北京大学学第精编学期高等数学A期末考试试卷

1、北京大学高等数学 A 期末考试试卷20162017学年第 2 学期 考试科目：高等数学 A题号一二三四总分得分评阅人考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业得分得分一、填空题 （本大题共 5小题，每小题 3分，共15分）r r r a ，且 a c ，则1二元函数 z ln（ y2 2x 1） 的定义域为。2.设向量 ar (2,1, 2) ， br (4, 1,10) ， cr3经过 （4,0, 2）和 （5,1,7） 且平行于 x轴的平面方程为4设u xyz，则 du5级数 （ 1）n 1p ，当 p 满足条件时级数条件收敛 n 1 np得分二、单项选择题 （本大题共

2、 5小题，每小题 3分，共 15分）1微分方程 2（xy x）y y的通解是（）A y Ce2xB y2 Ce2xC y2e2y CxD e2y Cxy2求极限 lim 2 xy 4 （）(x,y) (0,0)xy1 A 1 B1 C1 D142423直线 L: xyz 和平面:3x 2y 7z8 0 的位置关系是（）327A直线 L 平行于平面B直线 L 在平面上C直线 L 垂直于平面D直线 L 与平面斜交4D是闭区域 （ x,y)|a22 xy2 b2 ，则x2 y2d（）A 2 (b3 a3)B 23 (b33 4 3 3 a3)C(b3 a3)D33332 (b3 a3)ABn 1 (

3、n 1)(n 4)12 n C1 Dn 1 n2 1 n 1 2n 11 n 1 3 n(n 1)解。1.5CM得分、计算题(本大题共 7小题，每小题 7分，共49分)1.求微分方程 y y ex满足初始条件 x 0， y 2的特2. 计算二重积分x2 y2 dxdy ，其中 D (x,y)D x y22x y 1, x y 1 。3设 z z(x,y)为方程 2sin( x 2y 3z) x 4y3z确定的隐函数，求zz。xy4. 求曲线积分 (x y)dx (x y)dy ，其中 L 沿 x2 L2a2(x 0, y 0)，逆时针方向。5. 计算 y5 1x2 y6 dxdy ，其中 D

4、是由 y 3 x，x1 及 y 1所围成的区域。5下列级数收敛的是()6判断级数7将函数( 1) n 1 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。(1 x)(2 x) 展开成 x的幂级数，并求其成立的区间。1.5CM得分四、解答题本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分)1抛物面 zx2 y2 被平面 x yz 1 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。nn2. 求幂级数 ( 1) nx 的和函数。 n 1 (n 1)!3. 设函数 f (x)和 g( x)有连续导数，且 f (0) 1 ， g(0)0， L为平面上任意简L 围成的平面区域为 g(x)dy yg(x)d DD ，已知单

5、光滑闭曲线， 取逆时针方向，?L xydx yf(x)求 f (x)和 g(x) 。参考答案、填空题（本大题共 5小题，每小题3分，共15分）1（ x,y）|y2 2x 1 0 2339y z 2 04 yzxyz 1dx zxyz ln xdy yxyz ln xdz 5 0 p 1 二、单项选择题 （本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）1C2C3C4B5A1.5CM三、计算题(本大题共 7小题，每小题7分，共49分)1.求微分方程 y y ex满足初始条件 x 0， y 2 的特解。 解：先求 y y 0的通解，得 y C1e x 2 分 采用常数变易法，设 y h(x)e x，得

6、 y h(x)e x h(x)e x3 分 代入原方程得 h(x)e x h(x)e x h(x)e x ex 4分 得 h(x) 1e2x C 5 分2故通解为 y 1ex Ce x 6分2将初始条件 x 0，y 2带入得C 3 ，故特解为 y 1ex 3e x 7分2 2 22.计算二重积分x2 y2 dxdy ，其中 D ( x,y): x2 y2 1,x y 1 。D x y解：设 x r cos , y r sin 1 分1则0, 1 r 1 3 分2 sin cosx y 2 1 r cos r sin 所以 2 2 dxdy 02 d1 2 rdr 5 分D x2 y20 sin

7、 cos r 22 (sin cos 1)d 6 分4 7 分23. 设 z z(x, y) 为方程 2sin( x 2y 3z) x 4y 3z 确定的隐函数，求 z z 。 xy解：设 F(x, y,z) x 4y 3z 2sin( x 2y 3z) 1分Fx 1 2cos( x 2y 3z), Fy 4 4cos( x 2y 3z), Fz 3 6cos( x 2y 3z) 4 分FxFz2cos(x 2 y 3z) 1 , z31 2cos(x 2y 3z) , yFyFz4cos(x 2y 3z) 4312cos(x 2 y 3z)6分17分所以1 xya2(x 0, y 0) ，逆

8、时针方4. 求曲线积分 (x y)dx ( x y )dy ，其中 L 沿 x2向。解：圆的参数方程为：x acost , y asint (02)1分( x y) dx ( x y)dy L02 (a cost a sin t )da cost02 (a cost a sin t)da sint 3 分a2 2 (cos 2t sin 2t)dt4分2asin 2t2cos2t026分7分x2y6 dxdy ，其中 D 是由 y 3 x，x 1及 y 1所围成的区域。(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)5. 计算 y5 1 D解： D ( x,y)| 3 xy 1,x 11分y5 1

9、Ddxdy1dx113xy5 1 x2 y6 dy2分11(132 6 2 1xy )23 xdx4分1929 1 611(|x|1)dx5分0( x3 1)dx7分6分6. 判断级数n( 1) n 1 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。解：( 1)n nn1n 1 n1分1: n (n ) 所以级数发散。 又3分4分n 1 n ( 1) (1 n 1) n5分( 1)n ( 1)n 1 n (n 1) n6分显然，交错级数 ( 1) ， n 1 n7分收敛。( 1) 都收敛，所以原级数收敛。因此是条件 n 1 (n 1) n7. 将函数 (1 x)(2 x) 展开成 x的幂级数，并求其

10、成立的区间。解： (1 x)1(2 x) 111x2x2分而 1xn, |x|1 x n 03分21x 121 2x (x2)2 (|x| 2)4分所以 (1 x)(2 x) 1x2 L 121 2x (2x)2 L 5分6分1n(1n 1 )xnn 0 2成立范围 |x| 1 7 分1.5CM四、 解答题(本大题共 3小题，每小题 7分，共21分)1.抛物面 z x2 y2被平面 x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最 短距离。解：设椭圆上任一点 P的坐标为 P(x,y,z)， P点满足抛物面和平面方程。原点 到这椭圆上任一点的距离的平方为 x2 y2 z2 ， 1 分 构造拉格

11、朗日函数F x2 y2 z2 (x2 y2 z) (x y z 1) 2 分Fx2x2x0Fy2y2y0Fz2z0 4 分F220xyzFxy z 10解得 x 12( 1 3) 5分nn2. 求幂级数 ( 1) nx 的和函数 n 1 (n 1)!解：因为x enxn ，所以x enn( 1)n x n ，1分n0n!n 0 n !S(x)(1)nnxn( 1)n(n11)x n 2分n0(n 1)!n 0 (n 1)!(nn) x (nn1) x 3 分n0n!n0(n 1)! (1)nn xx e4分n0n!(1)nnx1(1)nxn11( 1)n 1 xn 1n 0 (n1)!xn0(

12、n 1)!x n 0(n 1)!1nn( 1)n xn1nn( 1)n xn 1 ( x0) 5 分xn1n!xn0 n!11nn( 1)n xn11x exxn 0 n!xx所以故 S(x)ex 1 (1x e ) ( x0)6分x当 x 0 时， S( x) 0 。 7 分另解：x 0 时， ( 1)nnxnn n 11 ( 1) nx1(1)n x n1)x xndxn 1 (n1)!x n 1 (n 1)!x n 1 (n1)! 0得两个驻点为 P1 ( 1 31 2 2 6 分 所以最短距离为 9 5 323,2 3), P2 ( 21 232 2 2最短距离为 9 5 312 23 ,2 3)227分当 x 0 时， S(x) 0 。3.设函数 f(x)和 g(x) 有连续导数，且 f(0) 1，g(0) 0 ， L为平面上任意简单 光滑闭曲线，取逆时针方向， L 围成的平面区域为 D，已知?L xydx yf (x) g(x)dy yg(x)d ，D 求 f (x)