平面向量模块提高训练附详解

1、精品资料欢迎下载平面向量提能拔高限时训练（满分:150分 时间:120分钟）（满分：150分时间：120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1 .对于向量a、b、c和实数 N下列命题中是真命题的是（）A.若 a b=0,贝U a=0 或 b= 0B.若入=0,贝U F0 或 a= 0C.若 a2=b2,贝U a=b 或 a=-bD.若 a b= a c,贝U b= c解析：排除法.a中,ab=0= a±b.a不正确；C 中,a2=b2u a2-b2=0=（a+b） （a-b）=0.故 C不正确；D 中,a b= a cu a （b-c）=0.故 D 不正确.答案

2、：B2 .点O在4ABC内部且满足 OA+2OB+2OC =0,则4ABC的面积与凹四边形 ABOC的面积之比是（A.03B.-25C. 一44D.-3解析：设D为BC中点, OA = -4OD ,.ABC的面积与凹四边形 ABOC的面积之比为 |AD| ： |OA|=5 : 4.答案：C3 .在RtAABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是()2' J'2_ _A.| AC | = AC ABB.| BC | = BA BCC.| AB|2 = AC CDD.|CD |2 二(AC * AB) (BA * BC)I AB I2解析：A 项中 | AC|2 = AC

3、 *ABu AC? ACAB = 0u AC(ACAB)=0u AC,BC =0,故A成立.22B 项中 |BC |2= BA,BCu BC2BA,BC = 0u BC *(BC - BA) = 0u BC,AC =0,故B成立.(AC *AB) (BA *BC) (| AC | AB |cosA) (| BA | BC | cosB)D 项中= -u!=2u!|AB|AB|=| aD|bd|=|cD |2,.D成立.故选C.答案：C4 .向量a、b满足|a|=1,|b|= J2 ,(a+ b)± (2a-b),则向量a与b的夹角为()A.45 °B.60 °C.

4、90 °D.120解析：(a+b)±(2a-b)u (a+ b) (2a-b)=0u 2|a|2-|b|2+a b=0.精品资料欢迎下载又同二1,|b|二 , 2 ,a b=0u a,b=90°.故选C.答案：C5 .设A(a,1)、B(2,b)、C(4,5)为坐标平面上三点，0为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与I满足的关系式为()A.4a-5b=3B.5a-4b=3C.4a+5b=14D.5a+4b=14解析：由oA与oB在oC方向上的投影相同，可得oA0C = OB *oC，即4a+5=8+5b, 4 a-5b=3.答案：A6 .若a、3是

5、一组基底，向量 -=x -什y 6 (x,yCR),则称(x,y)为向量丫在基底a, 3下的坐标. 现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底 m=(-1,1),n=(1,2) 下的坐标为()A. (2, 0)B. (0, -2)C. (2 0)D. (0, 2)解析:由已知 a=-2 p+2 q=(-2,2)+(4,2)=(2,4).设 a= X n+r= ?(-1,1)+ 科(1,2)=(入 + 科，入 +2 科 ),则由九十N=2九+2N =4, o 0,J =2. . a=（0,2）.答案：D7 .如图，在四边形 ABCD 中，|AB|

6、+ |BD|+|DC|=4,AB *BD = BD DC = 0,| AB | | BD | 十 | BD | ,| DC |=4，则（AB 十 DC） AC 的值为（）A.2D. 4 2解析:JAB|+|BD|+|DC |=4, |AB| *|BD| |BD| *|DC |=4.解方程组得 | BD |= 2,| AB | |DC | = 2 .又AB ,BD =BD *DC =0, AB与DC共线且方向相同精品资料欢迎下载I 1 、"I尹岁=00 OP Oa i,P(x,y)满足条件 * 则 P(x，y)0 OP* OB 1,. | AB DC |=| AB| |DC |=2.又

7、. AB BD DC CA = 0,AC = AB BD DC . (AB DC) .AC =(AB DC) .(AB BD DC) =(AB DC)2 (AB DC) BD2二| AB DC |2 AB *BD DC BD =22+0+0=4.答案：C1、8.向量 0A = (1, 2) , OB = (0,1),若动点的变动范围（不含边界的阴影部分）是（）2r+y=0 外 *1 一解析：OA=(1，a), OB =(0,1).设 P(x,y),则 OP =(x, y),0 OP *OA 1,0 : OP OB ： 1,精品资料欢迎下载y即0<x + 2 <1,经分析，选A.0

8、:二 y 1.答案：A入,m,为实数 若a=2b,则一的取值范 m22m .9.设两个向重 a=(入+2,-cos a和b=(m, + since )淇中 2围是()A. -6,1B. 4,8C.(-8RD. -1,6l, ，一一2一 2m .一斛析：由 a=(入 +2, -cos a b=(m, +sina ),a=2b,可得，2 = 2m,-cos 二二m 2sin ：.设二=k代入方程组，可得J mkm + 2 = 2m,-cos2 1=m 2sin :.消去m化简，得（2k再化简，得（22-k4 、:)22-cos 二2-k2sin 二,再令k -2)2 2sin : - 0.k -2

9、I 1二t代入上式，得（sink -2II8：.-1)2+(16t2+18t+2)=0,可得-(16t2+18t+2) C 0,4因而-1 & w -1,解得-6w kw 1.k -28答案：A10.AABC中，a、b、c分别为/ A、/B、/ C的对边，如果 a、b、c成等差数列,/ B=30°,3 ABC的面积为一，那么213A.2B.1323C.2D. 2- 3解析：:a、b、c成等差数列,，2b=a+c.平方，得 a2+c2=4b2-2ac又 4ABC 的面积为-2故由S.ABC =11. ”一 acsin B = acsin30=一 ac = 一,得 ac=6.，a

10、2+c2=4b2-12.由余弦定理,22,222, 2a c -b 4b -12-b b -4得 cos B =2ac=,解得 b2 = 4 + 2%; 3 .又 b 为边 2长,，b =1 +43.答案：B冗-* -11.在4ABC中，a、b、c分别是内角 A、B、C所对白边，C= .若OD = aOE +bOF ,且3精品资料欢迎下载D、E、F三点共线（该直该不过点15A.一2B.一4O）,则AABC周长的最小值是（3C.一2解析：由题意得 a+b=1,c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=1-3ab1 -3()2,c> ，因此ZABC周长的最小值

11、是 一答案：C12.已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的点，动点P满足422ABACOP =OA+M),丘(0,+ 8则动点P的轨迹一定通过 4ABC的| AB | c o s5 | AC | c o C（ ）A.外心解析：所给式子可化为B.内心C.重心D.垂心AP AB| AB | cos B-AC-)，| AC | cosC由于（ABA).BC| AB | cosB | AC | cosCAB *BCAC *BC| AB | cosB | AC |cosC| AB | BC |cosB | AC | BC |cos(二-C) | AB | cos B| AC | cosC=|

12、 BC| -| BC |=0,ABAC一）表示垂直于 BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的 | AB | cos B | AC |cosC直线上.故动点P的轨迹一定通过4ABC的垂心.答案：D二、填空题（本大题共 4小题，每小题5分，共20分） 13.若 AB =3e1,CD =-5e1,且 | AD |q BC |,则四边形 ABCD 是 解析： AB =3 %CD=-5 e1,AB / CD .故AB与CD平行.又 |AB|CD |,| AD |=| BC |,精品资料欢迎下载四边形ABCD为等腰梯形.答案：等腰梯形15 .14.在 ABC 中，若 AB.AC <0,S 2ABe

13、 =，| AB|=3, | AC|=5,则/ BAC=4解析：ABAC<0,则/ BAC >90°. - Saabc = bcsin / BAC,2| AB| = 3,| AC| = 5，即 c=3,b=5,1 . sin / BAC= .2 ./BAC=150 .答案：150°15.已知向量a=(cos a ,sinb=()：3,-1),那么|2a-b|的最大值是 解析：2a-b=(2cos 优 J3 ,2sin a +1),|2a-b|2=(2cos W3 )2+(2sin a+1)=8+4sin -4 33 cos a=8 8sin(：-). |2a-b|

14、max=4.答案：416.给出下列命题：若 a2+b2=0,则 a=b= 0;1 - x Xo y y右 A (x1,y1),B(X2,y2),贝U - AB =(,);2 22已知a,b,c是三个非零向量，若 a+b=0,则|a c|=|b c|;已知 入1>0, 4>0©,e2是一'组基底，a = 4e1+力色，则a与e1不共线，a与e也不共线;a 与 b 共线 u a b=|a|b|.其中正确命题的序号是 .解析：正确；: 1AB =1(X2 - X1, y2 -丫1)=(土一&,力一y1),故错；正确；正确； 2222当a与b反向时，a b=|a|

15、b|不成立，故错.答案：三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知向量a=(3, -4),求：精品资料欢迎下载与a平行的单位向量b;(2)与a垂直的单位向量c;(3)将a绕原点逆时针方向旋转45彳导到的向量e的坐标.解：设 b=入 ,则1b|=1, b=( ,)或 b=(,).555 5(2)由 a,c, a=(3,-4)，可设 c=N4,3)，求得 c=( ' , 3 )或 c=( 一'，一 9).5 555(3)设 e=(x,y),则 x2+y2=25.又 a e=3x-4y=| a|e|cos45 :一25 一即 3x -4y =2 .2由求得e

16、=(返，-e)或红一迤).2222而向量e由a绕原点逆时针方向旋转45。得至L故e=(7,-2-).5_318.(本小题满分 12 分)在4ABC 中，COSA = -，COSB= 一135求sinC的值;(2)设BC=5,求4ABC的面积.一512斛：(1)由 cosA = 彳导 sinA=一, 13133 一一 4由 cosB =一，得 sin B = .55所以 sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =6551213BC sin B(2)由正弦定理，得AC =sin A13所以 ABC的面积1S= XBCX ACX sinC21 , 13 16 8 5.2 3

17、65 3a、b、c,且 acosB=3,bsinA=4.19.(本小题满分12分)设 ABC的内角A、B、C所对的边长分别为(1)求边长a;(2)若ABC的面积S=10，求4ABC的周长l.解：(1)由acosB=3与bsinA=4两式相除，得3 acosB acosB bcosB-=*=*= cot B.4 bsin Asin A Asin B b又通过 acosB=3,知 cosB> 0,精品资料欢迎下载皿 34则 cosB = -，sin B =a=5.1（2）由 S = - acsinB,得 c=5.2222, a c - b由 cos B :2ac解得 b =2. 5.所以 l

18、 = a b c =10 2 5.20.(本小题满分12分)已知锐角 4ABC中，bsinB-asinA=(b-c)sinC ,其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边.(1)求角A的大小； （2）求73cosc -sin B的取值范围.解：（1）由正弦定理，得 b2-a2=（b-c）c= b2+c2-a2=bc,2 2 2 ,1b c 。a bc 1所以 cosA =.2bc 2bc 2又A为三角形的内角，所以A =工.32 八 2二（2）由（1），得B+C=，C =-B .因为4ABC为锐角二角形,3 3ji0 <B < 一一一.9nH所以2=<B< 一.2元 冗

19、620 < B < 一、32-B） -sinB2 二所以 3cosC -sinB - 3cosq2二 -.23- 1 .= 3（cos cos B sin sin B） -sin B = cos B sin B = sin（ B 一 一）. 33223n n n由，得一 < B < 一, 6361二 1所以一万 < sin（B -） < -.1 1所以43cosc -sin B的取值范围为（一，1）.2 231.3,b=（ cos , - sin ）,。0,一1 22321.（本小题满分12分）已知向量a = （ cos，sin一）,22精品资料欢迎下载(1

20、)求a *b的最大值、最小值; | a - b|求k的取值范围.(2)若 |ka+b|=J31a-kb|(kCR),3-3i1. 3i 角牛：(1)a*b=coscos- -Sin sin =cos2i, 2222|a + b|2=a2+b2+2a b=2+2cos2 0 =4c0S ,. | a+b |= J4cos2 日=2cosB(ea *bcos2|a b I2 cos21-12 cos 二令 t=cos ,y|a b|11,/、，则 y =t ( wtw 1),2t 2y 二1， 2t0.故 y =t -1,1、，一在一，1上单调递增.ymax = 12t2 11112 -7 = 222(2)由 |ka+ b|= V3 |a-k M得(ka+b)2=3( a-k b)2,从而 k2a2+b2+2k a b=3(a2-2ka b+k2b2).又 |a|=|b|=1, -k2+1+2ka b=3(1+k2-2ka b),1 k2 从而有a *b =4k由 a - b=cos2。比 0,一 3£1.4k1 k24k21 k24k2(k J!_0,4kk2 -4k 1 八 0.4k由，得k=-1或k > 0.k