2014年暑平面几何讲义：四点共圆教师版

1、四点共圆文武光华数学工作室 潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法方法一：平面上有四点 A B、C、D,若WA=ND,则A B、C、D四点共圆方法二 线段AC、BD交于E,若AE EC=BE ED,则A、R C、D四点共圆方法三 线段AC、BD交于E ,若AE BE =CE ED,则A、B、C、D四点共圆方法四：若四边形 ABCD, /A+/C=180：则A、B、C、D四点共圆内角时B+C=180，外角时B=C,所以A B、C、D四点共圆托勒密定理：Tolemy（托勒密定理）若四边形ABC此圆。内接四边形，则AD?BC+ABCD=A（?BD证明 在AC上取点E,使/ EDC= ADB,因为/

2、 ABDW ACD所以 ABDX EDCA ADEA BDC 于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是 AD?BC+ABDC=AE BD+BDCE=ACBD例 1、已知 点 D、E 在 MBC 内，/ABD =/CBE , /BAE =/CAD .求证 ACD BCE .证明（一）（文武光华数学工作室 南京 潘成华）作E关于BC、AR AC 对称点 P、R、Q ,易知 ABRD 色 ABPD , MRD 色 MQD ,于是 DP = DR = DQ , 所以 ADCP iDCQ ,得至lj /PCD =/QCD ,进而 /BCE =/ACD .证明(二)作 AB

3、DS外接圆交 AD延长线于S,可知/ASC=/DBC=/ABE,得至IJMBE saSC ,所以 MBSMEC ,得至 1 NACE =/ASB=NDSB,所以.BCE =. ACD .AS例2、已知（文武光华数学工作室南京 潘成华）E是AABC内一点，点D 在 BC 上，且 ZBAE =NDAC , ZEDB =/ADC .则 ZAEC +/BED =180J证明 先证明券=襄，过E作AB、AC、BC垂线EF、EG、EL交AR AC、BC分别 AC EC于F、G、L ,直线EL、AD交于J ,取AF中点K ,易知R F、E、L四点共圆，,FLE、G、C、L 四点共圆，所以-AB-=inC-=

4、-B=-FL -CE（1）,（ B、C 是 MBC 的内 AC sin B _LG.LG BECE角），因为/EDB=/ADC,所以EL=LJ,于是KL/AJ ,易知A、F、E、G四点共圆，圆心是K , /BAE =2DAC ,所以AD _L FG ,进而KL / /FG ,得到KL是FG中垂线，所以FL=LG , (1)得黑=等 AC EC卜面我们证明 /AEC+/BED=180% 因为 sin/AEC =-ACsin/EAC, AEsin /BAE =-AB-sinZBAE,两式相除得 BEsin . AEC sin . EAC sin. BADsin . BAE - sin. BAE -

5、 sin. DAC ABsinZBAD EC BD EC sin/BED 因为 AC sin . DAC BE - CD BE - sin . DEC ,/AEC +/BAE+/BED+/DEC=360。所以，ZAEC +ZBED=180证明（二）在 AB取H ,使得/AHB=/PDB ZiAHDs MPC,易知H、P、D、B四点共圆， 所以.APC ZBPD ZBHD ZAHD =180例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是 MBC底边BC上任一点，P是形内一点，满足 /1=/2, /3=/4。求证:PB ABPC - AC证明作ABPD、ACPD外接圆交AR AC分别

6、于H、I ,易知AAHP s Mdc ,所以MHD s MPC ,所以-AC =WD （1）,易知 MPI s MBD,进而得到 MBP s PC DH必DI,所以第;晋（2）,易知A、H、P、I四点共圆，所以/AHI =&PI =/ABC,所以HI / /BC , ZIHD =/HDB=/3_/HDP =/3_/HBP =/4_/ADI =/IDC =/HID ,所以HD=ID ,进而根据（1）、 （2）得至|器=第。PC AC例4、已知AABC是锐角三角形， AD是BC边上中线，H是AABC垂心, _LAD于点I ,求证BHI证明（一）CH _LAB,R C、H、:延长 AD到G使得AD=

7、DG,易知四边形ABGC是平行四边形，因为BH _LAC,所以 ZHBG =/HCG =90=,得到 I、B、G、C、H ,所以 I四点共圆证明（二）DC2 =FD2ZHAC =/HBD =NBFD ,所以 FD 是。（AIHF ）切线，所以 二DI DA ,所以 &DIC s &DCA,得到 /DCA=/DAC=/BHI ,所以 R C、H、I 四点共圆第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999例5、已知 在 MBC中，AB=AC,点P在AABC内部，点D是BC中点, CBP = ACP.求证.BPD PC =180 .AA证明（文武光华数学工作室南京 潘成华）设NACP =x , ZABP

8、 = y ,/BPD =a , /DPC =y, 2APB=B , /APC =P ,因为 BD =CD ,可知Bpsin词了，可知sinysi皿-si （1）,婿=燃，可知舞=景sin .二sinsinsin !-得至1J sin ysin P =sinxsin日（2）,根据（1） 、 （ 2）得二口+=180） 即/BPD+/APC=180。证明（二）（文武光华数学工作室潘成华给出）延长CP交以A为圆心，AB为半径的圆于F,直线FA交BP于G, /F =/ACP=/PBC,因止匕/G=/PCB ,于是 G在O A上, APFG s APBC ,所以 MPF s ADPB ,可知 ZAPF

9、=/BPD, 即 /BPD +/APC =NAPF +NAPC =180） 得证例6、已知M 是AABC边BC中点，AM交AABC外接圆。于D , 过点D作DE / /BC交。于E ,在AD上取点F ,使得FC _L AC .求证 AFC = EFC,I J JJ,证明（一）（文武光华数学工作室南京 潘成华）因为DE/BC,点M比;BC中点，所以ABEC是调和四边形，易知直线 AE、过点R C切线共点，得到MC惭ZAMC, /ECF =90 3/ABE =NOAE =NPME =/EMF ,因止匕 C 是 AEMF国心，进而AFC = EFC.证明（二）因为 M 是 MBC边BC中点，所以S浅

10、BD =S屐CD，得到AB .BD =AC CD ,易知BCED是等腰梯形，所以 AB CE =AC BE,根据托勒密定理可知2AB CE =AB CE+AC BE=AE BC =2BM AE ,得至U AB CE = BM AE , /ABM =/AEC ,所以 MBM s MEC ,所以ZEAC =/BAD ,可知/EAB =/CAD ,取AE中点S,同理可得ZACS =/ECB =NBAE =/DAC ,所以CS与AD交点设为N ,则N为AF中点，所以CN / /EF ,转 /EFC =/NCF =/AFC证明（三）（田开斌老师）作 CJ/BD交AD于J ,所以CJ =BD =CE ,

11、/JCE =/BDC =/BCE,/AFC =90DAC =90 J/DBC =90ECB=/JEC,所以J、F、E、C四点共圆，因为 JC =EC ,所以/AFC =/EFCDEDE例7、 已知AD是 MBC角平分线交 BC于D, MBD &ACD、AABC外心分别是。1、。2、O ,求证 OQ=OO2=/OAD , /BAO =90J1AOB =90 J/C =/DAO2，所以2O1AO=/O2Ao (1),又例8、已知 Op、Oo交于a、bZAOO =NADC、/AO2O=NADB ,于是 NAOQ + /AO2O =NADC + /ADB=1801 所以A、Oi、02、。四点共圆，根据

12、（1）得到OQ=OO2证明（二）记 HBC 三角 A、B、C,设直线 BOi、CO2 交于 E, /BCE =/CNAC02 =ZC -(90 -ZADC) =/C -(90-ZB -2ZA)=旦芳二A ,同理 /EBC =旦芳二A 所以 BE =CE , /BOQ =/ADC、/CO2O =/ADB , .BOO +. CO2O = ADC + . ADB=180所以E、O1、O2、O四点共圆得到O1O=OO2求证E、G、D、C四点共圆O上，PF _LBC交AB于F ,直线CF交。O于G .证明 延长DA交。P于点K,连接KE、KB,易知 AKBE是等腰梯形，DKEC是 等腰梯形，CF .F

13、G=AF FB=EF FK ,所以K、G、E、C四点共圆，因止匕K G、E、C、D五点共圆，进而E、G D、C四点共圆例9、已知R I分别是AABC外心，内心，求证OI _L AI的充要条件是AB AC =2BC ,BD=AD?BC(1),因为 OUAI ,所以 AI=ID,由(1)得：(AB+AC?BD=BC2DI,因为/ BID=/ IBD,于是 BD=DI,所以 AB+AC=2BC此题，若O, I分别是ABC#心，内心，AB+AC=2BC求证OI AI证明方法是一样的例10、P为 MBC外接圆上一点，P在BC、AC上的射影为 D、E .点L、M分别是AD、BE中点。证明 DE_LLM .

14、证明 取 AB 中点 N ,连接 MN、NL、AP、BP,易知 ABPD s &APE ,所以 _DP_ =_BD PE AE所以-DP =-NL-,可知 加NL s AEPD ,所以 DE _L LMPE MN一第十题、已知 M 是AABC边BC中点，AM交 MBC外接圆。O于D ,过点D作DE / /BC交。于E ,在AD上取点F ,使得FC _L AC .求证.AFC =/EFC例11、已知（文武光华数学工作室南京 潘成华）。0、。I外切于S, O O弦AB切。I于T,点P是AI延长线上一点，求证BP_LAB充要条件是TS_LSP. （2014 6 8 8: 49于镇江大港中学）证明（文

15、武光华数学工作室线段AS、QI交于R, TS_LSP等价于南京/QTR =/QSA =/ABS ,得至U TR/BS,因此，貂=嘿等价于骷 =% ,等价于 AP ASAP APIT/BP,即 BP.LAB例12、刚才看了一下2014年第5期中等数学数学奥林匹克问题（高）383,不难，我把解答写一下已知H是锐角MBC的垂心，以AH、AB为直径的圆交iBHC外接圆于D、E ,直线AD交BC于G ,直线AE、HC交于F ,求证GF /BH证明（文武光华数学工作室南京 潘成华）设ABHC外接圆为。O,直线AG交。O于N ,所以H、O、N共线，延长CH交AB于点M ,易知A M、H、D 四点共圆，所以

16、/BAD =/DHC =/ANC ,所以 AB/CN ,同理 BN/AC ,所以ABNC是平行四边形，得到G是BC、AN中点，连接AF交。于J,因为BE _LAF ,可知B、O、J共线，所以OG是AAHN、ABJC中位线，得至1J AH、CJ平行且相等，所以F是HC中点，可知GF/BH例13、（文武光华数学工作室南京 潘成华）设AABC周长为2p ,AE=AF =pAC ,求证 MBC的C旁切圆与AABC外接圆外切。（2014-6-12 8 56）证明 设 MBC的C -旁切圆切直线 EF、AR AC于D、L、M , AC交AAEF外接圆于 N ,直线 AD 交 MBC 的 C 旁切圆于 K

17、, AF2=AL2=AD AK ,所以 AAFD s MKF , 所以. AKF =/AFD =/AEF =180 - ANF,所以点K在，AEF外接圆外接圆上，因为 A 是BAF中点，所以点K是两圆的切点，即 AABC的C-旁切圆与 MBC外接圆外切。例 14、CD_LAB 于 D, H、O是 AABC 垂心，外心， OD _L DE 交 AC 于 E ,求证 BAC ZDHE证明（一） 延长CD交。O于J，延长ED交BJ于K,根据蝴蝶定理可知DE = DK根据 鸭爪定理可知DH =DJ，所以HE/BJ，等腰/BAC=/BJD=/DHE .证明（二）在 BD 取 S使得 DS=AD ,所以/

18、SCD=ZACD=NBCO,设 BH、CS交于 T,/DBH =/ACD =/CDS ,可知 C、D、/DHE =/DHT =/CSD=/ABC例15、第47届IMO预选，如图，在梯形 ABCD中，AB/CD 卷K-%, P、Q分别在直线KL 上KB LC求证 A D、P、Q四点共圆S、H四点共圆，可知/I/ X2006年滨冬二二丛马/ABCD，点K、L分别在氯张4 CD上，3/ 且 /APB=/ADC , /CQD =/BAD . 一 一ON 士 /?、 J* .设 ADEX圆 M于 K。由 / AKO=90 , OE=OD 知：DK=KEAB3 AEB = -SBD S AEB2勖噂= B

19、E2嘀BD2票 MADMDK =EAMEK = BE为圆M的切线 AD必要性.若EB是圆M的切线 设ADE交圆M于K。由/ AKO=90 , OE=OD知：DK=KE据题意知：/ ABDW BED, /EBK=Z BAK= AABtDBEK题意知：/ BEO4 EBOW BAOW ABM= AABh/h BEOT是 D, K 是对应点，又由于/ OKE=90 ,故/ MDB=90 。又由于MB=MF故BD=DF证明（文武光华数学工作室南京 潘成华）设AE交。M于H,/ BOD=2 BED=2/ ABF=Z AMF所以 BOS AMF,可知 AFX BO=BDC AM(1),因为/ MBO= B

20、OM= AFD,BE是切线等价于/ EBH玄BAH,等价于/ BHD= BDH,所以/ AFD叱ADF,因此BE是EB为。M的切线等价于 BO怖 DFA,等价于 AFX BO=BM DF,因为 BM=AM,根据(1)可知BD=DF例30、已知E、F是圆内接四边形 ABCD对边AR CD的中点，M是EF的中 点，自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为 P、Q。求证：MP =MQ 。证明：自F分别作BC AD的垂线，垂足记为 S、T,联ST PQ易知 RtAFCS Rt EA(5 RtAFDT R EBP 得(FS/EQ) = (FC/EA) = (FD/EB)= (FT/EP),又/ SFT= /

21、 PEQ： FTSAEP(Q 得/ FTS= / EPQ 于是/ QPSb / STQ= 180 ,从而P、& T、Q四点共圆。在直角梯形 EPSF+, M是腰EF的中点，故M落在线段PS的中垂线上；同理，M也落在线段QT的中垂线上。故M就是P、S、T、Q四点所共圆的圆心。：MP=MQ例31、已知设H是 MBC垂心，点D、E、F分别在边BC、CA AB上，且 DF=DB, DC=DE.求证 A H、F、E四点共圆BDC证明(文武光华数学工作室南京 潘成华)延长FD交CH延长线于S,因为/ BAHW DCH=90 - / ABC=(1/2) / FDB所以/ DSC= DCH= FAH, 即S、

22、A H、F四点共圆，因为 DS=DE=DC,所以点D是ASE的卜接圆圆心，所以/ SEA=(1/2)/SDC= /AFS,所以S、E、A F四点共圆，因此A、 H、F、S、E五点共圆，进而 A H F、E四点共圆例32、第27届俄罗斯数学奥林匹克几何题，2001年已知D是 MBC边BC是一点，DB、DC中垂线分别交 AB、AC于F、E,点O是 MBC外心.求证A E、O、F四点共圆过 E、F 分另I作 BC垂线 EJ, BC于 J,FK，BC于 K,/HEC=Z FEJ =2(180 -/EFK)=360 - / HFD-/ BFD之 HEB,因止匕/ BHFW EHC 可知/ BHCW EHF=/ EDF=/ BACJ3