在一,一上是增函数4

7、2兀B.其图像关于X 对称4C.函数g(x)是奇函数2D.在区间一，上的值域为-2, 1 6 3【答案】D【解析】f (x) i/3sin x cos x 可变形为 f(x) 2sin( x因为y f(x)的零点构成一个公差为一的等差数列，所以y22故 一，解得 2,所以 f(x) 2sin(2x -),函数f(x)的图像沿x轴向左平移个单位后得到，6g(x) f(x -) 2sin( 4x -)-)2sin( 2x666f (x)的周期为)2 cos( 2x),22k 2x 2k , k z,解得： 一 k x k , k z, 2即函数y g(x)的增区间为k ,k ,k z2显然一,T

8、k ,k ,4 22故选项A错误；选项B：令2x k , k z ,.一 k斛得：x , k z ,2k即函数y g(x)的对称轴为x 一 , k2不论k取何值，对称轴都取不到x 一,4所以选项B错误；选项c： y g(x)的定义域为r,因为。0) 2cos0 20,所以函数y g(x)不是奇函数,故选项C错误；“一2选项D:当x ,时，6 34故 2x -, 33根据余弦函数图像可得，g(x)2 cos(2x) 2,1,故选项D正确.故选D.8 .如图，各棱长均为a的正三棱柱 ABC AB1C1, M、N分别为线段 AB、B1C上的动点，且MN/平面ACC1A, M, N中点S轨迹长度为 J

9、3,则正三棱柱 ABC A1B1C1的体积为【答案】DC. 3D. 273【解析】设AAi,BBi,CCi的中点分别为D,E,F ,连接DE,EF,FD,AC .由于MN / /平面ACC1A ,所以AM CN .当AM CN 0时，MN中点S为平面ACCAi的中心，即AC的中点(设为G点)处.当AM CN J2a时，此时MN的中点S为BBi的中点.所以S点的轨迹是三角形 DEF的高EG .由于三角形DEF是等边三角形，而 EG J3,所以a 2.故正三棱柱 ABC AB1cl的体积为故选D9 .已知函数f(x)是定义在100,100的偶函数，且f (x 2) f (x 2).当x 0, 2时

10、,f(x) (x 2)ex,若方程f(x)2 mf(x) 10有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为A.B.1八C. (,2) D. e -, 2e【解析】由f (x 2)f(x 2)知函数的周期为4,当 x 0, 2时,f(x)(x 2)ex,则 f (x) (x 1)ex ,当 0 x 1 时，f (x) 0, f(x)递减，当 12 时，f(x) 0, f(x)递增，f(x)极小值 f(1) e,又f(x)是偶函数，作出f (x)在2,2上的图象，如图.函数f(x)的周期是4,定义域为100,100,含有50个周期，方程f(x)mf (x) 10有300个不同的实数根，因此在一个周

11、期内有6个根(这里f( 2) 0,2不是方程的根).令 f(x) t，方程 t2 mt 1 0 有两个不等实根且 t ( e, 2), t2 ( 2,0),设 g(t) t2 mt 1 ,g(e)015则g(2)0,斛得e - m .故选A.e2g(0) 0第II卷二、填空题：本题共 6个小题，每小题5分，共30分.1 2i10.已知复数z ,则z .【答案】551 2i【解析】受数z 2 i ,则|z| 、/（212 55 11.下列命题中真命题的序号为 （少填或错填均不得分）.若一个球的半径缩小为原来的一半，则其体积缩小为原来的八分之一；若两组数据的平均值相等，则它们的标准差也相等；直线x

12、 y 1 0与圆x2 y2 1相切；若两个平面都垂直于同一个平面，则这 两个平面平行.4_3【解析】对于，由球的体积公式V R3可得若球的半径变为原来的一半，则体积变为原来的八分之一，3故对；对于，若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2, 2, 2和1, 2, 3;这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故错； 对于，圆心到直线的距离 d L -2 1,故直线不与圆相切，故错;1 12对于，由面面关系可知，若两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面平行或相交，如正方体相邻三 个面，故错，故答案为.12.已知随机变量，E(9 =aE的分布列为P(已k)= 一，其中k= 1,

13、2, 3, 4, 5, 6,则a =k12049_20【答案】49【解析】根据题意可知 P(E= 1)=g,P(E= 2)=W,P(E= 3)=a,P(E= 4)=S,P(E= 5)=-12型，E(3 = 6a=当4949，P(土 6)=-, 613.二项式(Jx -) 3x1、r 33r其通项公式Tr+1 = C6r? ）？万3 xn的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是,5【答案】53【解析】（豉 工）n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，所以n=6.3x令33r 0,求得r=2,可得展开式中的常数项为C62?） 22314.已知四边形 ABCD中，BC3, AC 4

14、, M为AB中点且MDuuu uurAB,则 AB CDLUv uuuv 1 uuv uuvCA，CM (CA CB),2【答案】72 uuu uuir uuur uuuu 【解析】Q AB CD AB (CMuuu uuur uuu uuu 1 uuu AB CM = (CB CA) -(CA 2uuuruur uuur uuv uuvMD) AB CM ,又 ab cbuuu 1 uuu 2 uur27CB)= - (CB CA)二 一.2215.甲乙两地相距 500km,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v不能超过120 km/h .已知汽车每成本为-9-v2 360元，则全程运输成本与速度

15、的函数关系是y250,当汽车的行驶速度为小时运输km/h时，全程运输成本最小.180000【答案】y 18v(0 v 120)100v【解析】Q甲乙两地相距500km ,故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v又由汽车每小时运输成本为-9- v2 360元,250则全程运输成本与速度的函数关系是50092 y v 360v 25018000018v 0 v 120 ,v180000180000由基本不等式付18v 2j18v 3600 ,v v当且仅当18V 180000 ,即v 100时，取最小值. v四、解答题：本大题共 5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.

16、（14分）在 ABC中，内角A、B、C的对边分别为 a、b、c,且bsinA V3a cosB .（1）求角B的大小;(2)若 bJ7, S abcB）,求a、c的值.【解析】（1） ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且bsinA J3acosB .利用正弦定理得：sin B sin A 百sin AcosB ,由于 sin A 0 ,所以 sin B J3cosB ，解得 tan B J3 ,由于0 B7 a22c 2accosB(2)由于:S ABC3/32任 1acsinB整理得7acac解得32由于A B ,所以17. (15分)如图,在四面体 ABCD中,分别是线段AD

17、，BD 的中点， ABD BCD 900,EC 72, ABBD2,直线EC与平面ABC所成的角等于30.(1)证明：平面EFC(2)求二面角A CEB的余弦值.A【解析】(I )在Rt BCD中，F是斜边BDw中点，所以fc因为E,F是AD,BD的中点，所以EF所以EF2FC2 EC2,所以EF又因为ABBD, EF /AB ,所以 EF又BD FC F ,所以EF平面BCD ,因为EF 平面EFC ,所以平面EFC 平面BCD.(n)方法一：取AC中点M ,连ME ,则ME/CD ,AC因为 CE 1AD J2,所以 CD AC .2又因为 CD BC , AC BC C,所以CD 平面A

18、BC ,所以ME 平面ABC .因此 ECM是直线EC与平面ABC所成的角.故 AC 2MC 2 EC cos30o6 ,所以CD BC 工过点B作BN AC于N ,则BN 平面ACD ,AB BC 2.3BN .AC 3过点B作BH EC于H ,连接HN ,则 BHN为二面角A CE B的平面角.因为 BE BC EC ,2，所以 BH 遮 BE -6,HN 、. BH 2 BN2 6 , 226HN 1所以cos BHN 1,BH 3因此二面角 A CE B的余弦值为1 .3方法二：如图所示，在平面 BCD中，作x轴，BD,以B为坐标原点，BD, BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角 坐标

19、系Bxyz .因为CD BC J2 （同方法一，过程略）则 C 1,1,0 , A 0,0,2E 0,1,1 .uuvuuv所以 CE= 1,0,1 , BE0,1,1 ，uuvAE0,1, 1设平面ACE的法向量m为，%,4uuv vAE mv 0则 uuv v ，即CE?v 0y1Z1X100,取X11,1,1 .设平面BCE的法向量nX2,y2,z，uuvvnt BEv 0 目口则 uuvv ，即CE v 0y2X2z2 02,取z2 0X21, 1,1 .v v所以cos m, nv vm nm73 73 3，由图形得二面角A CEB为锐角,因此二面角ACE B的余弦值为2218. (

20、15分)如图，椭圆三 22 a b1(ab 0)的左、2右焦点分别为F1( 1,0), F2(1,0)，点11了在椭圆上.A(1)求椭圆的方程;B(2)若A,B是椭圆上位于x轴上方的两点，直线AF2与直线BF1交于点P,|PA|:PF2求直线BF2的斜率.PF1 :|PB| 3:1【解析】(1)因为椭圆的左、右焦点分别为代入椭圆方程，得到112_ab2Fi( 1,0), F2(1,0),所以 c 1,彳 2把点1, 2而在椭圆中a2 b2 c2 1,解得a2 2,b2 1,2所以所求的椭圆的标准方程为： y2 1 .2(2)设BF2交椭圆于另一点 M,因为 |PA|:|PF2 |PF11PB|

21、 3:1 , APF1F?PB ,所以 AF1P : F2BP,所以AF1PPBF2,所以 AF1 P BF2,根据对称性可知点 A和点M关于原点对称,所以 AFJ |F2M所以得到| MF2 | 3| BF2 |,设B为，%M*2X2所以y23yi ,设直线BF2 : x my 1 ,代入椭圆方程得2y 2my*y22m2，y佻所以有由 |MF22%2m_ 23y1所以-m m2 21一，解得23| BF2 |,可知1.所以BF2的斜率为1.19. (15 分)数列an的前n项和为Sn ,且Sn(n 1), n(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足：an 凡L3 131bV-,求数

22、列 3n 1bn的通项公式;ah上，n N ,求数列Cn的前n项和Tn.4)当 n 1 时，ai S2;当n 2时,an Sn Sn1 2n,a1 2满足该式,，数列a的通项公式为an 2n(n ) anbb2b33 132 1 33 1a/an+13-得31bnn 1b2b3321331bn厂bn_3n 1 3- n 1 1bn+1n+1anbn 12 3n 1而 bi8 ,故 bn 23nN*).(出) Cnanbn3n TnC1C2C3Cn2 32 3令Hn23 2 3233则3Hn322 33343n1, d-得,2Hn 3 3333n3n.n 13 ，2nHn 一13n 1 34，数列cn的前n项和Tn2n3n20. (16分)设函数f(x)mx(1)讨论函数f (x)的极值;(2)若a为整数，m 0,且3(m R).(0,),不等式(x a)f (x)2 x