数列求通项公式的常见题型与解题方法

1、数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面， 等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列 知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列， 求极限和数学归纳法综合在一起.探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现.本 章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论 等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.数列这一章的主要章节结构为：近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：(1)数列本身的有关知识,其中

2、有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式.(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合. (3)数列的应用问题，其 中主要是以增长率问题为主.试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大 都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为 最后一题难度较大.题型1已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目:1 .数列0,亚,0, 2LL的通项an ,1111 .彳2 .数列,L的通项an 1 2 2 33 4 4 51357 一3 .数列 1 =,1二,1 二,1二L 的通项 an 24680 n为奇数n

3、 1n L 一一 2、an (1)2 n为偶数n(n 1)3、 an1)n1 2n 1 (2n)2练习例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：例3:写出下面数列的一个通项公式：题型2由心与Sn的关系求通项公式1 , 21、已知数列an的刖n项和Sn (n n),则an 22、已知数列an的前n项和Sn 3 2n,则a 1 ，一3、设数列an的前项的和Sn=- (an-1) (n N ).3(I)求a1; a2；(n )求证数列an为等比数列.4、数列a n的前n项和Sn=3 - 2n-3,求数列的通项公式.5、设数列a

4、n的前n项和为S=2n2+3n+2,求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差 数列.6、已知数列an的前n项和为Sn, a=2,且nan+产S+n(n+1),求an.7、已知数列an的前n项和Sn满足:Sn=2an+(-1)n,e.(I)写出求数列an的前3项ai,a2,a3； (n)求数列an的通项公式；17am 8,11(m)证明：对任意的整数m>4La4 a57、解：当 n=1 时，有：Si=ai=2ai+(-1)ai=1;当 n=2 时，有：S2=ai+a2=2a2+(-1)2a2=0；当 n=3 时，有：S3=ai+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2;综上可知 ai=1,

5、a2=0,a3=2;nn 1n 1由已知得：an Sn Sn i 2a ( 1) 2an 1 ( 1)化简彳导:an 2an 1 2( 1)2 2上式可化为：an ( 1)n 2an 1( 1)n13 32 n21故数列an -( 1)n是以& -( 1)1为首项，公比为2的等比数列. 33故 an 3( 1)n 32n 1an 1g2n1 3( 1)n |2n 2 ( 1)n2数列an的通项公式为：an 2( 1)n.31113112m由已知得：-L 3La4 a5am 2 22 1 23 1131511 m 5g-)m 55 213 104 105 7,11 .故L15 120 1

6、20 8 a4 a517(m>4).am 8题型3已知数列递推公式求通项公式(公式法)1、已知数列an的首项ai 1 ,且an an i 3(n 2),则an2、数列an中,ai 1,an ian 2,求an的通项公式3、已知数列an满足ai/11, 十1 , - 1 ,求 an .an 1 an4、数列an中,ai 1,an i2an an一，求 an的通项公式.25、已知数列an的首项ai 1 ,且an3an i(n 2),贝U an6、已知数列an的 a1,a22 且an22an1an,则an （累加法与累积法）1、数列an中，a1 1,an1 an n,求an的通项公式. n 1

7、2、数列an中，a1 1,an1 an 3 ，求an的通项公式.3、已知数列an满足an 1 an2n 1, a1 1 ,求数列an的通项公式。4、已知数列an满足an 1an 2 3n 1, a1 3,求数列an的通项公式。n 15、已知数列an的首项a 1 ,且an an1（n 2）,则ann6、已知数列an满足an 12（n 1）5n an, a1 3,求数列an的通项公式。（构建新数列）1、已知数列an的首项a 1 ,且an2an 1 3(n2),则 an2、数列an中，a1 2,an 1 3街 2 ,求4的通项公式.3、已知数列an满足an 1 2an4、已知数列an满足an 1 3

8、an5、已知数列an满足an 1 2an6、已知数列an满足an 1 3an7、已知数列an满足an 1 2an8、已知数列an满足an 13 2n, a1 2,求数列an的通项公式。1, a1 3 ,求数列an的通项公式。2 3n3 5n, a1 6,求数列an的通项公式。4, a11 ,求数列an的通项公式。5 2n3 n2 4n 5, a1 1,求数列an的通项公式。an8(n 1)2, a1(2n 1)2(2n 3)2-,求数列an 99、已知数列an满足an 1 21an 24, a1 4 ,求数列an的通项公式。4an 1.7a 2 10、已知数列an满足an 1 , a1 2,求

9、数列an的通项公式。a n 1 an 3 贝”an 1 a n 2 n 1 2 n 2)、2“1 2 n2a n 33、解：an 1 2an 3 2n两边除以2n 1,得故数列an是以号 2 1为首，以。为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 2n21 22a361 (n 1)2，所以数列an的通项公式为an(1nJ2%4、解：an13an2 3n 1两边除以3n 1,an3n则a43n 1an3n故包3nan1)a( aan 2 ) 3n 2a(-3an 33na 232?)a13因此an 3n2(n 1)1(1 3n3n 1)2nT3n则an3n3n5、解：设an5n 12(an将an

10、 12an3 5n代入式,得2an5n5n2an2x5n ,等式两边消去5nx 5n 1 2x 5n ,两边除以5n2x则x=1,代入式,得an 15n2(an 5n)由a1515 1w0及式，得an 5n0,则anan5n 1F"2 ,则数列an 5n是以 a1511为首项，以2为公比的等比数列,2n故an2n 15n。6、解：设an 1 x 2y 3(anx 2ny)将a n 13an2n4代入式，得整理得(5 2x) 2n3x2n 3y2x3x3y代入式，得an 15 2n 123(an2n2)由 a1 5 212 112130及式，得an2n0,an 1 则qan5 2n 1

11、 2n3, 5 2n 2故数列an 5 2n 2是以ai 5 21 2 1 12 13为首项，以3为公比的等比数列，因此 an 5 2n 2 13 3n1,则 an 13 3n 1 5 2n 2。22、7、解：设 an 1 x(n 1) y(n 1) z 2(an xn yn z) 将an1 2an 3 n2 4n 5代入式，得22an 3 n2xn yn z),贝U一 ，、24n 5 x(n 1) y(n 1) z 2(an等式两边消去2an ,得(3 x)n2(2x y 4)n (x2y z 5) 2xn 2yn 2z ,310,代入式，得183 x 2xx则得方程组 2x y 4 2y

12、，则y x y z 5 2z zan 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)由 a1 3 12 10 1 18 1 31 32 0 及式，得 an 3n2 10n 18 0an 1 3(n 1)2 10(n 1) 182则-jnJ2 , 故数列an 3n2 10n 18为以an 3n2 10n 182a13 1210 1 18 131 32为首项，以2 为公比的等比数列，因此an3n210n 18 322n 1,贝Uan 2n 4 3n210n 18。8、解：由 an 1 an8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2及a1a18(1 1)(2 1 1)2(2

13、 1 3)2由此可猜测an(2n 1)2 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。(2n 1)2(1)当 n=1 时,(2 1 1)2 18a12一 一 ,所以等式成立。(2 1 1)29(2)假设当n=k (2k1)2 1时等式成立，即 ak 2，则当n k(2k 1)21时,由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据(1) (2)可知，等式对任何n N21x 249、解：令x 4x.一 2，得 4x2 20x 24. 21x 240 ,则 x1 2, x2 3是函数 f(x)4x 1的两个不动点。因为an 12an 1321an24 24an 121a244an 121an24 2(4an2X24 3(4an1)13an 261)9an 2713O9生an生an2 12是以3a12a13,一 132为首项，以13为公比的等比数歹U,9anan3n 1,则an3。10、 解：令7x 22x3，一 2得 2x2 4x 20 ,则x=1是函数f (x)3x 1 一一 一的不动点。4x 7因为an7an 22an5an2a n所以an 12an 35an