圆锥曲线知识点归纳

1、圆锥曲线知识点小结教师：王光明1.圆锥曲线的两个定义：(1)第一定义中要重视括号”内的限制条件定点F1( 3,0),F2(3,0),在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中，是椭圆的是()A- |PFi |PF24B- |PFi PF26C. |PF1 |PF210-22D. PFi PF 212(2)方程J(x 6)2 y2 J(x 6)2 y2 8表示的曲线是 (3)利用第二定义2已知点Q(2四,0)及抛物线y x-上一动点P (x,y),则y+|PQ|的最小值是42.圆锥曲线的标准方程2 2(1)已知方程y 1表示椭圆，则k的取值范围为 3 k 2 k(2)若x,y R,且3x2 2y2 6

2、,则x y的最大值是，x2 y2的最小值是一一22(3)双曲线的离心率等于至，且与椭圆工工1有公共焦点，则该双曲线的方294程(4)设中心在坐标原点 O,焦点F1、F2在坐标轴上，离心率 e J2的双曲线 C过点P(4, 厢，则C的方程为3.圆锥曲线焦点位置的判断：22椭圆：已知方程一 1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是()m 1 2 m4.圆锥曲线的几何性质2(1)椭圆若椭圆5y- 1的离心率e$0 ,则m的值是 m5(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为(3)双曲线的渐近线方程是 3x 2y 0,则该双曲线的离心率等于(4)双曲线ax2

3、 by2 1的离心率为45 ,则a:b =(5)2 X 设双曲线3 a(a>0,b>0)中，离心率eC V2,2,则两条渐近线夹角0的取值范围是(6)设a Qa R,则抛物线y 4ax2的焦点坐标为2 X 5、点P(X0,y。)和椭圆a2y21 (a b 0)的关系：b26.直线与圆锥曲线的位置关系(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点，则 k的取值范围2(2)直线y-kx-1=0与椭圆52匕1恒有公共点，则m的取值范围是 m2(3)过双曲线12y- 1的右焦点直线交双曲线于 A、B两点，若1 AB| =4,2则这样的直线有条.22(4)过双曲线 &q

4、uot; 4=1外一点P(X0, y0)的直线与双曲线只有一个公共点的情 a b况如下:(5)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。(6)过点(2,4)作直线与抛物线y2 8x只有一个公共点，这样的直线有 _ 22(7)过点(0,2)与双曲线 二 y- 1有且仅有一个公共点的直线的斜率取值范围为 9 162(8)过双曲线x2 -y- 1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB 4,则 满足条件的直线l有一条(9)对于抛物线C: y2 4x,我们称满足y02 4x0的点M(X0,y0)在抛物线的内 部，若点M(x0,y0)在抛物线的内部，

5、则直线l : y0y 2( x x0)与抛物线C的位置关系 是(10)过抛物线y2 4x的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q两点，若线段PF与FQ1 1的长分别是p、q ,则1 1 p q 22(11)设双曲线 匕 1的右焦点为F ,右准线为l ,设某直线m交其左支、 169右支和右准线分别于 P,Q,R ,则 PFR和 QFR的大小关系为 (填大于、 小于或等于)(12)求椭圆7x2 4y2 28上的点到直线3x 2y 16 0的最短距离(13)直线y ax 1与双曲线3x2 y2 1交于A、B两点。当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？7、焦半径

6、2 2(1)已知椭圆匕1上一点P到椭圆左焦点的距离为 3,则点P到右准线的距 25 16离为(2)已知抛物线方程为y2 8x,若抛物线上一点到y轴的距离等于5,则它到抛物 线的焦点的距离等于；(3)若该抛物线上的点 M到焦点的距离是4,则点M的坐标为_22(4)点P在椭圆L 上 1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则 259点P的横坐标为(5)抛物线y2 2x上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到y轴 的距离为22(6)椭圆 y 1内有一点P(1, 1) , F为右焦点，在椭圆上有一点 M,使43MP 2MF|之值最小，则点 M的坐标为8、焦点三角形(1)短轴长为息,离

7、心率e 2的椭圆的两焦点为 匕、F2,过尸1作直线交椭圆3于A、B两点，则 庆852的周长为(2)设P是等轴双曲线x2 y2 a2(a 0)右支上一点，F1、F2是左右焦点，若PF2 F1F2 0, |PF1|=6,则该双曲线的方程为 22(3)椭圆二 1的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点，当PF2 PF1 <0时，94点P的横坐标的取值范围是6(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=16，F1、F2是它的左右焦点，若过 F1的直线与双曲线的左支交于 A、B两点，且AB是AF2与BF2等差中项，则AB =(5)已知双曲线的离心率为2, F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且F1PF2

8、 60 , S PFiF 12v3.求该双曲线的标准方程9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：10、弦长公式：(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于 A (xi, y1)，B(X2, y2)两点，若Xi+X2=6,那么 |AB| 等于(2)过抛物线y2 2x焦点的直线交抛物线于 A、B两点，已知|AB|=10, O为坐标原点，则 ABC重心的横坐标为11、圆锥曲线的中点弦问题：22(1)如果椭圆 -y- 1弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是36922(2)已知直线y= x+1与椭圆 与 与 1(a b 0)相交于A、B两点，且线段 a bAB的中点在直线L:

9、 x2y=0上，则此椭圆的离心率为 22(3)试确定 m的取值范围，使得椭圆 L 1上有不同的两点关于直线43y 4x m对称特别提醒：国过 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 0 !_12.你了解下列结论吗？22与双曲线二 L 1有共同的渐近线，且过点(3,273)的双曲线方程为 91613.动点轨迹方程：(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线x 3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(2)线段AB过x轴正半轴上一点 M (m, 0) (m 0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴，过 A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 (

10、3)由动点P向圆x2 y2 1作两条切线PA、PB,切点分别为 A、B, /APB=60°,则动点 P的轨迹方程为 (4)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l： x 5 0的距离小于1,则点M的轨迹方程是2222(5) 一动圆与两圆。M ： x y 1和。N： x y 8x 120都外切，则动圆圆心的轨迹为(6)动点P是抛物线y 2x2 1上任一点，定点为 A(0, 1),点M分PA所成的比为2, 则M的轨迹方程为(7) AB是圆O的直径，且|AB|=2a, M为圆上一动点，作 MN XAB ,垂足为N,在OM上取点P ,使|OP | | MN |,求点P的轨迹。(8)若点P(xi

11、，y，在圆x2 y2 1上运动，则点Q(xyi,Xi y1)的轨迹方程是(9)过抛物线x2 4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是22(10)已知椭圆今 与 1(a b 0)的左、右焦点分别是 a bFi(一c, 0)、F2 (c, 0), Q是椭圆外的动点,满足|F1Q| 2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点 T在线段F2Q上，并且满足PT TF20,|TF2 | 0. C(1)设x为点P的横坐标，证明|F1P | a -x ； a(2)求点T的轨迹C的方程；(3)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M,使FiMF2的面积S=b2.若存在,求/ F1MF2的

12、正切值；若不存在，请说明理由答案部分1 .（答：C）;（答：双曲线的左支）（答：2）11X2 .（答：（3, -）U（万,2）;（答：依 2）（答：了 y2 1）;（答：x2 y 6）一33 .（答：（,1） （1,-2）254 .（答：3 或一）35 .（答：2G2）（答： 典或运）；（答：4或1）；（答：,）；（答：2343 21 、（0,）；16a6.（答：（-2157）;（答：1, 5） U （5, +8）；（答：3）;（答：P 点在 3两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有

13、两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；）（答：2;（答：4,晅）;（答：3）;（答：相离）；（答：1）;33（答：7.（答8.（答（答：等于）；（答：凶3）（答：73,73 ；a 1）;13：35）；（答：7,（2, 4）；（答：至）；（答：2）;（答：（虫6, 1）； 3123:6）;（答：x2 y2 4）;（答：（*5,*5）;（答：8五）; 5522x y1）;41210.（答：8）;（答：3）;11.（答x 2y 8 0）;（答也）；（答：22、石 2 . 53,13134 2212.（答：-x