导数专题三零点问题教师版

1、导数专题(三)一一零点问题(2013昌平二模理)(18)(本小题满分13分)(零点问题)一八一12已知函数 f(x) x alnx(a 0).2(I)若a 2,求f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(n)求f(x)在区间1,e上的最小值；(III)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，求 a的取值范围.(18)(本小题满分13分)1 92斛：(I) a 2, f(x) -x 2ln x, f'(x) x -, 2x.1f'(1)1,f(1),2f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x 2y 3 0.3分2(n)由 f'(x) x a -a. x x由a 0及定义

2、域为(0,)，令f'(x) 0,得x Va.若4a 1,即0 a1,在(1,e)上，f'(x) 0,f (x)在1,e上单调递增,一 一 ，、，1因此，f(x)在区间1,e的最小值为f(1) 1.2若 1 Tae,即 1 a e2,在(1,西)上，f '(x)0, f(x)单调递减；在(、巧£)上，f'(x) 0,f(x)单调递增，因此f (x)在区间1,e上的最小值为f (Va-) a(1 ln a)2若1 e,即a e2,在(1,e)上，f '(x)0 , f(x)在1,e上单调递减, 1c因此，f (x)在区间1,e上的最小值为f (e)

3、 1 e2 a. 2综上，当0 a 1时，fmin(x) 1；当1 a e2时，口所(x) 221 2当 a e 时，fmin(x) -e a.9分21 。，、一 a(1 In a)；2(III)由(II)可知当0a 1或a e2时，f (x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点当1 a e2时，要使f (x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则1-a(1 Ina) 0,1 2，止匕时，e a -e2.-e222-1af(1) 0,即2a1 2f(e) 2e2 a 0,所以，a的取值范围为(e,1e2). .2(2014西城期末理)18.(本小题满分13分)(零点问题)已知函数

4、f(x) (x a)ex,其中e是自然对数的底数，a R .(I)求函数f (x)的单调区间；(n)当a 1时，试确定函数 g(x) f(x a) x2的零点个数，并说明理由18.(本小题满分13分)(I)解：因为 f(x) (x a)ex, x R ,所以 f (x) (x a 1)ex . 2 分令 f (x) 0,得 x a 1. 3 分当x变化时，f (x)和f (x)的变化情况如下:x(,a1)a 1(a 1,f (x)0f(x) 5分故f(x)的单调减区间为(，a 1);单调增区间为(a 1,). 6分(n)解：结论：函数g(x)有且仅有一个零点.理由如下：由 g(x) f (x

5、a) x2 0 ,得方程 xex a x2,显然x 0为此方程的一个实数解所以x 0是函数g(x)的一个零点当x 0时，方程可化简为ex a X.设函数 F(x) ex a x ,贝U F (x) ex a 1 ,令 F (x) 0 ,得 x a.当x变化时，F (x)和F (x)的变化情况如下：x(,a)a(a,)F (x)0F(x)即F(x)的单调增区间为(a,)；单调减区间为(，a).所以F(x)的最小值F(x)min F(a) 1 a. 11分因为a 1 ,所以 F(x)min F(a) 1 a 0,所以对于任意x R, F(x) 0,因此方程ex a x无实数解.所以当x 0时，函数

6、g(x)不存在零点.综上，函数g(x)有且仅有一个零点. 13分(2015上学期期末丰台理)18.(本小题共13分)(图像交点、问题转化)已知函数f (x) x e x 1 .(I)求函数f (x)的极小值；(n)如果直线 y kx 1与函数f(x)的图象无交点，求 k的取值范围.18.解：(I)函数的定义域为 R.因为f (x) x e x 1 ,所以f (x)x(,0)0(0,)f (x)-0+f(x)极小值所以当x 0时函数有极小值f(x)极小值=f(0) 0 . 6分1(n)函数 f(x) x 1 x.e1当 x 0时 f (x) 0 1 f 0，y k 0 11，e所以要使y kx

7、1与f(x)无交点，等价于 f(x) kx 1恒成立.人1x令 g(x) x 1 (kx 1),即 g(x) (1 k)x e , e(1 k)ex 1所以 g (x) -q.e1.一当k 1时，g(x) 0 ,满足y kx 1与f(x)无交点； e,11 J17当 k 1 时，g() (1 k) e e 1 ,k 1k 1.1 z .而0 , e1k 1 ,1 k一,1所以g() 0，此时不满足 y kx 1与f(x)无父点.k 1当k 1时，令g(x)9咎一1 0 ,则x ln(1 k),e当 x (, ln(1 k)时，g (x) 0, g(x)在(，ln(1 k)上单调递减；当 x (

8、 ln(1 k),)时，g (x) 0, g(x)在(ln(1 k),)上单调递增；当 x ln(1 k)时，g(x)min g( ln(1 k) (1 k)(1 ln(1 k).由(1 k)(1 ln(1 k) 0 得 1 e k 1,即y kx 1与f (x)无交点.13分综上所述当k （1 e,1时，y kx 1与f（x）无交点.（2016东城上学期期末理）（19）（本小题共14分）（零点，问题转化）x e已知函数 f (x) a(x ln x).x（i）当a 1时，试求f（x）在（1,f（1）处的切线方程;(n)当a 0时，试求f(x)的单调区问；(出)若f(x)在(0,1)内有极值，

9、试求a的取值范围.解：(I)当 a 1 时，f/(x)方程为y e 1 .ex(x 1)2x1 一/ 一1 , f (1) 0 , f(1) e 1 . x(n) f (x) e (x2 1) a(1 -) xx(ex ax)(x 1)2xex(x 1) ax(x 1)当a 0时，对于 x (0,),ex ax 0包成立,所以 f (x) 0 x 1 ;f (x) 00x10.所以单调增区间为(1,),单调减区间为(0,1)(出)若f(x)在(0,1)内有极值，则f (x)在x(0,1)内有解.人 (e ax)(x 1)xe令 f(x)20 e ax 0 a 一xxx e 设 g(x) x (

10、0,1),x所以 g'(x) e (x 1) ,当 x (0,1)时，g'(x) 0 包成立, x所以g(x)单调递减.又因为g(1) e,又当x 0时，g(x) ,即g(x)在x (0,1)上的值域为(e,), (ex ax)(x 1)所以 当a e时，f (x) ， 0有解.xxx设 H(x) e ax ,则 H (x) e a 0 x (0,1),所以H (x)在x (0,1)单调递减.因为 H (0) 1 0, H(1) e a 0,所以H (x) ex ax在x (0,1)有唯一解x0.x(0,x。)x0(x0,1)H(x)0f (x)0f(x)极小值Z所以有:所以当

11、a e时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一'，丁.当a e时，当x (0,1)时，f (x) 0包成立,f(x)单调递增，不成立.综上，a的取值范围为(e,).14分(2015海淀一模理)(18)(本小题满分13分)(问题转化、零点)1已知函数 f(x) aln x (a 0).x(I)求函数f(x)的单调区间； (n)若xf(x) 0 b,c(其中b c),求a的取值范围，并说明b,c (0,1).(18)(共 13 分)a1ax 1斛：()f'(x) - 2(x 0). 2 分x x x(i)当a 0时，f'(x) 0 ,则函数f (x)的单调递减区间是(0,).

12、3分，八，八一，、八1(ii)当 a 0 时，令 f'(x) 0,得 x -.a当x变化时，f '(x) , f(x)的变化情况如下表x(0,1) a1 a(1,) af'(x)0f(x)极小值 1“、一1所以f(x)的单调递减区间是(0, ),单调递增区间是(一，). 5分aa(n)由(i)知：f (x)至多存在一个零点，不符合题当a 0时，函数f (x)在区间(0,)内是减函数，所以，函数,1在(一，)内是增函数， a7分(a 2ln a).e)., 一 一、, 一，、，1，1,、一 ,，,，当a 0时，因为 f (x)在(0, )内是减函数，a，一r 一，1、八.

13、1八x f (x)0 b, c,必须f(一)0,即 aln a 0.aa所以 a e.1122当 a e 时，f (-2") a ln( -) a 2alna a a aa2x2令 g(x) x 2ln x(x e),则 g'(x) 1 - (xx x当x e时，g'(x) 0,所以，g(x)在e,)上是增函数所以 当 a e 时，g(a) a 2ln a g(e) e 2 0.1所以 f(-2) 0. 9分a11 ,1.因为 f 1 , f (-) 0, f (1) 1 0, aaa ，一 ，1 11所以 f (x)在(=，一)内存在一个零点，不妨记为b ,在(一，

14、1)内存在一个零点，不妨记为a aac. 11 分11因为 f (x)在(0,)内是减函数，在(一，)内是增函数，aa所以xf(x) 0 b,c.综上所述，a的取值范围是(e,+ ). 12分1 11因为 b (-,-), c (一，1), a a a所以b,c(0,1). 13分(2015海淀上学期期末)(19)(本小题满分13分)(零点、三角函数)已知函数 f(x) a cosx xsinx, x 2, 2(I)判断函数 f (x)的奇偶性，并证明你的结论；(n)求集合A x| f (x) 0中元素的个数;(出)当1a 2时，问函数f(x)有多少个极值点？(只需写出结论)(19)(共 13 分) 解：(I)函数f(x)是偶函数，证明如下:对于因为 f( x) acos( x) xsin( x) a cosx xsin x f (x),所以f (x)是偶函数._ .一 一 一TT TT(n)当 a 0时，因为 f(x) acosx xsin x 0, x 恒成立，2'2所以 集合A x| f (x) 0中元素的个数为0. 5分_,._TT TT当 a0时，令f (x)xsin x 0,由x -,-,2 2得x 0.所以 集合A x| f (x) 0中元素的个数为1.当 a 0时，因为 f'(x) asinx sin x xcosx (1 a)sin